114 地方特考三等 機械工程類科 機械設計 考古題詳解

114 年・地方特考・三等・機械工程類科
試題代碼 機械設計

第 一 題25 分

一輪轂藉方形鍵固定安裝於傳動軸上。已知該傳動軸在操作轉速 600 rpm600\ \mathrm{rpm} 下傳送 30 kW30\ \mathrm{kW} 的功率。假設軸的降伏強度 Sy=560 MPaS_y=560\ \mathrm{MPa}，安全係數取 2.52.5，試根據最大剪應力失效理論，求該軸不會降伏失效的最小直徑 DD（無條件進位取整數 mm\mathrm{mm}）。

假設方形鍵的寬度 w=D/4w=D/4，剪力降伏強度 Ssy=250 MPaS_{sy}=250\ \mathrm{MPa}，安全係數亦取 2.52.5，試依據最大剪應力失效準則，求該鍵抵抗剪力失效所需的最小長度 LL。

圖示標註：輪轂、鍵、軸、軸徑 DD、鍵寬 ww。

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核心觀念

本題考查圓軸扭轉降伏與平鍵剪力設計。

  • 圓軸受純扭轉時，最大剪應力為 τmax⁡=16TπD3\tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi D^3}。依最大剪應力理論（Tresca），材料開始降伏時的剪應力為 Sy2\dfrac{S_y}{2}，所以軸的容許剪應力為 Sy2n\dfrac{S_y}{2n}。
  • 鍵承受的切向力由扭矩平衡得 F=2TDF=\dfrac{2T}{D}；鍵的剪切面積為 wLwL，故鍵的剪應力為 τ=FwL=2TDwL\tau=\dfrac{F}{wL}=\dfrac{2T}{DwL}。題目已給鍵的剪力降伏強度 SsyS_{sy}，其容許剪應力為 Ssyn\dfrac{S_{sy}}{n}。

解題方法

先由功率與轉速求扭矩，再用軸的最大剪應力條件求最小軸徑；軸徑取整數後，代入鍵寬與鍵的剪力條件求所需長度。

1. 求軸傳遞的扭矩

T=Pω=30 0002π(600/60)=477.46 N m=477 460 N mmT=\frac{P}{\omega} =\frac{30\,000}{2\pi(600/60)} =477.46\ \mathrm{N\,m} =477\,460\ \mathrm{N\,mm}

2. 依最大剪應力理論求軸徑

軸材的容許剪應力為

τallow=Sy2n=5602(2.5)=112 MPa\tau_{\mathrm{allow}} =\frac{S_y}{2n} =\frac{560}{2(2.5)} =112\ \mathrm{MPa}

令圓軸最大剪應力等於容許值：

16TπD3=112\frac{16T}{\pi D^3}=112
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第 二 題25 分

已知一承受變動軸向應力作用的鋼製桿件，該軸向應力在最小應力 σmin⁡=50 MPa\sigma_{\min}=50\ \mathrm{MPa} 與最大應力 σmax⁡=250 MPa\sigma_{\max}=250\ \mathrm{MPa} 之間週期性變動。

已知該桿件材料的修正疲勞限（modified endurance limit）Se=250 MPaS_e=250\ \mathrm{MPa}，假設該桿件抵抗疲勞失效的安全係數 n=2n=2。試求作用在桿件的中值（或平均）應力 σm\sigma_m 及交變應力 σa\sigma_a，並使用 ASME-橢圓（elliptic）疲勞失效準則公式

(nσaSe)2+(nσmSy)2=1\left(\frac{n\sigma_a}{S_e}\right)^2+\left(\frac{n\sigma_m}{S_y}\right)^2=1

求避免疲勞失效下該桿件所需的最小降伏強度 SyS_y。

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核心觀念

變動應力可分解為平均應力與交變應力：

σm=σmax⁡+σmin⁡2,σa=σmax⁡−σmin⁡2\sigma_m=\frac{\sigma_{\max}+\sigma_{\min}}{2},\qquad \sigma_a=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}

其中，σm\sigma_m 表示應力循環的中心值，σa\sigma_a 表示相對於平均值的振幅。題目指定使用 ASME 橢圓疲勞失效準則：

(nσaSe)2+(nσmSy)2=1\left(\frac{n\sigma_a}{S_e}\right)^2+ \left(\frac{n\sigma_m}{S_y}\right)^2=1

已知修正疲勞限 SeS_e、安全係數 nn，即可由此式求所需的最小降伏強度 SyS_y。

解題方法

先由最大、最小應力求平均應力與交變應力：

σm=250+502=150 MPa\sigma_m=\frac{250+50}{2}=150\ \mathrm{MPa} σa=250−502=100 MPa\sigma_a=\frac{250-50}{2}=100\ \mathrm{MPa}

將 σm=150 MPa\sigma_m=150\ \mathrm{MPa}、σa=100 MPa\sigma_a=100\ \mathrm{MPa}、Se=250 MPaS_e=250\ \mathrm{MPa}、n=2n=2 代入 ASME 橢圓準則：

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第 三 題25 分

已知具有角度 α=110∘\alpha=110^\circ 雙環狀襯墊的碟式剎車（disk brake），該襯墊的內、外半徑分別為 ri=50 mmr_i=50\ \mathrm{mm} 及 ro=110 mmr_o=110\ \mathrm{mm}。

假設襯墊與剎車轉盤間的摩擦係數 f=0.35f=0.35，設計時要求剎車扭矩容量 T=550 N⋅mT=550\ \mathrm{N\cdot m}，試依據均勻壓力（uniform pressure）及均勻磨耗（uniform wear）的條件，分別求作用在襯墊所需的致動力 FF。

圖示標註：轉盤、襯墊，以及作用於雙環狀襯墊兩側的致動力 FF。

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核心觀念

本題考查碟式剎車的摩擦扭矩，以及兩種襯墊壓力分布假設：

  • 均勻壓力：接觸壓力 pp 為常數。
  • 均勻磨耗：磨耗量與壓力、滑動速度成正比；因滑動速度與半徑 rr 成正比，故 pr=Cpr=C，其中 CC 為常數。

圖中是雙襯墊、兩側各有一個摩擦面。每側襯墊所受致動力為 FF，故兩個摩擦面的總剎車扭矩為單一摩擦面扭矩的兩倍。

解題方法

令襯墊扇形角度為 α\alpha，面積微元為 dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\theta。單一摩擦面上的微小摩擦力為 fp dAf p\,dA，其對轉軸的微小扭矩為 fpr dAf p r\,dA。因此，兩個摩擦面的總扭矩為

T=2f∫Apr dA.T=2f\int_A p r\,dA.

一、均勻壓力

令壓力為常數 pp。單側襯墊的法向力為

F=∫Ap dA=p∫0α∫riror dr dθ=pα2(ro2−ri2).F=\int_A p\,dA =p\int_0^\alpha\int_{r_i}^{r_o}r\,dr\,d\theta =\frac{p\alpha}{2}(r_o^2-r_i^2).

兩個摩擦面的總扭矩為

T=2fp∫0α∫riror2 dr dθ=2fpα3(ro3−ri3).T=2f p\int_0^\alpha\int_{r_i}^{r_o}r^2\,dr\,d\theta =\frac{2fp\alpha}{3}(r_o^3-r_i^3).

消去 pαp\alpha，得

T=2fF[23ro3−ri3ro2−ri2].T=2fF\left[\frac{2}{3}\frac{r_o^3-r_i^3}{r_o^2-r_i^2}\right].

代入 ri=0.05 mr_i=0.05\ \mathrm{m}、ro=0.11 mr_o=0.11\ \mathrm{m}：

r平均=230.113−0.0530.112−0.052=0.08375 m.r_{\text{平均}} =\frac{2}{3}\frac{0.11^3-0.05^3}{0.11^2-0.05^2} =0.08375\ \mathrm{m}.

因此所需致動力為

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第 四 題25 分

已知一用於鎖緊螺栓的套筒鈑手，其係由施力桿 CDCD 及桿 OCOC 組成。各桿的幾何尺寸分別為 a=50 mma=50\ \mathrm{mm}、b=300 mmb=300\ \mathrm{mm}、c=50 mmc=50\ \mathrm{mm} 及 d=300 mmd=300\ \mathrm{mm}；桿 OCOC 的 ABAB 段直徑為 25 mm25\ \mathrm{mm}。

施力桿 CDCD 視為剛體，桿 OCOC 的材質為降伏強度 Sy=600 MPaS_y=600\ \mathrm{MPa} 的合金鋼。若強度設計僅考慮桿 OCOC 的降伏破壞，並假設該鈑手結構最弱處在 OCOC 桿 ABAB 段的 AA 點處。已知施加於施力桿 CDCD 之 DD 端的力 F=1200 NF=1200\ \mathrm{N}，試根據畸變能失效理論（Distortion energy failure theory），且不考慮應力集中效應下，求該鈑手不會降伏失效的安全係數。

圖示標註：OA=aOA=a、AB=cAB=c、BC=bBC=b、CD=dCD=d；ABAB 段直徑為 25 mm25\ \mathrm{mm}；另有直徑 40 mm40\ \mathrm{mm} 的桿段；座標軸為 xx、yy、zz；力 FF 作用於 DD 點。

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核心觀念

本題考查套筒鈑手受力後，圓軸同時承受彎曲與扭轉時，如何用畸變能失效理論（von Mises 準則）判斷降伏安全係數。

對直徑為 DD 的實心圓軸，外表面彎曲正應力與扭轉剪應力為

σb=32MπD3,τt=16TπD3\sigma_b=\frac{32M}{\pi D^3},\qquad \tau_t=\frac{16T}{\pi D^3}

平面應力狀態的 von Mises 等效應力為

σvm=σb2+3τt2\sigma_{\mathrm{vm}}=\sqrt{\sigma_b^2+3\tau_t^2}

安全係數為

n=Syσvmn=\frac{S_y}{\sigma_{\mathrm{vm}}}

解題方法

在 AA 點的 ABAB 段切開桿 OCOC，取外側的 BB、CC 與施力桿 CDCD 作自由體圖。施力桿視為剛體，因此 DD 點的力 FF 傳至 CC；對 AA 截面而言，該力造成彎矩與扭矩。

依題目標示，AB=c=50 mmAB=c=50\ \mathrm{mm}、BC=b=300 mmBC=b=300\ \mathrm{mm}、CD=d=300 mmCD=d=300\ \mathrm{mm}。因此 AA 至 CC 的距離為

AC=AB+BC=c+b=350 mmAC=AB+BC=c+b=350\ \mathrm{mm}

力 FF 對 AA 截面造成的彎矩大小為

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