112 地方特考三等 機械工程類科 流體力學 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・機械工程類科
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

如下圖所示，一個桶子倒過來放入水中，桶底接了一根 U 型管壓力計測壓力。我們在桶底施加一個力量 FF 往上，維持桶子在圖中的姿態。

假如壓力計內的工作流體的比重（SG）是 2.62.6，重力加速度為 9.8 m/s29.8\ \mathrm{m/s^2}，水的密度為 1,000 kg/m31{,}000\ \mathrm{kg/m^3}。請問 hh 為多少公尺？

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核心觀念

本題考查：

  1. 靜水壓力公式 p=p0+ρgΔzp=p_0+\rho g\Delta z
  2. 連通流體中同一水平面壓力相等。
  3. U 型管壓力計的壓力平衡。
  4. 表壓概念：大氣壓力在計算中會相互抵消。

設外界水面為基準面，標高 z=0z=0。

  • 桶底位於水面下 3 m3\ \mathrm{m}，故 zB=−3 mz_B=-3\ \mathrm{m}。
  • 桶內水面位於水面上 3 m3\ \mathrm{m}，故 zC=+3 mz_C=+3\ \mathrm{m}。
  • 壓力計左側界面標高為 4 m4\ \mathrm{m}。
  • 壓力計右側自由液面標高為 hh。

解題方法

一、求桶內空氣壓力

外界水面壓力為大氣壓力 patmp_{\mathrm{atm}}。

桶底與外界水相通，因此桶底壓力為

pB=patm+ρwg(3)p_B=p_{\mathrm{atm}}+\rho_w g(3)

由桶底向上至桶內水面，垂直上升高度為

3+3=6 m3+3=6\ \mathrm{m}

所以桶內空氣壓力為

pair=pB−ρwg(6)p_{\mathrm{air}} =p_B-\rho_w g(6)

代入 pBp_B：

pair=patm+ρwg(3)−ρwg(6)p_{\mathrm{air}} =p_{\mathrm{atm}}+\rho_w g(3)-\rho_w g(6) pair−patm=−3ρwgp_{\mathrm{air}}-p_{\mathrm{atm}} =-3\rho_w g

因此桶內空氣為負表壓。

二、建立 U 型管壓力計方程式

壓力計工作流體密度為

ρm=SG⋅ρw=2.6(1000)=2600 kg/m3\rho_m=SG\cdot \rho_w =2.6(1000) =2600\ \mathrm{kg/m^3}
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第 二 題20 分

在一圓形風洞（直徑 2 m2\ \mathrm{m}）內有一個網子，如圖。網子前後壓力分別為 100100 與 20 Pa20\ \mathrm{Pa}。在風洞入口均勻流速度為 2 m/s2\ \mathrm{m/s}。網後的速度如圖，中間為零，往管壁速度加快，呈線性增加。忽略管壁的摩擦力，請問網子受到的阻力是多少？

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核心觀念

本題考查：

  1. 連續方程式：由流量守恆求網後速度分布。
  2. 線動量方程式：利用控制體積求網子對流體的作用力，再由牛頓第三定律求網子所受阻力。
  3. 圓管截面積為 A=πR2A=\pi R^2，且網後速度沿半徑呈線性分布。

取風洞軸向向右為正方向。圓形風洞直徑 2 m2\ \mathrm{m}，故

R=1 m,A=πR2=π m2R=1\ \mathrm{m},\qquad A=\pi R^2=\pi\ \mathrm{m^2}

解題方法

1. 求網後速度分布

入口速度均勻為

V1=2 m/sV_1=2\ \mathrm{m/s}

網後中心速度為零，且速度往管壁呈線性增加，因此可設

V2(r)=krV_2(r)=kr

其中 rr 為距離中心軸的半徑。

由連續方程式，入口與出口體積流率相等：

Q1=V1A=2πQ_1=V_1A=2\pi

出口流量為

Q2=∫AV2 dA=∫0Rkr(2πr dr)Q_2=\int_A V_2\,dA =\int_0^R kr(2\pi r\,dr)

代入 R=1 mR=1\ \mathrm{m}：

Q2=2πk∫01r2 dr=2πk3Q_2=2\pi k\int_0^1r^2\,dr =\frac{2\pi k}{3}

因此

2πk3=2π⇒k=3\frac{2\pi k}{3}=2\pi \quad\Rightarrow\quad k=3

所以網後速度分布為

V2(r)=3rV_2(r)=3r

管壁處最大速度為

V2,max⁡=3R=3 m/sV_{2,\max}=3R=3\ \mathrm{m/s}

2. 計算動量流率變化

入口速度均勻，因此入口動量流率為

∫AρV12 dA=ρV12A=4ρπ\int_A \rho V_1^2\,dA =\rho V_1^2A =4\rho\pi

出口動量流率為

∫AρV22 dA=ρ∫01(3r)2(2πr dr)\int_A \rho V_2^2\,dA =\rho\int_0^1(3r)^2(2\pi r\,dr) =ρ 18π∫01r3 dr=92ρπ=\rho\,18\pi\int_0^1r^3\,dr =\frac{9}{2}\rho\pi

故動量流率增加量為

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第 三 題20 分

考慮一個氣壓計（如下圖左邊）以及一個皮托管（如下圖右邊）。這兩個都連接於一個水平的水管中，分別來量測靜水壓力以及停滯點壓力。請參考圖上的標註數字，並計算此一水平管子中的斷面中間的速度為多少？

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核心觀念

本題利用：

  1. **靜壓測管（氣壓計）**測得管內靜壓力。
  2. 皮托管測得停滯點壓力，即流速降為零時的壓力。
  3. 對管內流體中心線與停滯點套用伯努力方程式：
pγ+V22g+z=p0γ+z0\frac{p}{\gamma}+\frac{V^2}{2g}+z = \frac{p_0}{\gamma}+z_0

其中停滯點速度 V0=0V_0=0。

解題方法

設靜壓測點為 11，皮托管停滯點為 22。兩測點位於同一水平管內，但圖中測點高度不同，因此必須保留高程項。

由靜壓測管與皮托管的液面讀值：

p1γ+z1=zs\frac{p_1}{\gamma}+z_1=z_s p2γ+z2=zp\frac{p_2}{\gamma}+z_2=z_p

其中 zsz_s 為靜壓測管液面高度，zpz_p 為皮托管液面高度。

對測點 11 與停滯點 22 套用伯努力方程式：

p1γ+V122g+z1=p2γ+z2\frac{p_1}{\gamma}+\frac{V_1^2}{2g}+z_1 = \frac{p_2}{\gamma}+z_2

代入測管關係式後：

V122g=(p2γ+z2)−(p1γ+z1)=zp−zs\frac{V_1^2}{2g} = \left(\frac{p_2}{\gamma}+z_2\right) - \left(\frac{p_1}{\gamma}+z_1\right) = z_p-z_s

由圖可知兩液面的高度差即為

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第 四 題20 分

一個圓型漏斗倒過來放置如下圖，從底下入口（直徑為 0.1 m0.1\ \mathrm{m}）有速度為 40 m/s40\ \mathrm{m/s} 的空氣流進入，在出口有一錐形物體。其角度為 60∘60^\circ。因為底下有流往上，因此需要一個往下的力量 FA=0.2 NF_A=0.2\ \mathrm{N} 將錐形體保持漂浮在漏斗出口。

請問入口的空氣的質量流率是多少？假設空氣的密度為 1.23 kg/m31.23\ \mathrm{kg/m^3}。（10 分）

錐形物體的質量是多少？（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 質量流率定義 m˙=ρAV\dot{m}=\rho AV

  2. 線性動量方程式 ∑Fy=m˙(V2y−V1y)\sum F_y=\dot{m}(V_{2y}-V_{1y})

  3. 空氣撞擊錐形物體後，流向沿錐面向上、向外。由圖可知錐體頂角為 60∘60^\circ，因此出口速度與垂直方向夾角為 30∘30^\circ。

假設空氣為穩態流動，且忽略摩擦、重力及壓力差造成的影響，出口速度大小近似等於入口速度 40 m/s40\ \mathrm{m/s}。

解題方法

一、入口空氣的質量流率

入口為直徑 0.1 m0.1\ \mathrm{m} 的圓管，因此截面積為

A=πD24=π(0.1)24=7.854×10−3 m2A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.1)^2}{4} =7.854\times 10^{-3}\ \mathrm{m^2}

質量流率為

m˙=ρAV\dot{m}=\rho AV

代入 ρ=1.23 kg/m3\rho=1.23\ \mathrm{kg/m^3}、V=40 m/sV=40\ \mathrm{m/s}：

m˙=1.23(7.854×10−3)(40)\dot{m} =1.23(7.854\times10^{-3})(40) m˙=0.386 kg/s\boxed{\dot{m}=0.386\ \mathrm{kg/s}}

二、錐形物體所受的空氣作用力

取垂直向上為正方向。

入口空氣速度的垂直分量為

V1y=40 m/sV_{1y}=40\ \mathrm{m/s}

空氣沿錐面流出，與垂直方向夾角為 30∘30^\circ，故出口垂直速度分量為

V2y=40cos⁡30∘=34.64 m/sV_{2y}=40\cos30^\circ =34.64\ \mathrm{m/s}

對空氣應用垂直方向動量方程式：

F錐體對空氣,y=m˙(V2y−V1y)F_{\text{錐體對空氣},y} =\dot{m}(V_{2y}-V_{1y})
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第 五 題20 分

考慮水流過一水平塑膠平滑管，其直徑為 0.2 m0.2\ \mathrm{m}，內部平均速度為 10 cm/s10\ \mathrm{cm/s}。請計算出這個管流的雷諾數 ReRe 為多少？（5 分）

由下列的 Moody 圖查出摩擦係數 ff？（5 分）

最後請由 Darcy 方程式計算出管內每公尺的壓力損失為多少？（10 分）

水密度為 1,000 kg/m31{,}000\ \mathrm{kg/m^3}，黏滯係數為 1.12×10−3 N⋅s/m21.12\times10^{-3}\ \mathrm{N\cdot s/m^2}。

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核心觀念

本題考查：

  1. 管流雷諾數 ReRe，判斷流況。
  2. 由 Moody 圖查取光滑管 Darcy 摩擦係數 ff。
  3. 使用 Darcy–Weisbach 方程式求單位長度壓力損失。

雷諾數定義為

Re=ρVDμRe=\frac{\rho VD}{\mu}

Darcy–Weisbach 方程式為

ΔpL=fρV22D\frac{\Delta p}{L}=f\frac{\rho V^2}{2D}

其中 ff 為 Darcy 摩擦係數。

解題方法

一、計算雷諾數

已知

D=0.2 mD=0.2\ \mathrm{m} V=10 cm/s=0.10 m/sV=10\ \mathrm{cm/s}=0.10\ \mathrm{m/s} ρ=1000 kg/m3\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3} μ=1.12×10−3 N⋅s/m2\mu=1.12\times10^{-3}\ \mathrm{N\cdot s/m^2}

代入雷諾數公式：

Re=(1000)(0.10)(0.2)1.12×10−3Re=\frac{(1000)(0.10)(0.2)} {1.12\times10^{-3}} Re=201.12×10−3≈1.79×104Re=\frac{20}{1.12\times10^{-3}} \approx1.79\times10^4

因此

Re≈1.79×104\boxed{Re\approx1.79\times10^4}

因為 Re>4000Re>4000，屬於紊流。

二、由 Moody 圖查摩擦係數

塑膠平滑管可視為光滑管，因此相對粗糙度為

εD≈0\frac{\varepsilon}{D}\approx0

在 Moody 圖上，以

Re≈1.8×104Re\approx1.8\times10^4

與光滑管曲線交會，查得 Darcy 摩擦係數約為

f≈0.027∼0.028\boxed{f\approx0.027\sim0.028}

取

f=0.0274f=0.0274

亦可用光滑管紊流的 Blasius 近似式驗算：

f=0.3164Re−1/4f=0.3164Re^{-1/4}
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