114 地方特考三等 土木工程類科 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面測量與大地測量的適用範圍，以及三角高程測量中的地球曲率改正。

地球曲率對角度的影響，可用題目所給公式估算：

$$E^{\prime\prime}=\frac{A}{R^2}\times206265^{\prime\prime}$$

其中 $A$ 為測區面積，$R$ 為地球半徑。若影響量小於要求的角度精度，便可忽略曲率。

三角高程測量的曲率與折光合成改正為：

$$h'=h_C+h_R=\frac{(1-k)D^2}{2R}$$

其中 $D$ 為水平距離、$k$ 為大氣折光係數。本題未提供 $k$，第二小題依常用考試假設 $k=0$ 計算，也就是只計地球曲率影響。

解題方法

（一）三角形內角是否須考慮地球曲率

將約 $100\ \mathrm{km}^2$ 的正方形測區面積代入公式。地球半徑取 $R=6370\ \mathrm{km}$：

$$E^{\prime\prime} =\frac{100}{6370^2}\times206265^{\prime\prime} \approx0.508^{\prime\prime}$$

估算的角度影響約為 $0.51^{\prime\prime}$，小於題目要求的 $1^{\prime\prime}$。因此在此測區範圍內，測量三角形內角時不需考慮地球曲率，可按平面測量處理。

（二）忽略曲率造成的三角高程誤差

核心觀念

本題考查兩個經緯儀基本觀念：

1. 重複觀測的精度改善：若各次觀測彼此獨立、精度相同，平均值的中誤差等於單次觀測中誤差除以觀測次數的平方根：

$$m_{\bar{x}}=\frac{m}{\sqrt{n}}$$

其中 $m$ 為單次觀測中誤差，$n$ 為重複觀測次數。

2. 正、倒鏡觀測垂直角：依題目所列公式，正鏡天頂距為 $Z_1$、倒鏡天頂距為 $Z_2$，則

$$\alpha=\frac{Z_2-Z_1}{2}-90^\circ,\qquad i=\frac{Z_1+Z_2}{2}-180^\circ$$

垂直角 $\alpha$ 以水平面為基準；指標差 $i$ 是垂直度盤指標誤差的改正量。

（一）所需重複測量次數

單次儀器精度為 $m=3^{\prime\prime}$，成果中誤差須小於 $1^{\prime\prime}$。將條件代入平均值中誤差公式：

$$\frac{3^{\prime\prime}}{\sqrt{n}}<1^{\prime\prime}$$

兩邊同除以 $1^{\prime\prime}$，得：

$$\sqrt{n}>3 \quad\Longrightarrow\quad n>9$$

次數必須是整數，且題目要求「小於」而非「小於或等於」，所以至少須觀測 10 次。此時平均值中誤差為：

$$m_{\bar{x}}=\frac{3^{\prime\prime}}{\sqrt{10}} \approx 0.949^{\prime\prime}<1^{\prime\prime}$$

（二）垂直角與指標差

已知：

$$Z_1=94^\circ30^{\prime}30^{\prime\prime},\qquad Z_2=265^\circ29^{\prime}20^{\prime\prime}$$

1. 求垂直角 $\alpha$

先求天頂距差：

$$Z_2-Z_1 =265^\circ29^{\prime}20^{\prime\prime} -94^\circ30^{\prime}30^{\prime\prime} =170^\circ58^{\prime}50^{\prime\prime}$$

除以 $2$：

$$\frac{Z_2-Z_1}{2}=85^\circ29^{\prime}25^{\prime\prime}$$

核心觀念

閉合導線有 $n$ 個測點時，內角理論總和為：

$$\sum \beta_{\text{理論}}=(n-2)\times180^\circ$$

角度閉合差是實測內角總和與理論總和的差。若各角觀測精度相同，角度閉合差平均分配至各內角，且改正量的總和須與角度閉合差大小相等、方向相反。

閉合比則以導線總長度除以位置閉合差的長度表示；位置閉合差由縱距誤差與橫距誤差合成。

解題方法

（一）角度閉合差與每角改正量

本題有六個測點，故內角理論總和為：

$$(6-2)\times180^\circ=720^\circ$$

實測總和為 $720^\circ00'30''$，因此角度閉合差為：

$$f_\beta =720^\circ00'30''-720^\circ =+30''$$

正號表示實測角度總和比理論值多 $30''$。六個內角等精度時，平均分配改正量：

$$v_\beta=-\frac{f_\beta}{6} =-\frac{30''}{6} =-5''$$

所以每個內角均應減少 $5''$。

（二）閉合比

核心觀念

本題考查全站儀放樣時，測角誤差造成的橫向位置誤差，以及以 GNSS RTK 進行放樣的作業特性。測角誤差會使放樣方向偏轉；在距離固定時，距離越長，橫向偏差越大。

解題方法

（一）測角誤差造成的最大位置偏離

設放樣距離為 $D=300\text{ m}$，測角誤差為 $\theta=3^{\prime\prime}$。角度誤差所形成的橫向偏差為：

$$e=D\tan\theta$$

小角度時，$\tan\theta\approx\theta$，且角度須以弧度代入。由於

$$1^{\prime\prime}=\frac{\pi}{180\times 3600}\text{ rad}$$

因此

$$\theta=3\times\frac{\pi}{180\times 3600} \approx 1.4544\times10^{-5}\text{ rad}$$

代入得

$$e\approx 300\times 1.4544\times10^{-5} =0.00436\text{ m}$$

故測角誤差所造成的橫向位置偏離約為 $0.0044\text{ m}$，即 $4.4\text{ mm}$。

此計算只計入測角誤差造成的偏差；未納入測距誤差、儀器與標桿對中誤差及其他誤差來源。

（二）GNSS RTK 放樣的優缺點

優點：

• 可直接以已知控制點與設計座標進行定位、放樣，通常不必像傳統全站儀作業一樣設置通視方向。
• 作業速度快，適合大範圍、點位較分散的測量與放樣。