112 地方特考三等 機械工程類科 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查斜面上的受力分析與摩擦力判定：

• 法向力：$N$
• 靜摩擦力：$f_s\leq \mu_s N$
• 動摩擦力：$f_k=\mu_k N$
• 力 $P$ 與斜面夾角為 $20^\circ$，因此：
• 沿斜面方向分量：$P\cos20^\circ$
• 垂直斜面方向分量：$P\sin20^\circ$

方塊重量為

重量分量為

（一）施加 $200\ \mathrm{N}$ 時的摩擦力

1. 計算法向力

力 $P$ 的垂直分量會使方塊離開斜面，因此法向力為

代入 $P=200\ \mathrm{N}$：

2. 判斷方塊的運動趨勢

沿斜面向上方向取正：

若沒有摩擦力，方塊會有向上滑動的趨勢，因此靜摩擦力應沿斜面向下。

平衡時所需摩擦力為

3. 檢查靜摩擦力是否足夠

最大靜摩擦力為

因為

所以方塊可以保持靜止，實際摩擦力不是 $\mu_sN$，而是平衡所需的 $60.99\ \mathrm{N}$。

（二）使方塊開始向上滑動所需的力 $P$

方塊即將向上滑動時，靜摩擦力達到最大值，且方向沿斜面向下：

1. 垂直斜面方向平衡

核心觀念

本題考查「無外力作用下，系統質心位置保持不變」。

平台與兩人組成封閉系統，平台移動時摩擦力可忽略，因此水平方向沒有外力，系統的水平質心不變。

設平台向右位移為 $D$。由圖可知：

• $m_1$ 原在平台右端，向左相對平台移動 $x_1$
• $m_2$ 原在平台左端，向右相對平台移動 $x_2$
• 平台寬度為 $W$

解題方法與推導

以平台初始左端為水平位置基準。

初始時：

• 平台質心位置可用平台左端位置表示為 $0$
• $m_2$ 的位置為 $0$
• $m_1$ 的位置為 $W$

因此，初始系統質心的分子為

平台向右移動 $D$ 後：

• 平台質心位置為 $D$
• $m_2$ 的絕對位置為 $D+x_2$
• $m_1$ 的絕對位置為 $D+W-x_1$

由質心位置不變：

整理得

所以

核心觀念

將繩子與三隻猴子視為完整系統，猴子對繩子的作用力屬於系統內力，可相互抵消。依牛頓第二運動定律：

取鉛直向上為正方向。繩子質量忽略，因此系統總質量為三隻猴子的質量總和。

解題方法

系統受到的外力只有：

• $D$ 點繩張力 $T_D$，方向向上。
• 三隻猴子的總重量，方向向下。

三隻猴子的加速度分別為：

其中猴子 $B$ 等速度上爬，所以加速度為 $0$。

依牛頓第二定律：

右側為系統各部分質量乘以其加速度的總和：

核心觀念

本題結合：

1. 剛性管繞固定插銷 $A$ 轉動。
2. 由幾何相容條件求鋼索 $BD$ 的伸長量。
3. 使用胡克定律求鋼索張力： $T=\frac{AE}{L}\Delta L$
4. 對剛性管取 $A$ 點力矩平衡，求負載 $P$。

鋼索原長為 $3$-$4$-$5$ 三角形：

$L_{BD}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{m}$

鋼索截面積為

解題方法

1. 求剛性管的轉角

$AC=6\ \mathrm{m}$，端點 $C$ 向下移動

$\delta_C=1.5\ \mathrm{cm}=0.015\ \mathrm{m}$

小變形下，剛性管轉角為

點 $D$ 距離 $A$ 為 $3\ \mathrm{m}$，因此其垂直位移為

2. 求鋼索伸長量

鋼索方向由 $D$ 指向 $B$，其垂直方向餘弦為

$\frac{4}{5}$

因此點 $D$ 沿鋼索方向的位移，即鋼索伸長量為

3. 由胡克定律求鋼索張力

鋼的彈性模量為

核心觀念

本題考查扭矩由螺栓聯接器傳遞時的剪應力分配，使用：

1. 實心圓軸最大剪應力公式 $\tau_{\text{軸,max}}=\frac{Tc}{J}$

2. 實心圓截面之極慣性矩 $J=\frac{\pi r^4}{2}$

3. 螺栓剪應力定義 $\tau_{\text{螺栓}}=\frac{V}{A}$

其中 $R$ 為螺栓中心至軸心的半徑，$r$ 為軸半徑，$d$ 為螺栓直徑。

解題方法

軸為實心圓軸，因此軸表面的最大剪應力為

每一支螺栓的剪切面積為

由於螺栓中的剪應力均勻，每支螺栓所承受的剪力為

螺栓群以半徑 $R$ 傳遞扭矩。設螺栓數為 $n$，則所有螺栓提供的扭矩為