112 地方特考三等 機械工程類科 機械設計 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・機械工程類科
試題代碼 機械設計

第 一 題20 分

已知結構工程應用需使用一圓形桿件來支撐 400 kN400\ \text{kN} 的軸向拉力 FF，且不會超過所選用材料的降伏強度 SyS_y。設計時考量選用 1040 碳鋼、4140 合金鋼、Al 2024 鋁合金及 Ti-6Al-4V 鈦合金四種材料，其材料性質如下表所示。請依據最小直徑的設計目標，決定上述材料中最適用的一種材料。列出計算結果，並說明理由。

提示：軸向應力 σ=F/A=Sy\sigma=F/A=S_y。

材質彈性係數 EE（GPa）降伏強度 SyS_y（MPa）
1040 碳鋼200552
4140 合金鋼2001140
Al 2024 鋁合金72345
Ti-6Al-4V 鈦合金114830

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核心觀念

本題考查軸向拉伸的正應力，以及依材料降伏強度進行桿件尺寸設計。桿件不超過降伏強度的條件為

σ=FA≤Sy\sigma=\frac{F}{A}\leq S_y

以題目提示的設計極限 σ=Sy\sigma=S_y 計算時，所需截面積為 A=F/SyA=F/S_y。圓形截面有 A=πd2/4A=\pi d^2/4，因此

d=4FπSyd=\sqrt{\frac{4F}{\pi S_y}}

在載重相同時，降伏強度越高，所需直徑越小。彈性係數 EE 描述材料的彈性變形特性，並不影響此題以降伏強度為限制的最小直徑計算。

解題方法

先統一單位：F=400 kN=400,000 NF=400\ \text{kN}=400{,}000\ \text{N}，而 1 MPa=1 N/mm21\ \text{MPa}=1\ \text{N/mm}^2，故各材料的 SyS_y 可直接代入公式，求得直徑單位為 mm\text{mm}。

材質降伏強度 SyS_y（MPa）所需截面積 A=F/SyA=F/S_y（mm²）最小直徑 d=4A/πd=\sqrt{4A/\pi}（mm）
1040 碳鋼552400,000/552=724.64400{,}000/552=724.6430.3930.39
4140 合金鋼1140400,000/1140=350.88400{,}000/1140=350.8821.1421.14
Al 2024 鋁合金345400,000/345=1159.42400{,}000/345=1159.4238.4238.42
Ti-6Al-4V 鈦合金830400,000/830=481.93400{,}000/830=481.9324.7724.77
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第 二 題30 分

一根由熱軋鋼車削的旋轉實心鋼軸，承受完全反覆彎矩 MM 的作用，其中 Mmin⁡=−100 kN⋅mmM_{\min}=-100\ \text{kN}\cdot\text{mm}，Mmax⁡=100 kN⋅mmM_{\max}=100\ \text{kN}\cdot\text{mm}。

已知該軸直徑 D=15 mmD=15\ \text{mm}，抗拉強度 Su=630 MPaS_u=630\ \text{MPa}，表面修正因數 ka=0.817k_a=0.817，尺寸因數 kb=0.928k_b=0.928，負荷因數 kc=1k_c=1，溫度因數 kd=1k_d=1，可靠度因素 ke=0.868k_e=0.868，以及雜項效應因素 kf=1k_f=1。不考慮疲勞應力集中因素。該 SuS_u 的疲勞強度分數 f=0.86f=0.86。

每小題 10 分，共 30 分。

(一) 請依據 Marin 修正式，求該實心鋼軸之修正疲勞限（modified endurance limit）SeS_e。

(二) 利用修正古德曼（Goodman）疲勞失效準則，求該軸防範疲勞損壞的安全因數 nn。

(三) 利用應力－壽命方程式 σrev=aNb\sigma_{\mathrm{rev}}=aN^b，求該旋轉軸在上述完全反覆彎矩作用下預期的疲勞壽命 NN。

其中係數為：

a=(fSu)2Sea=\frac{(fS_u)^2}{S_e} b=−log⁡(fSu/Se)3b=-\frac{\log(fS_u/S_e)}{3}

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核心觀念

本題考查 Marin 修正式、修正古德曼準則，以及有限壽命區的應力－壽命關係式。

完全反覆彎矩表示彎矩平均值為零、彎矩振幅等於最大彎矩：

Mm=Mmax⁡+Mmin⁡2=0,Ma=Mmax⁡−Mmin⁡2=100 kN⋅mmM_m=\frac{M_{\max}+M_{\min}}{2}=0,\qquad M_a=\frac{M_{\max}-M_{\min}}{2}=100\ \text{kN}\cdot\text{mm}

對直徑為 DD 的實心圓軸，彎曲應力振幅為：

σa=32MaπD3\sigma_a=\frac{32M_a}{\pi D^3}

Marin 修正式以試片疲勞限 Se′S'_e 乘上各修正因數，得到實際零件的修正疲勞限：

Se=kakbkckdkekfSe′S_e=k_a k_b k_c k_d k_e k_f S'_e

對鋼材，若 Su<1400 MPaS_u<1400\ \text{MPa}，通常取 Se′=0.5SuS'_e=0.5S_u。修正古德曼準則可寫為：

1n=σaSe+σmSu\frac{1}{n}=\frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_u}

其中 σm\sigma_m 是平均應力。本題完全反覆彎曲，所以 σm=0\sigma_m=0。

（一）修正疲勞限 SeS_e

先求試片疲勞限：

Se′=0.5Su=0.5(630)=315 MPaS'_e=0.5S_u=0.5(630)=315\ \text{MPa}

代入 Marin 修正式：

Se=kakbkckdkekfSe′=(0.817)(0.928)(1)(1)(0.868)(1)(315)=207.30 MPa\begin{aligned} S_e &=k_a k_b k_c k_d k_e k_f S'_e\\ &=(0.817)(0.928)(1)(1)(0.868)(1)(315)\\ &=207.30\ \text{MPa} \end{aligned}

（二）修正古德曼安全因數 nn

將彎矩振幅換算為一致單位：

Ma=100 kN⋅mm=100,000 N⋅mmM_a=100\ \text{kN}\cdot\text{mm} =100{,}000\ \text{N}\cdot\text{mm}

實心圓軸的彎曲應力振幅為：

σa=32MaπD3=32(100,000)π(15)3=301.80 MPa\begin{aligned} \sigma_a &=\frac{32M_a}{\pi D^3}\\ &=\frac{32(100{,}000)}{\pi(15)^3}\\ &=301.80\ \text{MPa} \end{aligned}
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第 三 題25 分

如下圖之回歸齒輪系減速機構，正齒輪 2、3、4 與 5 的模數 mm 均為 3 mm3\ \text{mm}，輸出軸與輸入軸的轉速比為 1:121:12。齒輪 2 的齒數為 24，齒輪 5 的齒數為 90。各輪齒均以壓力角 20∘20^\circ 全深齒制切削而成，齒面寬 b=38 mmb=38\ \text{mm}。

圖示齒輪系統中，齒輪 2 與齒輪 3 嚙合，齒輪 3 與齒輪 4 固定於同一中間軸上，齒輪 4 與齒輪 5 嚙合；齒輪 2 連接輸入軸，齒輪 5 連接輸出軸。圖中另標示輸入軸、輸出軸及軸承支承位置。

(一) 試求齒輪 3 及 4 的齒數，以及齒輪 2 與 3 的中心距離。10 分。

(二) 假設齒輪 2 在 1500 rpm1500\ \text{rpm} 轉速下運轉並傳遞功率，請根據彎曲強度及路易斯彎曲應力公式，求作用在齒輪 2 的切線負載 FtF_t 及該齒輪可傳遞的功率。15 分。

已知該齒輪的路易斯（Lewis）形狀係數 Y=0.337Y=0.337，允許彎曲強度 σall=80 MPa\sigma_{\mathrm{all}}=80\ \text{MPa}。

路易斯彎曲應力公式：

σ=KvFtbmY\sigma=\frac{K_vF_t}{bmY}

其中，FtF_t 為作用在輪齒的切線負載（N）；動態因數：

Kv=6.1+V6.1K_v=\frac{6.1+V}{6.1}

VV 為節線速度（m/s）。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查：

  1. 回歸齒輪系的速比關係。
  2. 回歸齒輪系的同中心距條件。
  3. 正齒輪節圓直徑與節線速度。
  4. Lewis 齒根彎曲強度公式。
  5. 切線負載與傳遞功率的關係。

齒輪 33 與齒輪 44 固定於同一中間軸，因此兩者轉速相同；齒輪 22 與 33、齒輪 44 與 55 分別形成兩級齒輪嚙合。

（一）求齒輪 3、4 的齒數及中心距離

1. 由速比求齒數關係

回歸齒輪系的轉速比為

∣n5n2∣=z2z3z4z5\left|\frac{n_5}{n_2}\right| = \frac{z_2}{z_3}\frac{z_4}{z_5}

已知輸出軸與輸入軸轉速比為 1:121:12，因此

n5n2=112\frac{n_5}{n_2}=\frac{1}{12}

代入 z2=24z_2=24、z5=90z_5=90：

24z3z490=112\frac{24}{z_3}\frac{z_4}{90}=\frac{1}{12}

整理得

24z490z3=112\frac{24z_4}{90z_3}=\frac{1}{12} 288z4=90z3288z_4=90z_3 z3=3.2z4z_3=3.2z_4

2. 由回歸條件求齒數

因齒輪 22、33 與齒輪 44、55 的模數相同，且兩對齒輪必須具有相同中心距：

m2(z2+z3)=m2(z4+z5)\frac{m}{2}(z_2+z_3) = \frac{m}{2}(z_4+z_5)

因此

z2+z3=z4+z5z_2+z_3=z_4+z_5

代入已知數值：

24+z3=z4+9024+z_3=z_4+90 z3−z4=66z_3-z_4=66

再代入 z3=3.2z4z_3=3.2z_4：

3.2z4−z4=663.2z_4-z_4=66 2.2z4=662.2z_4=66 z4=30z_4=30 z3=3.2(30)=96z_3=3.2(30)=96

3. 求齒輪 2 與 3 的中心距離

齒輪 22、33 的中心距離為

a23=m2(z2+z3)a_{23}=\frac{m}{2}(z_2+z_3) a23=32(24+96)a_{23}=\frac{3}{2}(24+96) a23=180 mma_{23}=180\ \text{mm}

（二）求齒輪 2 的切線負載及傳遞功率

1. 求齒輪 2 的節圓直徑

正齒輪節圓直徑為

d2=mz2d_2=mz_2 d2=3(24)=72 mm=0.072 md_2=3(24)=72\ \text{mm} =0.072\ \text{m}

2. 求節線速度

齒輪節線速度為

V=πd2n260V=\frac{\pi d_2 n_2}{60}
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第 四 題25 分

規格 M20×2.5M20\times2.5 的 ISO 粗螺紋螺栓使用於一螺栓接頭中，承受 20 kN20\ \text{kN} 的外拉力負載 PP。該螺栓的預負荷 Fi=125 kNF_i=125\ \text{kN}，而螺栓與組件勁度比為 1:41:4。

已知該螺栓的安全強度（proof strength）Sp=600 MPaS_p=600\ \text{MPa}，螺栓拉應力面積（tensile stress area）At=245 mm2A_t=245\ \text{mm}^2。

(一) 試求防範螺栓因靜應力超過安全負荷而降伏的安全係數。15 分。

(二) 試求導致該螺栓接頭分開的外施負載值。10 分。

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核心觀念

螺栓接頭受外拉力時，外力會依螺栓與被夾組件的勁度分配。令

C=kbkb+kmC=\frac{k_b}{k_b+k_m}

其中 kbk_b 為螺栓勁度，kmk_m 為組件勁度。題目給勁度比 kb:km=1:4k_b:k_m=1:4，所以

C=11+4=0.2C=\frac{1}{1+4}=0.2

外力 PP 使螺栓增加的拉力為 CPCP，故螺栓總拉力為 Fi+CPF_i+CP。以安全強度（proof strength）計算防止超過安全負荷的安全係數：

np=SpAtFi+CPn_p=\frac{S_pA_t}{F_i+CP}

接頭開始分離時，被夾組件的壓縮力降為零。組件壓縮力為 Fi−(1−C)PF_i-(1-C)P，令其等於零即可求分離負載。

解題方法

螺栓的安全負荷（proof load）為

Fp=SpAt=(600 N/mm2)(245 mm2)=147,000 N=147 kNF_p=S_pA_t =(600\ \text{N/mm}^2)(245\ \text{mm}^2) =147{,}000\ \text{N} =147\ \text{kN}

在外拉力 P=20 kNP=20\ \text{kN} 下，螺栓所受總拉力為

Fb=Fi+CP=125+0.2(20)=129 kNF_b=F_i+CP =125+0.2(20) =129\ \text{kN}
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