114 地方特考三等 土木工程類科 材料力學 考古題詳解

核心觀念

本題考剛性桿件由垂直鋼線支撐時的變形與轉角。每根鋼線視為軸向彈簧，其伸長量為

其中 $N$ 為鋼線拉力、$L$ 為長度、$A$ 為截面積、$E$ 為楊氏模數。剛性桿件的垂直位移沿桿長呈線性變化，因此兩端位移差除以桿長，即為小轉角的弧度值。

解題方法

依圖中尺寸，$AB$ 長 $1.5\ \mathrm{m}$，負載距 $A$ 為 $0.3\ \mathrm{m}$；$CD$ 長 $2.1\ \mathrm{m}$，$H$ 距 $D$ 為 $0.6\ \mathrm{m}$。上、下鋼線長度分別為 $1.2\ \mathrm{m}$、$1.5\ \mathrm{m}$。令各鋼線拉力為其支承力。

1. 由構件 $AB$ 平衡求下方鋼線拉力

對 $AB$ 取 $A$ 點力矩：

再由垂直力平衡：

2. 由構件 $CD$ 平衡求上方鋼線拉力

$CD$ 上受 $T_A$、$T_B$ 向下作用，兩根上方鋼線提供向上拉力。以 $D$ 點取力矩：

垂直力平衡得：

3. 求構件 $CD$ 的轉角

各鋼線的 $AE$ 相同：

上方鋼線伸長量等於 $CD$ 對應端點的向下位移：

核心觀念

薄壁圓筒壓力容器受內壓時，筒壁主要承受環向應力與軸向應力。題目詢問內壁最大剪應力，須先求出內壁的三個主應力，再由主應力差計算最大剪應力：

薄壁近似下，圓筒壁的徑向應力常忽略；若要判斷內壁的應力狀態，徑向應力則為內壓的負值。

解題方法

以題目給定的內半徑 $r=1\ \mathrm{m}$ 及壁厚 $t=0.1\ \mathrm{m}$，採薄壁圓筒公式計算環向與軸向應力：

核心觀念

本題是「懸臂梁端部加設滾支承」的超靜定梁問題，使用線性疊加求支承反力，再由彎矩圖比較最大正、負彎矩。

以左端滾支承為 $x=0$、右端固定端為 $x=L$。滾支承限制豎向位移，因此須滿足 $v(0)=0$。彎矩與撓度曲率的關係為 $M(x)=EI\,v''(x)$。

解題方法

先將左端滾支承反力記為向上的 $R$，將梁視為懸臂梁，疊加集中荷重 $P$ 與反力 $R$ 的撓度。

由題目參考表，集中荷重 $P$ 作用於 $x=a$ 時，左端位移為

左端向上的反力 $R$ 等效於左端向下集中荷重 $R$ 的反向作用。令參考表中的荷重位置 $a=0$，其左端位移大小為 $RL^3/(3EI)$，方向向上。因此相容條件 $v(0)=0$ 為

得到

接著以 $M(x)=EI\,v''(x)$ 取得彎矩。向上的端部反力在 $0\le x\le L$ 產生彎矩 $Rx$；集中荷重 $P$ 在 $x<a$ 尚未對該截面產生彎矩，在 $x\ge a$ 產生彎矩 $-P(x-a)$。故

核心觀念

本題考查桁架節點平衡、零力桿判定，以及拉壓桿件的降伏與壓桿挫屈。各桿件的軸力由節點平衡求得；拉力或壓力達到材料降伏強度，或壓桿達到挫屈臨界載重，都視為失敗。

圓桿截面積與半徑的關係為 $A=\pi r^2$，題目給定截面二次矩 $I=\frac14 r^4$。降伏載重與兩端鉸接桿件的挫屈臨界載重分別為

解題方法

先由節點平衡求出各桿件內力。全桁架的支承反力為

節點 $C$ 沒有外力，且只有互不共線的 $BC$、$CD$ 兩桿相接，因此兩者皆為零力桿：

在節點 $D$ 平衡，$BD$ 與水平、垂直方向各成 $45^\circ$，可得

再由節點 $B$ 平衡，以及節點 $A$ 的反力，可得其餘桿件內力：

接著計算降伏與挫屈限制。各桿件的降伏軸力為

因此各受力桿件的降伏限制為：

• $AB$：$2P\le 7.5\times10^6$，故 $P\le3.75\times10^6\ \mathrm{N}$。
• $AE$、$DE$：$P\le7.5\times10^6\ \mathrm{N}$。