114 地方特考三等 土木工程類科 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題考查桁架的移動載重影響線與桿件容許強度。對每一根桿件，先求移動載重位於各下弦節點時的軸力；載重位於相鄰節點之間時，桿件軸力依影響線作線性變化，因此各桿件的最大拉力或壓力會出現在節點載重的狀態。

桿件以拉力為正、壓力為負。各桿件必須同時符合：

解題方法

取各節點載重狀態分析。桁架跨距為 $24\ \mathrm{m}$，上弦高度為 $8\ \mathrm{m}$，斜桿的水平投影為 $6\ \mathrm{m}$，故斜桿長度為 $10\ \mathrm{m}$，方向餘弦為：

載重位於 B 點

支承反力為：

由 A 點平衡：

由 B 點平衡，$N_{BF}=P$、$N_{BC}=N_{AB}$。再由 F、C 等節點平衡，可得主要桿件軸力如下。

載重位於 C 點

此時 $R_A=R_E=P/2$。由支承端、腹桿與上弦節點平衡，可得 $N_{AF}=-5P/8$、$N_{FC}=N_{CH}=5P/8$、$N_{FG}=N_{GH}=-3P/4$。

下表列出載重分別位於 B、C、D 點時的桿件軸力係數；表中數值乘以 $P$ 即為桿件軸力，正號為拉力、負號為壓力。D 點狀態由對稱性取得。

核心觀念

本題以桁架的單位力法求中點 $C$ 的垂直位移。對各桿件而言，若實際荷重造成的軸力為 $N_i$，在 $C$ 點施加向下單位力造成的軸力為 $n_i$，則

因所有桿件的 $EA$ 相同，可將桿件軸力與長度的加權和先算出，再除以 $EA$。

解題方法

桁架幾何位置為 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(12,0)$、$D(18,0)$、$E(24,0)$，上弦高度為 $8\ \mathrm m$。斜桿長度為 $\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm m$。

先在 $C$ 點施加向下單位力，依桁架平衡求得虛功軸力 $n_i$。以拉力為正：

因此，若荷重 $P$ 位於 $C$ 點，$C$ 點的向下位移影響值為

還須比較移動荷重位於其他節點時的位移影響值。以單位向下荷重置於 $B$ 點，桿件軸力記為 $N_i^{(B)}$。代入單位力法可得

核心觀念

本題是一次超靜定梁，採力法求解。將 A 點固定端彎矩 $M_A$ 選為贅餘力，解除 A 點轉動拘束後，基本結構為 A、C 兩處有垂直反力的靜定梁。再以變形諧合條件要求原結構的 A 點轉角為零：

利用虛功法，轉角可由彎矩圖乘積求得：

其中 $M$ 是實際荷載造成的彎矩，$m$ 是 A 點施加單位力矩造成的彎矩。全梁 $EI$ 為常數，故可在諧合式中約去。

解題方法：力法求 $M_A$

令 $x$ 自 A 點向右量，解除 A 點轉動拘束後，先不施加 $M_A$。此時垂直力及對 A 點取矩平衡為：

解得：

$C_y$ 為負，表示 C 點反力向下。基本結構在各區段的彎矩為：

在基本結構 A 點施加逆時針單位力矩，平衡可得 A、C 垂直反力分別為 $+0.1$、$-0.1$。因此單位力矩彎矩圖為：

故荷載造成的 A 點轉角為：

同理，A 點施加贅餘力矩 $M_A$ 所造成的轉角為：

原結構 A 點轉角為零，因此：

方向為逆時針。

剪力圖與彎矩圖

將 $M_A=300\ \mathrm{kN\cdot m}$ 及外力一併代入整體平衡：

核心觀念

本題以傾角變位法分析對稱門型構架。忽略軸向變形後，兩根柱頂的水平位移相同，記為 $\Delta$；梁兩端沒有相對垂直位移，因此梁沒有弦轉角。令

以下取水平向右位移為正，節點轉角以逆時針為正。柱頂傾角變位式包含側移造成的弦轉角項；梁端傾角變位式則不含弦轉角項。

解題方法

柱底固定，因此每根柱的柱頂端彎矩可寫為

梁端彎矩為

B、C 兩節點皆無外加力矩，分別列節點力矩平衡：

兩式相減可得 $\theta_B=\theta_C=\theta$，代回任一式：

再列水平力平衡。每根柱的水平剪力為