112 地方特考三等 機械工程類科 熱力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查熵變的計算與熱力學第二定律。鐵塊可視為定比熱固體，其熵變由初、末溫度決定；大水槽維持定溫，因此水槽的熵變可由其吸收的熱量除以水槽溫度求得。總熵變為鐵塊與水槽熵變之和。

解題方法

鐵塊由 $T_1=500\ \mathrm{K}$ 冷卻至 $T_2=285\ \mathrm{K}$，質量 $m=50\ \mathrm{kg}$，平均比熱 $c=0.45\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。

（一）鐵塊熵值變化

定比熱固體的熵變為

$$\Delta S_{\text{鐵}}=mc\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)$$

代入數值：

$$\Delta S_{\text{鐵}} =(50)(0.45)\ln\left(\frac{285}{500}\right) =-12.60\ \mathrm{kJ/K}$$

鐵塊降溫，熵值因此減少。

（二）水槽中水的熵值變化

鐵塊放出的熱量為

$$Q_{\text{鐵}}=mc(T_2-T_1) =(50)(0.45)(285-500) =-4{,}837.5\ \mathrm{kJ}$$

負號表示熱量離開鐵塊，因此水槽吸收的熱量為 $Q_{\text{水}}=4{,}837.5\ \mathrm{kJ}$。水槽維持在定溫 $T_{\text{水}}=285\ \mathrm{K}$，故

核心觀念

本題考查熱泵性能係數、房間能量平衡，以及穩態裝置的可用能平衡。

熱泵的性能係數定義為供給室內的熱量與輸入功率之比：

$$\mathrm{COP}_{HP}=\frac{\dot Q_H}{\dot W_{HP}}$$

在室內溫度 $T_H$ 與室外溫度 $T_L$ 之間運轉的卡諾熱泵，其性能係數為：

$$\mathrm{COP}_{HP,Carnot}=\frac{T_H}{T_H-T_L}$$

溫度須使用絕對溫度。可用能破壞率由 Gouy–Stodola 關係式求得：

$$\dot E_D=T_0\dot S_{gen}$$

其中 $T_0$ 為環境溫度，$\dot S_{gen}$ 為整體過程的熵產生率。

解題方法

室內維持定溫，因此熱泵與電熱器供給的總熱量，須等於房間傳至室外的熱量。

已知：

$$T_H=20+273.15=293.15\ \mathrm{K},\qquad T_L=T_0=273.15\ \mathrm{K}$$

卡諾熱泵性能係數為：

$$\mathrm{COP}_{HP,Carnot} =\frac{293.15}{293.15-273.15} =14.6575$$

題目給定實際性能係數為卡諾值的四分之一，因此：

$$\mathrm{COP}_{HP} =\frac{14.6575}{4} =3.6644$$

熱泵輸入功率為 $2.5\ \mathrm{kW}$，故其供熱量為：

$$\dot Q_{H,HP} =\mathrm{COP}_{HP}\dot W_{HP} =3.6644(2.5) =9.1609\ \mathrm{kW}$$

房間需補足的熱量由電熱器提供：

$$\dot Q_{H,e}=12-9.1609=2.8391\ \mathrm{kW}$$

核心觀念

熱機效率受熱源溫度、冷源溫度及循環型式影響。若只比較熱源最高溫度，可用卡諾效率作為理論上限：

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_L}{T_H}$$

其中 $T_H$、$T_L$ 必須使用絕對溫度（K）。實際電廠效率則還受循環設計、設備性能及熱損失影響，不能只由最高操作溫度決定。

解題方法

將燃煤電廠的最高溫度換算為絕對溫度：

$$600^\circ\mathrm{C}=873\ \mathrm{K}$$

燃氣電廠最高溫度為 $1400\ \mathrm{K}$，高於燃煤電廠的 $873\ \mathrm{K}$。在冷源溫度相同時，燃氣電廠的卡諾效率上限較高：

$$1-\frac{T_L}{1400}>1-\frac{T_L}{873}$$

因此，只就熱機效率的理論潛力而言，燃氣電廠較有利。但這不足以推出應全面以燃氣電廠取代燃煤電廠。實際決策還須考量電廠循環與設備效率、燃料供應與成本、操作條件及排放等因素。

解題技巧

比較熱力學溫度時，先換算為 K；同一冷源下，較高的熱源溫度代表較高的卡諾效率上限，但不等於實際效率必然較高。

（二）燃氣輪機回收廢熱的限制

核心觀念

燃氣輪機的廢熱主要存在於渦輪機排氣。回收廢熱時，熱量只能由高溫流體傳向較低溫的工作流體；受限於有限溫差與熱交換器的實際能力，排氣不可能被冷卻至任意低溫。

解題方法與 $T$-$s$ 圖說明

以排氣熱回收產生蒸汽為例，排氣在熱交換器中降溫，將熱量傳給水／蒸汽。熱源排氣的冷卻曲線與受熱流體的升溫曲線之間，必須維持正的溫差。若兩條曲線在某處接近，該處即形成熱交換的「夾點」；受熱流體不能在有限面積的熱交換器中超越熱源溫度。

 T
 ↑
高溫排氣 │\
 │ \ 排氣冷卻曲線
 │ \____
 │ \ ← 夾點：需保留有限溫差
 │ ／
 │ ／ 水／蒸汽受熱曲線
低溫 └────────────→ s

因此，廢熱回收量受排氣可冷卻的溫度範圍限制：排氣不能低於受熱流體溫度加上必要的端點溫差；系統還受熱交換器面積、壓力損失及材料耐溫等實務條件限制。若採燃氣輪機本身的回熱器（recuperator），其另一項關鍵條件是渦輪機排氣溫度須高於壓縮機出口溫度，否則無法有效預熱壓縮空氣。

解題技巧

在 $T$-$s$ 圖上檢查兩股流體的溫度曲線：只要有交叉，就表示熱量傳遞方向不成立；兩曲線越接近，夾點限制越明顯。

（三）由布雷登循環逼近愛立信循環，並證明效率

核心觀念

本題考查濕空氣中含濕比（題目稱「絕對濕度」）、相對濕度及濕空氣狀態在圖上的表示。

含濕比 $\omega$ 定義為每公斤乾空氣所含的水蒸氣質量：

$$\omega=0.622\frac{p_v}{P-p_v}$$

其中 $p_v$ 為水蒸氣分壓，$P$ 為大氣壓力。相對濕度 $\phi$ 則為水蒸氣分壓與同溫度飽和壓力之比：

$$\phi=\frac{p_v}{p_{ws}}$$

題目給定的「絕對濕度 $0.015$」依濕度圖常用表示，視為含濕比 $\omega_2=0.015\ \mathrm{kg_{水蒸氣}/kg_{乾空氣}}$。

解題方法

先由初始狀態的相對濕度求水蒸氣分壓，再換算初始含濕比；將初始含濕比與終態指定值比較，即可判斷加濕或除濕。接著由終態含濕比反求水蒸氣分壓，再計算終態相對濕度。

（一）判斷加濕或除濕

初始溫度為 $35^\circ\mathrm{C}$，相對濕度為 $40\%$，故初始水蒸氣分壓為

$$p_{v1}=\phi_1p_{ws,35} =0.40(5.628) =2.2512\ \mathrm{kPa}$$

初始含濕比為

$$\omega_1 =0.622\frac{2.2512}{101.325-2.2512} \approx 0.01414\ \mathrm{kg/kg_{乾空氣}}$$

題目指定終態含濕比為 $\omega_2=0.015\ \mathrm{kg/kg_{乾空氣}}$。因為

$$\omega_2>\omega_1$$

每公斤乾空氣所含水蒸氣增加，因此過程需要加濕。溫度由 $35^\circ\mathrm{C}$ 降至 $25^\circ\mathrm{C}$，本身不代表除濕；加濕或除濕須由含濕比的增減判斷。

（二）終態相對濕度

由含濕比關係式反求終態水蒸氣分壓：

$$p_{v2}=\frac{P\omega_2}{0.622+\omega_2} =\frac{101.325(0.015)}{0.622+0.015} \approx 2.385\ \mathrm{kPa}$$

核心觀念

理論空氣量是燃料完全燃燒所需的最低空氣量。假設燃料中的碳完全生成 $\mathrm{CO_2}$、氫完全生成 $\mathrm{H_2O}$，乙醇分子中的氧也可供燃燒使用。

乾空氣以氧氣與氮氣的莫耳比 $1:3.76$ 表示，因此每莫耳氧氣伴隨 $3.76$ 莫耳氮氣。空氣燃油比（air–fuel ratio, A/F）分為：

• 理論莫耳空氣燃油比：理論空氣總莫耳數除以燃料莫耳數。
• 理論質量空氣燃油比：理論空氣質量除以燃料質量。

取原子量 $\mathrm{C}=12$、$\mathrm{H}=1$、$\mathrm{O}=16$、$\mathrm{N}=28$，並採用乾空氣組成 $\mathrm{O_2}+3.76\mathrm{N_2}$。

解題方法

（一）純乙醇

令乙醇完全燃燒反應式為：

$$\mathrm{C_2H_5OH}+a\mathrm{O_2} \rightarrow 2\mathrm{CO_2}+3\mathrm{H_2O}$$

右側產物需要 $2$ 個碳原子及 $6$ 個氫原子，故分別生成 $2\mathrm{CO_2}$ 與 $3\mathrm{H_2O}$。產物含氧原子共 $2(2)+3(1)=7$ 個；乙醇本身已有 $1$ 個氧原子，因此外加氧氣須提供 $6$ 個氧原子，即 $a=3$。

加入隨氧氣進入的氮氣：

$$\mathrm{C_2H_5OH}+3(\mathrm{O_2}+3.76\mathrm{N_2}) \rightarrow 2\mathrm{CO_2}+3\mathrm{H_2O}+11.28\mathrm{N_2}$$

每莫耳乙醇需要的理論空氣莫耳數為：

$$n_{\text{air}}=3(1+3.76)=14.28\ \mathrm{mol}$$

因此理論莫耳空氣燃油比為：

$$\left(\frac{A}{F}\right)_{\text{mol}} =\frac{14.28}{1} =\boxed{14.28\ \frac{\mathrm{mol\ air}}{\mathrm{mol\ fuel}}}$$

乙醇莫耳質量為 $46\ \mathrm{g/mol}$。每莫耳理論空氣的質量為：

$$m_{\text{air}} =3(32)+11.28(28) =96+315.84 =411.84\ \mathrm{g}$$

所以理論質量空氣燃油比為：

$$\left(\frac{A}{F}\right)_{\text{mass}} =\frac{411.84}{46} =\boxed{8.953\ \frac{\mathrm{kg\ air}}{\mathrm{kg\ ethanol}}}$$

（二）質量比 85% 乙醇與 15% 汽油（以 $\mathrm{C_8H_{18}}$ 表示）

以 $1\ \mathrm{kg}$ 混合燃料為基準，含乙醇 $0.85\ \mathrm{kg}$、辛烷 $0.15\ \mathrm{kg}$。兩者莫耳質量分別為：

$$M_{\mathrm{C_2H_5OH}}=46\ \mathrm{kg/kmol}, \qquad M_{\mathrm{C_8H_{18}}}=114\ \mathrm{kg/kmol}$$

燃料各成分的莫耳數為：