112 地方特考三等 土木工程類科 靜力學與材料力學 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・土木工程類科
試題代碼 靜力學與材料力學

第 一 題25 分

有一平面應力元素受應力如下圖所示。如此元素之最大主軸應力 σ1\sigma_1 為 10 MPa10\ \mathrm{MPa}，請計算：

  1. σx\sigma_x。
  2. 最小主軸應力 σ2\sigma_2。
  3. 最大剪應力 τmax⁡\tau_{\max}。
  4. 最大主軸應力之方向。
  5. 最小主軸應力之方向。

提示：

σx1=σx+σy2+σx−σy2cos⁡2θ+τxysin⁡2θ\sigma_{x1}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta

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核心觀念

本題考查平面應力之：

  • 主應力 σ1,σ2\sigma_1,\sigma_2
  • 最大剪應力 τmax⁡\tau_{\max}
  • 主應力方向
  • 莫爾圓或應力轉換公式

依圖示取拉應力為正、壓應力為負：

σy=−40 MPa,τxy=−20 MPa\sigma_y=-40\ \text{MPa},\qquad \tau_{xy}=-20\ \text{MPa}

其中右側元素面之剪應力方向向下，因此 τxy=−20 MPa\tau_{xy}=-20\ \text{MPa}。

解題方法

平面應力之主應力為

σ1,2=σx+σy2±(σx−σy2)2+τxy2\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }

最大剪應力為

τmax⁡=(σx−σy2)2+τxy2\tau_{\max} = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }

題目給定最大主應力 σ1=10 MPa\sigma_1=10\ \text{MPa}，故

10=σx−402+(σx+402)2+20210 = \frac{\sigma_x-40}{2} + \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x+40}{2}\right)^2+20^2 }

令

m=σx−402m=\frac{\sigma_x-40}{2}

則

10−m=(σx+402)2+40010-m = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x+40}{2}\right)^2+400 }

兩邊平方：

(10−m)2=(σx+402)2+400(10-m)^2 = \left(\frac{\sigma_x+40}{2}\right)^2+400

代入 m=(σx−40)/2m=(\sigma_x-40)/2，整理得

σx=2 MPa\sigma_x=2\ \text{MPa}

因此應力狀態為

σx=2 MPa,σy=−40 MPa,τxy=−20 MPa\sigma_x=2\ \text{MPa},\qquad \sigma_y=-40\ \text{MPa},\qquad \tau_{xy}=-20\ \text{MPa}

1. 計算 σx\sigma_x

σx=2 MPa\boxed{\sigma_x=2\ \text{MPa}}

2. 計算最小主應力 σ2\sigma_2

平均應力為

σavg=σx+σy2=2−402=−19 MPa\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{2-40}{2} =-19\ \text{MPa}

半徑為

R=(2−(−40)2)2+(−20)2R = \sqrt{ \left(\frac{2-(-40)}{2}\right)^2+(-20)^2 } R=212+202=29 MPaR = \sqrt{21^2+20^2} = 29\ \text{MPa}

因此

σ1=σavg+R=−19+29=10 MPa\sigma_1=\sigma_{\text{avg}}+R=-19+29=10\ \text{MPa} σ2=σavg−R=−19−29\sigma_2=\sigma_{\text{avg}}-R=-19-29 σ2=−48 MPa\boxed{\sigma_2=-48\ \text{MPa}}
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第 二 題25 分

有一桁架如下圖，BB 點為鉸支撐，DD 點為與水平呈 45∘45^\circ 之滾支撐。EE 點受一集中水平力 PP。試求：

  1. BB 點及 DD 點之反力及方向。
  2. 各桿件軸力。

請重畫該桁架，將軸力寫在各桿件旁；張力為正，壓力為負。

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核心觀念

本題考查平面靜定桁架：

  1. 以整體桁架列 ∑Fx=0\sum F_x=0、∑Fy=0\sum F_y=0、∑M=0\sum M=0，求支承反力。
  2. BB 點為鉸支撐，具有水平及垂直反力。
  3. DD 點為與水平呈 45∘45^\circ 斜面上的滾支撐，反力必垂直斜面，因此方向為左上方 45∘45^\circ。
  4. 以節點法求各桿軸力。桿件受拉為正，受壓為負。

設 PP 向右，桁架每一格水平及垂直長度均為 aa。

一、支承反力

設 BB 點反力為 Bx,ByB_x,B_y；DD 點滾支撐反力為 RDR_D。

由於 DD 點反力方向為左上 45∘45^\circ，故

Dx=−RDcos⁡45∘,Dy=RDsin⁡45∘D_x=-R_D\cos45^\circ,\qquad D_y=R_D\sin45^\circ

因此 Dx=−DyD_x=-D_y。

以 BB 點取力矩：

∑MB=0\sum M_B=0 (2a)Dy−Pa=0(2a)D_y-Pa=0 Dy=P2D_y=\frac{P}{2}

所以

Dx=−P2D_x=-\frac{P}{2}

且

RD=Dx2+Dy2=P2R_D=\sqrt{D_x^2+D_y^2} =\frac{P}{\sqrt2}

由垂直力平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 By+Dy=0B_y+D_y=0 By=−P2B_y=-\frac{P}{2}

由水平力平衡：

∑Fx=0\sum F_x=0 Bx+Dx+P=0B_x+D_x+P=0 Bx=−P2B_x=-\frac{P}{2}

支承反力

  • BB 點：
Bx=−P2\boxed{B_x=-\frac{P}{2}}

即向左；

By=−P2\boxed{B_y=-\frac{P}{2}}

即向下。

  • DD 點：
Dx=−P2\boxed{D_x=-\frac{P}{2}}

即向左；

Dy=P2\boxed{D_y=\frac{P}{2}}

即向上。

其合力為

RD=P2\boxed{R_D=\frac{P}{\sqrt2}}

方向為左上方，與水平夾角 45∘45^\circ。

二、各桿件軸力

採用節點法，先假設所有桿件均受拉，計算結果為正表示張力，為負表示壓力。

桁架構形及桿力如下：

E────F────G────H
│ ╱│ ╱│╲ │
│ ╱ │ ╱ │ ╲ │
A────B────C────D

其中各桿件軸力如下表：

桿件軸力
AEAE00
ABAB00
AFAF00
EFEF−P\boxed{-P}
BFBF00
BCBC00
BGBGP2\boxed{\dfrac{P}{\sqrt2}}
FGFG−P\boxed{-P}
CGCG00
CDCD00
GDGD−P2\boxed{-\dfrac{P}{\sqrt2}}
GHGH00
DHDH00

因此：

  • EFEF、FGFG 為壓力桿；
  • GDGD 為壓力桿；
  • BGBG 為張力桿；
  • 其餘桿件均為零力桿。

三、節點法計算

1. 節點 EE

節點 EE 受水平力 PP。

水平方向：

∑Fx=0\sum F_x=0 P+FEF=0P+F_{EF}=0 FEF=−P\boxed{F_{EF}=-P}

垂直方向：

∑Fy=0\sum F_y=0 FAE=0F_{AE}=0

2. 節點 AA

因 FAE=0F_{AE}=0，節點 AA 僅剩 ABAB 與 AFAF。

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第 三 題25 分

下圖之構造系統中，AA 與 BB 點為鉸支撐（hinge），其它接點均為栓接（pin）。圖中分布載重 w(x)w(x) 之單位為 kN/m\mathrm{kN/m}，且

w(x)=400x(0≤x≤3)w(x)=400x\qquad(0\leq x\leq 3)

試計算：

  1. AA 點與 BB 點支承處之水平與垂直反力（請標示力的大小與方向）。
  2. EFEF 桿與 CDCD 桿之內力（請註明為壓力或張力）。

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核心觀念

本題表面上要求求支承反力與桿件內力，但依圖示結構判斷：

  • AA、BB 為鉸支撐。
  • EFEF、CDCD 均為兩端栓接、沿桿件軸線受力的二力桿。
  • 上、下水平構件及 EFEF、CDCD 組成四連桿機構，缺乏足以維持靜止的幾何拘束。

因此，應先檢查整體是否具有靜力平衡條件，而不能直接套用一般靜定結構公式。

分布載重合力

圖中載重方向向上，且作用範圍為 0≤x≤30\leq x\leq 3：

w(x)=400x kN/mw(x)=400x\ \mathrm{kN/m}

載重合力為

W=∫03400x dx=200x2∣03=1800 kNW=\int_0^3 400x\,dx =200x^2\bigg|_0^3 =1800\ \mathrm{kN}

其作用位置：

xˉ=∫03xw(x) dxW=∫03400x2 dx1800=36001800=2 m\bar{x} =\frac{\int_0^3 xw(x)\,dx}{W} =\frac{\int_0^3 400x^2\,dx}{1800} =\frac{3600}{1800} =2\ \mathrm{m}

所以可將分布載重等效為作用於 x=2 mx=2\ \mathrm{m} 處、方向向上的 1800 kN1800\ \mathrm{kN} 集中力。

靜力平衡檢查

由圖中尺寸：

A=(0,2),B=(0,0)A=(0,2),\quad B=(0,0)

E=(1.5,2),F=(3,0)E=(1.5,2),\quad F=(3,0)

D=(4.5,2),C=(4.5,0)D=(4.5,2),\quad C=(4.5,0)

EFEF 桿

EFEF 桿的方向向量為

EF→=(1.5,−2)\overrightarrow{EF}=(1.5,-2)

桿長為

LEF=1.52+22=2.5 mL_{EF}=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ \mathrm{m}

因此其方向餘弦為

1.52.5=0.6,22.5=0.8\frac{1.5}{2.5}=0.6,\qquad \frac{2}{2.5}=0.8

令 EFEF 桿軸力為 TT，取作用於上方構件 EE 點的力為

(0.6T,−0.8T)(0.6T,-0.8T)

令 CDCD 桿作用於 DD 點的垂直力為 VV。

上方構件對 AA 點取矩

EFEF 在 EE 點造成的力矩為

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第 四 題25 分

下圖有一 ABCABC 梁，AA 點為鉸支撐，BB 點為滾支撐。梁於 BCBC 段受均佈載重 qq，試求：

  1. AA 點及 BB 點之反力（請註明作用之方向）。
  2. AA 點之轉角（請註明轉角之方向）。
  3. CC 點之轉角及位移（請註明轉角及位移之方向）。

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核心觀念

本題考查：

  • 靜力平衡求支承反力。
  • 梁的撓曲微分方程： EId2vdx2=M(x)EI\frac{d^2v}{dx^2}=M(x)
  • 由邊界條件 vA=0v_A=0、vB=0v_B=0 求積分常數。
  • 由斜率 dv/dxdv/dx 求梁端轉角，由撓度 vv 求位移。

假設梁為等斷面，EIEI 為常數；取 xx 軸由 AA 向右，vv 軸向上為正，均佈載重 qq 方向向下。

1. 求 A、B 點反力

設：

  • AxA_x：AA 點水平反力
  • AyA_y：AA 點垂直反力
  • ByB_y：BB 點垂直反力

梁長度為：

AB=L,BC=LAB=L,\qquad BC=L

因此 AC=2LAC=2L。均佈載重 qq 作用於 BCBC 段，其合力為：

Q=qLQ=qL

作用位置在 BCBC 中點，即距離 AA 點：

L+L2=3L2L+\frac{L}{2}=\frac{3L}{2}

由水平力平衡：

∑Fx=0⇒Ax=0\sum F_x=0\Rightarrow A_x=0

由 AA 點取矩：

∑MA=0\sum M_A=0

ByL−qL(3L2)=0B_yL-qL\left(\frac{3L}{2}\right)=0

因此：

By=3qL2B_y=\frac{3qL}{2}

再由垂直力平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0

Ay+By−qL=0A_y+B_y-qL=0

Ay=qL−3qL2=−qL2A_y=qL-\frac{3qL}{2}=-\frac{qL}{2}

負號表示 AyA_y 方向向下。

所以：

Ax=0\boxed{A_x=0}

Ay=qL2，方向向下\boxed{A_y=\frac{qL}{2}\text{，方向向下}}

By=3qL2，方向向上\boxed{B_y=\frac{3qL}{2}\text{，方向向上}}

2. 梁內彎矩方程

（1）ABAB 段：0≤x≤L0\leq x\leq L

取左側自由體，彎矩為：

M1(x)=Ayx=−qL2xM_1(x)=A_yx=-\frac{qL}{2}x

因此：

EId2v1dx2=−qL2xEI\frac{d^2v_1}{dx^2}=-\frac{qL}{2}x

積分得：

EIdv1dx=−qL4x2+C1EI\frac{dv_1}{dx}=-\frac{qL}{4}x^2+C_1

EIv1=−qL12x3+C1x+C2EIv_1=-\frac{qL}{12}x^3+C_1x+C_2

由 AA 點為鉸支撐：

v1(0)=0⇒C2=0v_1(0)=0\Rightarrow C_2=0

由 BB 點為支撐：

v1(L)=0v_1(L)=0

故：

−qL412+C1L=0-\frac{qL^4}{12}+C_1L=0

C1=qL312C_1=\frac{qL^3}{12}

所以 AA 點轉角為：

θA=dv1dx∣x=0=qL312EI\theta_A=\left.\frac{dv_1}{dx}\right|_{x=0} =\frac{qL^3}{12EI}

正值表示梁由左向右上升，故 AA 點轉角為逆時針。

（2）BCBC 段：L≤x≤2LL\leq x\leq 2L

令：

s=x−Ls=x-L

其中 s=0s=0 位於 BB 點，s=Ls=L 位於 CC 點。

由左側荷載及反力可得：

M2(s)=Ay(L+s)+Bys−qs22M_2(s) =A_y(L+s)+B_ys-\frac{qs^2}{2}

代入 Ay=−qL/2A_y=-qL/2、By=3qL/2B_y=3qL/2：

M2(s)=−q2(L−s)2M_2(s) =-\frac{q}{2}(L-s)^2

在 BB 點：

vB=0v_B=0

且由 ABAB 段所得：

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