114 地方特考三等 機械工程類科 熱力學 考古題詳解

114 年・地方特考・三等・機械工程類科
試題代碼 熱力學

第 一 題20 分

考慮一個活塞－汽缸系統。一開始裡面裝有 0.15 kg0.15\ \mathrm{kg} 的氮氣。汽缸內壓力為 110 kPa110\ \mathrm{kPa}，溫度為 100∘C100^\circ\mathrm{C}。然後汽缸內的氮氣開始等溫膨脹至另一狀態，新狀態的壓力為 90 kPa90\ \mathrm{kPa}。

(一) 請問一開始的體積是多少？（5 分）

(二) 最後的體積是多少？（5 分）

(三) 這個膨脹過程產生的功是多少？（10 分）

氮氣的氣體常數為 0.2968 kJ/(kg⋅K)0.2968\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。

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核心觀念

氮氣視為理想氣體，狀態方程式為

PV=mRTPV=mRT

等溫膨脹時，氣體溫度不變，因此初、末狀態皆可用理想氣體方程式求體積。若過程為準靜態（可逆）等溫膨脹，邊界功為

W1→2=∫V1V2P dV=mRTln⁡(V2V1)=mRTln⁡(P1P2)W_{1\to2}=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV =mRT\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) =mRT\ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right)

此處採用「氣體膨脹對外作功為正」的符號慣例。

解題方法

溫度換算為絕對溫度：

T=100+273.15=373.15 KT=100+273.15=373.15\ \mathrm{K}

初態體積由理想氣體方程式求得：

V1=mRTP1=(0.15)(0.2968)(373.15)110=0.1511 m3V_1=\frac{mRT}{P_1} =\frac{(0.15)(0.2968)(373.15)}{110} =0.1511\ \mathrm{m^3}

等溫過程中 mRTmRT 不變，因此 P1V1=P2V2P_1V_1=P_2V_2。末態體積為

V2=V1P1P2=(0.1511)11090=0.1846 m3V_2=V_1\frac{P_1}{P_2} =(0.1511)\frac{110}{90} =0.1846\ \mathrm{m^3}
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第 二 題20 分

如果有一個活塞－汽缸系統，內部有 15 kg15\ \mathrm{kg} 的空氣。起始溫度為 25∘C25^\circ\mathrm{C}，汽缸內部經過電阻加熱絲加熱，溫度升至 77∘C77^\circ\mathrm{C}。過程中為等壓，壓力為 300 kPa300\ \mathrm{kPa}。系統與環境之間有熱損失 60 kJ60\ \mathrm{kJ}。請問：（每小題 5 分，共 20 分）

(一) 一開始體積是多少？

(二) 最後體積是多少？

(三) 整個系統的內能變化是多少？

(四) 加熱絲總共給了多少熱量？

空氣的氣體常數為 0.287 kJ/(kg⋅K)0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，Cv=0.718 kJ/(kg⋅∘C)C_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot{}^\circ C)}。

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核心觀念

本題考查理想氣體狀態方程式、等壓過程的邊界功，以及閉系統能量平衡。

空氣視為理想氣體，體積由狀態方程式求得：

PV=mRTPV=mRT

閉系統的能量平衡為：

ΔU=Q−W\Delta U=Q-W

其中 QQ 為傳入系統的熱量，WW 為系統對外作功。本題有電阻加熱絲輸入電能，且系統向環境散失熱量；活塞移動時，系統也對外作邊界功。

解題方法

（一）初始體積

初溫換算為絕對溫度：

T1=25+273.15=298.15 KT_1=25+273.15=298.15\ \mathrm{K}

代入理想氣體狀態方程式：

V1=mRT1P=(15)(0.287)(298.15)300=4.280 m3V_1=\frac{mRT_1}{P} =\frac{(15)(0.287)(298.15)}{300} =4.280\ \mathrm{m^3}

（二）末態體積

末溫為：

T2=77+273.15=350.15 KT_2=77+273.15=350.15\ \mathrm{K}

因此：

V2=mRT2P=(15)(0.287)(350.15)300=5.026 m3V_2=\frac{mRT_2}{P} =\frac{(15)(0.287)(350.15)}{300} =5.026\ \mathrm{m^3}

（三）整個系統的內能變化

理想氣體的內能變化為：

ΔU=mCv(T2−T1)\Delta U=mC_v(T_2-T_1)

溫度差為 52∘C52^\circ\mathrm{C}，因此：

ΔU=(15)(0.718)(52)=560.04 kJ\Delta U=(15)(0.718)(52) =560.04\ \mathrm{kJ}

內能增加 560.04 kJ560.04\ \mathrm{kJ}。

（四）加熱絲輸入的能量

等壓過程的邊界功為：

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第 三 題20 分

二氧化碳氣體進入一個絕熱的壓縮機。在入口的壓力為 100 kPa100\ \mathrm{kPa}，溫度為 300 K300\ \mathrm{K}，同時入口的質量流率為 0.5 kg/s0.5\ \mathrm{kg/s}。在出口端，其壓力為 600 kPa600\ \mathrm{kPa}，溫度為 450 K450\ \mathrm{K}。若忽略動能損失，請計算：（每小題 10 分，共 20 分）

(一) 入口的體積流率是多少？

(二) 需要多少功輸入給這個壓縮機？

二氧化碳的氣體常數為 0.1889 kJ/(kg⋅K)0.1889\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，Cp=0.846 kJ/(kg⋅K)C_p=0.846\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。

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核心觀念

本題考查穩定流控制體的質量流率與能量方程式。二氧化碳視為理想氣體時，入口比體積可由狀態方程式求得：

pv=RTpv=RT

壓縮機絕熱、忽略動能變化，且無軸功以外的能量交互作用，因此穩定流能量方程式可化為：

W˙in=m˙(h2−h1)\dot W_{\mathrm{in}}=\dot m(h_2-h_1)

若比熱 CpC_p 視為定值，則 h2−h1=Cp(T2−T1)h_2-h_1=C_p(T_2-T_1)。

解題方法

（一）入口體積流率

由理想氣體狀態方程式，入口比體積為：

v1=RT1p1=(0.1889 kJ/(kg⋅K))(300 K)100 kPa=0.5667 m3/kgv_1=\frac{RT_1}{p_1} =\frac{(0.1889\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)})(300\ \mathrm{K})} {100\ \mathrm{kPa}} =0.5667\ \mathrm{m^3/kg}

此處利用 1 kJ=1 kPa⋅m31\ \mathrm{kJ}=1\ \mathrm{kPa\cdot m^3}。入口體積流率為質量流率乘以比體積：

V˙1=m˙v1=(0.5 kg/s)(0.5667 m3/kg)=0.2833 m3/s\dot V_1=\dot m v_1 =(0.5\ \mathrm{kg/s})(0.5667\ \mathrm{m^3/kg}) =0.2833\ \mathrm{m^3/s}

（二）壓縮機所需輸入功率

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第 四 題20 分

考慮一卡諾引擎（Carnot heat engine）從一個未知溫度的熱源接收 650 kJ650\ \mathrm{kJ} 的熱，然後向一個溫度 24∘C24^\circ\mathrm{C} 的熱源排出 250 kJ250\ \mathrm{kJ} 的熱。（每小題 10 分，共 20 分）

(一) 請問未知溫度應該是多少？

(二) 這個卡諾引擎的熱效率是多少？

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核心觀念

卡諾引擎是可逆熱機，熱量與熱源的絕對溫度比值相等：

QHTH=QCTC\frac{Q_H}{T_H}=\frac{Q_C}{T_C}

其中 QHQ_H 為吸收的熱量，QCQ_C 為排出的熱量；THT_H、TCT_C 必須使用絕對溫度（K）。熱效率定義為輸出功除以吸熱量：

η=WnetQH=QH−QCQH=1−QCQH\eta=\frac{W_{\text{net}}}{Q_H} =\frac{Q_H-Q_C}{Q_H} =1-\frac{Q_C}{Q_H}

解題方法

低溫熱源溫度為

TC=24+273.15=297.15 KT_C=24+273.15=297.15\ \mathrm{K}

由卡諾引擎的可逆熱量關係，未知高溫熱源溫度為

TH=TCQHQC=297.15×650250=772.59 KT_H=T_C\frac{Q_H}{Q_C} =297.15\times\frac{650}{250} =772.59\ \mathrm{K}

換算為攝氏溫度：

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第 五 題20 分

考慮一個壓縮機，空氣穩定地流入。入口的溫度為 17∘C17^\circ\mathrm{C}，壓力為 100 kPa100\ \mathrm{kPa}；出口的溫度為 57∘C57^\circ\mathrm{C}，壓力為 600 kPa600\ \mathrm{kPa}。其質量流率為 1.6 kg/min1.6\ \mathrm{kg/min}。（每小題 10 分，共 20 分）

(一) 請問空氣經過這個壓縮機的熵變化是多少？

(二) 空氣的總能量變化率是多少？

空氣的氣體常數為 0.287 kJ/(kg⋅K)0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，CpC_p 為 1.005 kJ/(kg⋅K)1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。

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核心觀念

本題考查理想氣體的比熵變化，以及穩定流動時空氣的能量變化率。

理想氣體的比熵變化為

s2−s1=Cpln⁡(T2T1)−Rln⁡(P2P1)s_2-s_1=C_p\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-R\ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)

溫度須使用絕對溫度。穩定流動下，若忽略動能與位能變化，空氣的能量變化率為

E˙air=m˙(h2−h1)=m˙Cp(T2−T1)\dot{E}_{\text{air}}=\dot{m}(h_2-h_1) =\dot{m}C_p(T_2-T_1)

解題方法

將入口、出口狀態分別標記為 1、2。先將溫度換算成 K，再代入理想氣體比熵公式；能量部分則以質量流率乘上單位質量的焓變化。

溫度為

T1=17+273.15=290.15 K,T2=57+273.15=330.15 KT_1=17+273.15=290.15\ \mathrm{K},\qquad T_2=57+273.15=330.15\ \mathrm{K}

（一）空氣的比熵變化

s2−s1=1.005ln⁡(330.15290.15)−0.287ln⁡(600100)≈1.005(0.1292)−0.287(1.7918)≈−0.384 kJ/(kg⋅K)\begin{aligned} s_2-s_1 &=1.005\ln\left(\frac{330.15}{290.15}\right) -0.287\ln\left(\frac{600}{100}\right)\\ &\approx 1.005(0.1292)-0.287(1.7918)\\ &\approx -0.384\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \end{aligned}
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