112 地方特考三等 土木工程類科 結構學 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・土木工程類科
試題代碼 結構學

第 一 題25 分

請判斷以下各結構是否為穩定？若為穩定，進一步判斷是靜定或靜不定？若為靜不定，進一步判斷其靜不定度。

圖中粗黑線表示抗彎桿件，而細黑線兩端有空心圓者表示為桁架二力桿件。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中包含結構（1）～（5）。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題判斷平面結構的：

  1. 穩定性：結構是否具有足夠的幾何拘束，能抵抗任意平面外力而不產生機構運動。
  2. 靜定性：僅利用平衡方程式即可求得所有反力與內力。
  3. 靜不定度：未知力數超過獨立平衡方程式數的部分。

對平面桁架：

Ds=m+r−2jD_s=m+r-2j

其中：

  • mm：桿件數
  • rr：支承反力分量數
  • jj：節點數

若 Ds=0D_s=0 且幾何穩定，為靜定桁架；若 Ds>0D_s>0 且幾何穩定，為靜不定桁架。

（1）

此結構由兩個抗彎剛架組成，中間上方以內鉸連接。外部支承包括：

  • 左下方斜向滾支承：1 個反力分量
  • 中間下方滾支承：1 個反力分量
  • 右上方靠牆滾支承：1 個反力分量

兩個剛體之間的內鉸可傳遞水平力與垂直力，但不能傳遞彎矩。

兩個剛體共有 2×3=62\times 3=6 個平衡方程式，而外部反力加上內鉸力的未知數為：

1+1+1+2=51+1+1+2=5

拘束不足一個自由度，中間內鉸使兩側剛架可產生相對轉動，形成機構。因此結構不能維持固定形狀。

判定：不穩定，無靜不定度可言。

（2）

此結構為平面桁架。

節點數

上弦節點 44 個，下弦節點 66 個：

j=10j=10

桿件數

  • 上弦桿：33
  • 下弦桿：55
  • 垂直桿：44
  • 左側及右側端部斜桿：22
  • 左側交叉斜桿：22
  • 中間斜桿：11
  • 右側交叉斜桿：22

因此：

m=3+5+4+2+2+1+2=19m=3+5+4+2+2+1+2=19

支承反力數

  • 左端鉸支承：2
  • 中間滾支承：1
  • 右端鉸支承：2
r=5r=5

代入平面桁架公式：

Ds=m+r−2jD_s=m+r-2j Ds=19+5−2(10)=4D_s=19+5-2(10)=4

桁架具有完整三角形及交叉斜桿配置，幾何上穩定。

判定：穩定，靜不定 4 度。

（3）

此結構亦為平面桁架。

節點數

上弦 33 個節點，下弦 33 個節點：

j=6j=6

桿件數

  • 上弦桿：22
  • 下弦桿：22
  • 左、右端部斜桿：22
  • 內部斜桿：44

因此：

m=2+2+2+4=10m=2+2+2+4=10

支承反力數

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第 二 題25 分

二跨連續梁結構如圖，左右側跨距均為 ll，其斷面撓曲剛性（flexural rigidity）分別為 EIEI 與 2EI2EI。

其左支承為鉸接，右支承為滾接，而中央支承為線彈性支承，其勁度為 kk，且

k=4EIl3k=\frac{4EI}{l^3}

今假設施工時 BDBD 彈簧的長度比設計值少了 Δ\Delta，而強迫拉伸後固定於梁上的 BB 點以及基礎的 DD 點之間。

梁元件僅考慮撓曲變形，請應用最小功法（method of least work）或單位力法（unit-load method）求解 BDBD 彈簧內力，並以合適的方法求 BB 點向下位移。

未依指示方法求解者不予計分。

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核心觀念

本題為二跨連續梁與線彈性支承的相容問題，採用「最小功法」或「單位力法」求解。

彈簧施工時長度比設計長度少 Δ\Delta，安裝後被強迫拉長，因此即使梁尚未變形，彈簧已具有初始拉力。設彈簧對梁在 BB 點施加向下拉力為 TT，則

T=k(Δ+δB)T=k(\Delta+\delta_B)

其中 δB\delta_B 為 BB 點向下位移。

梁的彎曲變形僅考慮彎矩造成的撓曲，單位力法基本公式為

δB=∫MmEI dx\delta_B=\int \frac{M m}{EI}\,dx

其中 MM 為實際彈簧力 TT 所造成的彎矩，mm 為在 BB 點施加單位向下力所造成的彎矩。

解題方法：單位力法求 BB 點柔度

將 BB 點彈簧力 TT 視為作用於簡支梁 ACAC 的集中向下力。

由於 AB=BC=lAB=BC=l，且集中力作用於跨中，兩端支承反力為

RA=RC=T2R_A=R_C=\frac{T}{2}

令左跨座標為 xx，右跨座標為 zz，其中 0≤x≤l0\leq x\leq l、0≤z≤l0\leq z\leq l。

實際彈簧力造成的彎矩

左跨：

M1=T2xM_1=\frac{T}{2}x

右跨：

M2=T2(l−z)M_2=\frac{T}{2}(l-z)

BB 點施加單位向下力造成的彎矩

左跨：

m1=x2m_1=\frac{x}{2}

右跨：

m2=l−z2m_2=\frac{l-z}{2}

左跨撓曲剛性為 EIEI，右跨撓曲剛性為 2EI2EI，故 BB 點柔度為

fBB=∫0lm12EI dx+∫0lm222EI dzf_{BB} =\int_0^l\frac{m_1^2}{EI}\,dx +\int_0^l\frac{m_2^2}{2EI}\,dz

代入 m1,m2m_1,m_2：

fBB=∫0l(x/2)2EI dx+∫0l[(l−z)/2]22EI dzf_{BB} =\int_0^l\frac{(x/2)^2}{EI}\,dx +\int_0^l\frac{[(l-z)/2]^2}{2EI}\,dz =14EI∫0lx2 dx+18EI∫0l(l−z)2 dz=\frac{1}{4EI}\int_0^l x^2\,dx +\frac{1}{8EI}\int_0^l(l-z)^2\,dz =l312EI+l324EI=l38EI=\frac{l^3}{12EI}+\frac{l^3}{24EI} =\frac{l^3}{8EI}

因此，彈簧力 TT 造成的 BB 點向下位移為

δB=fBBT=l38EIT\delta_B=f_{BB}T =\frac{l^3}{8EI}T

彈簧相容條件

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第 三 題25 分

有一靜定結構及其受力如下圖所示。忽略剪力變形以及幾何非線性，在小位移狀態之下，試回答下列問題：

(一) 繪製如下靜定結構之彎矩圖。（5 分）

(二) 不限方法，試求圖中 CC 點左側梁部分的轉角。（10 分）

(三) 使用共軛梁法求圖中 CC 點的向下位移。（10 分）

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核心觀念

本題為靜定結構，重點包括：

  • 內鉸 CC 處彎矩為零：MC=0M_C=0。
  • 由右側梁 CDCD 的靜力平衡求出鉸接力。
  • 左側梁 ACAC 為固定端梁，利用彎矩面積法或單位荷重法求 CC 點左側轉角。
  • 利用共軛梁法，以左側梁的 M/EIM/EI 圖求 CC 點向下位移。
  • 梁段 ABAB 的剛度為 2EI2EI，梁段 BCBC 的剛度為 EIEI。

以下取逆時針為正，向下位移為正。

一、彎矩圖

1. 求右支承反力及鉸接力

右側梁 CDCD 長度為 ll，承受均佈載重 qq，且 CC 點有集中力

P=qlP=ql

對右側梁取 CC 點力矩：

RDl−ql(l2)=0R_D l-q l\left(\frac l2\right)=0

因此

RD=ql2R_D=\frac{ql}{2}

右側梁豎向力平衡：

HC+RD−P−ql=0H_C+R_D-P-ql=0

其中 HCH_C 為左側結構對右側梁的向上作用力，因此

HC+ql2−ql−ql=0H_C+\frac{ql}{2}-ql-ql=0 HC=3ql2H_C=\frac{3ql}{2}

所以左側梁在 CC 點承受向下集中力

3ql2\frac{3ql}{2}

2. 左側梁 ACAC 的彎矩

ACAC 全長為 2l2l，CC 點為內鉸，因此

MC=0M_C=0

左側梁的彎矩圖為線性分布：

  • CC 點：
MC=0M_C=0
  • BB 點距離 CC 為 ll：
MB=−3ql2 l=−32ql2M_B=-\frac{3ql}{2}\,l =-\frac{3}{2}ql^2
  • AA 點距離 CC 為 2l2l：
MA=−3ql2(2l)=−3ql2M_A=-\frac{3ql}{2}(2l) =-3ql^2

故 ABAB、BCBC 均為負彎矩，彎矩圖為一條由 AA 點 −3ql2-3ql^2 線性變化至 CC 點零的直線。

3. 右側梁 CDCD 的彎矩

取距離 CC 為 xx 的截面，0≤x≤l0\le x\le l。由於 CC 點的集中力與鉸接力作用於同一點，其合力為

3ql2−ql=ql2\frac{3ql}{2}-ql=\frac{ql}{2}

因此截面彎矩為

M(x)=ql2x−qx22=q2x(l−x)M(x)=\frac{ql}{2}x-\frac{qx^2}{2} =\frac q2x(l-x)

這是正彎矩拋物線，且：

MC=MD=0M_C=M_D=0

最大彎矩發生於跨中 x=l/2x=l/2：

Mmax⁡=q2(l2)(l2)=ql28M_{\max} =\frac q2\left(\frac l2\right)\left(\frac l2\right) =\frac{ql^2}{8}

二、求 CC 點左側梁部分的轉角

採用彎矩面積法。

左側梁的彎矩大小為

∣M(x)∣=3ql2(2l−x)|M(x)|=\frac{3ql}{2}(2l-x)

其中 xx 自 AA 點起算。

梁段 ABAB

0≤x≤l0\le x\le l，剛度為 2EI2EI：

θAB=−∫0l3ql2(2l−x)2EI dx\theta_{AB} = -\int_0^l \frac{\frac{3ql}{2}(2l-x)}{2EI}\,dx θAB=−3ql4EI[2lx−x22]0l\theta_{AB} = -\frac{3ql}{4EI} \left[2lx-\frac{x^2}{2}\right]_0^l θAB=−9ql38EI\theta_{AB} =-\frac{9ql^3}{8EI}

梁段 BCBC

l≤x≤2ll\le x\le 2l，剛度為 EIEI：

θBC=−∫l2l3ql2(2l−x)EI dx\theta_{BC} = -\int_l^{2l} \frac{\frac{3ql}{2}(2l-x)}{EI}\,dx
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第 四 題25 分

靜不定梁結構如圖所示，圖中桿件 ABAB、BCBC、CDCD 長度皆為 4 m4\,\mathrm{m}；斷面抗彎剛性（flexural rigidity）皆為 5 MN m25\,\mathrm{MN\,m^2}。

試求由於節點 AA 處基礎下陷 0.01 m0.01\,\mathrm{m} 所引起的所有節點位移量以及所有桿件端點彎矩。

本題限用傾角變位法，未使用指定方法計算者不予計分。僅考慮撓曲變形而忽略軸向變形。

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核心觀念

本題為無外力之靜不定剛架，使用傾角變位法求解。由於只考慮撓曲變形、忽略軸向變形：

  • 基礎下陷使 AA 點垂直位移為 −0.01 m-0.01\ \mathrm{m}。
  • DD 點固定不動。
  • 柱件忽略軸向變形，因此 vB=vA=−0.01 m,vC=vD=0v_B=v_A=-0.01\ \mathrm{m},\qquad v_C=v_D=0
  • 梁 BCBC 忽略軸向變形，因此 uB=uC=uu_B=u_C=u 其中 uu 為剛架側移量。
  • A,DA,D 為固定端，故 θA=θD=0\theta_A=\theta_D=0

取逆時針轉角為正，彎矩以逆時針端彎矩為正。

各桿件：

L=4 m,EI=5 MN m2L=4\ \mathrm{m},\qquad EI=5\ \mathrm{MN\,m^2}

故

EIL=1.25 MN m\frac{EI}{L}=1.25\ \mathrm{MN\,m}

解題方法：傾角變位法

傾角變位公式為

Mij=EIL(4θi+2θj−6ψij)M_{ij}=\frac{EI}{L}\left(4\theta_i+2\theta_j-6\psi_{ij}\right) Mji=EIL(2θi+4θj−6ψij)M_{ji}=\frac{EI}{L}\left(2\theta_i+4\theta_j-6\psi_{ij}\right)

其中 ψij\psi_{ij} 為桿件弦線轉角。

令

θB=θ1,θC=θ2\theta_B=\theta_1,\qquad \theta_C=\theta_2

1. 桿件 ABAB

ABAB 為垂直柱，BB 點水平位移為 uu，故其弦線轉角為

ψAB=−u4\psi_{AB}=-\frac{u}{4}

因此

MAB=1.25(2θ1+6u4)M_{AB} =1.25\left(2\theta_1+\frac{6u}{4}\right) MBA=1.25(4θ1+6u4)M_{BA} =1.25\left(4\theta_1+\frac{6u}{4}\right)

2. 桿件 BCBC

梁兩端垂直位移差為

vC−vB=0−(−0.01)=0.01 mv_C-v_B=0-(-0.01)=0.01\ \mathrm{m}

故

ψBC=0.014=0.0025\psi_{BC}=\frac{0.01}{4}=0.0025

所以

MBC=1.25(4θ1+2θ2−6(0.0025))M_{BC} =1.25\left(4\theta_1+2\theta_2-6(0.0025)\right) MCB=1.25(2θ1+4θ2−6(0.0025))M_{CB} =1.25\left(2\theta_1+4\theta_2-6(0.0025)\right)

即

MBC=1.25(4θ1+2θ2−0.015)M_{BC}=1.25(4\theta_1+2\theta_2-0.015) MCB=1.25(2θ1+4θ2−0.015)M_{CB}=1.25(2\theta_1+4\theta_2-0.015)

3. 桿件 CDCD

CDCD 柱頂點 CC 水平位移為 uu，故

ψCD=−u4\psi_{CD}=-\frac{u}{4}

因此

MCD=1.25(4θ2+6u4)M_{CD}=1.25\left(4\theta_2+\frac{6u}{4}\right) MDC=1.25(2θ2+6u4)M_{DC}=1.25\left(2\theta_2+\frac{6u}{4}\right)

建立平衡方程式

節點 BB 彎矩平衡

MBA+MBC=0M_{BA}+M_{BC}=0

代入後得

8θ1+2θ2+1.5u−0.015=0(1)8\theta_1+2\theta_2+1.5u-0.015=0 \tag{1}

節點 CC 彎矩平衡

MCB+MCD=0M_{CB}+M_{CD}=0

得

2θ1+8θ2+1.5u−0.015=0(2)2\theta_1+8\theta_2+1.5u-0.015=0 \tag{2}

整體水平平衡

梁 BCBC 雖忽略軸向變形，但仍可傳遞軸力；整體水平平衡可得

θ1+θ2+u=0(3)\theta_1+\theta_2+u=0 \tag{3}

由式 (1)(1)、(2)(2) 相減：

6θ1−6θ2=06\theta_1-6\theta_2=0

因此

θ1=θ2=θ\theta_1=\theta_2=\theta

由式 (3)(3)：

u=−2θu=-2\theta

代入式 (1)(1)：

10θ+1.5(−2θ)−0.015=010\theta+1.5(-2\theta)-0.015=0 7θ=0.0157\theta=0.015

故

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其他考古題

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