112 地方特考三等 土木工程類科 鋼筋混凝土學與設計 考古題詳解

核心觀念

本題為雙筋矩形梁，須同時考慮：

• 拉力鋼筋之拉力；
• 混凝土壓力區之壓力；
• 壓力鋼筋對彎矩強度的額外貢獻；
• 依應變相容求壓力鋼筋應力；
• 依拉力鋼筋拉應變判定強度折減係數 $\phi$。

採 Whitney 等值矩形壓力應力塊，並以命題當年（民國 112 年）法規為準。

由圖得：

其中 $d'$ 為壓力鋼筋重心至頂部壓力面的距離，$d$ 為拉力鋼筋重心至頂部壓力面的距離。

解題方法

1. 鋼筋面積與拉力

拉力鋼筋面積：

壓力鋼筋面積：

拉力鋼筋已降伏，其拉力為：

混凝土抗壓強度為 $280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，故等值矩形壓力應力為：

取鋼筋彈性模數：

2. 壓力鋼筋應力

設中性軸深度為 $c$，則壓力鋼筋應變為：

因此：

壓力鋼筋應力尚未達降伏應力 $4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$，因此不可直接假設壓力鋼筋降伏。

3. 斷面內力平衡

等值矩形壓力區深度：

由內力平衡：

其中壓力鋼筋項必須扣除其所占混凝土面積的壓力 $0.85f'_cA_s'$。

代入數值：

整理得：

取正根：

故：

壓力鋼筋應力：

核心觀念

本題為柱斷面之軸力—彎矩互制分析，採用：

1. 平面斷面保持平面，應變呈線性分布。
2. 混凝土受壓採等值矩形壓力塊： $C_c=0.85f'_cba$
3. 鋼筋應力由 $f_s=E_s\varepsilon_s$ 計算，但不得超過降伏強度 $f_y$。
4. 鋼筋位於等值壓力塊範圍內時，應扣除其所取代的混凝土壓力。
5. 本柱為箍筋柱，且斷面下緣應變為零，屬壓壞控制，取 $\phi=0.65$

取混凝土極限壓應變 $\varepsilon_{cu}=0.003$，鋼筋彈性模數 $E_s=2.04\times10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$。

斷面與應變分布

由圖得柱斷面為 $95\ \mathrm{cm}\times95\ \mathrm{cm}$，鋼筋中心距頂面之距離如下：

因下緣應變為零，中性軸位於斷面下緣，因此

$c=95\ \mathrm{cm}$

等值壓力塊深度取

$\beta_1=0.85$

所以

$a=\beta_1c=0.85(95)=80.75\ \mathrm{cm}$

混凝土壓力塊只作用至 $80.75$ cm，故深度 $88$ cm 的最下排鋼筋不在等值壓力塊內。

鋼筋應力計算

鋼筋應變為

$\varepsilon_s=0.003\frac{95-y}{95}$

第一排鋼筋，$y=7$ cm

因此鋼筋已降伏：

第二排鋼筋，$y=34$ cm

第三排鋼筋，$y=61$ cm

第四排鋼筋，$y=88$ cm

每排鋼筋面積為：

• 4 支鋼筋： $A_{s4}=4(8.14)=32.56\ \mathrm{cm^2}$
• 2 支鋼筋： $A_{s2}=2(8.14)=16.28\ \mathrm{cm^2}$

設計軸力強度

混凝土等值壓力為

鋼筋壓力須扣除鋼筋位置所取代的混凝土壓力。等值壓力塊內的鋼筋為前三排，故

其中 $0.85f'_c=238\ \mathrm{kgf/cm^2}$。

各排鋼筋貢獻為：

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土梁之長期撓度計算，主要步驟為：

1. 求持續載重。
2. 計算未開裂斷面慣性矩 $I_g$。
3. 計算開裂 transformed section 慣性矩 $I_{cr}$。
4. 由開裂彎矩 $M_{cr}$ 與持續載重彎矩 $M_a$ 求有效慣性矩 $I_e$。
5. 計算持續載重造成之立即撓度，再乘以長期撓度效應。

截面尺寸及鋼筋位置如下：

• $b=55\ \mathrm{cm}$
• $h=75\ \mathrm{cm}$
• 拉力鋼筋：底部 $5\#10$
• 壓力鋼筋：頂部 $3\#10$
• 上、下層鋼筋中心距邊緣均為 $7\ \mathrm{cm}$
• $d=75-7=68\ \mathrm{cm}$
• $d'=7\ \mathrm{cm}$
• $A_s=5(8.14)=40.70\ \mathrm{cm^2}$
• $A_s'=3(8.14)=24.42\ \mathrm{cm^2}$

一、持續載重

持續載重包括全部靜載重及 $20\%$ 活載重：

梁跨度：

二、材料性質

混凝土彈性模數：

混凝土開裂抗拉強度：

鋼筋彈性模數採一般鋼筋混凝土設計值：

模數比：

三、未開裂斷面慣性矩 $I_g$

題目指定計算 $I_g$ 時忽略鋼筋貢獻，因此採矩形混凝土斷面：

斷面重心至最外拉力邊緣距離：

四、開裂彎矩 $M_{cr}$

以 $\mathrm{kgf\cdot cm}$ 計算：

換算為 $\mathrm{tf\cdot m}$：

五、開裂斷面慣性矩 $I_{cr}$

開裂斷面需考慮：

• 拉力鋼筋 $5\#10$
• 壓力鋼筋 $3\#10$
• 鋼筋換算為混凝土等效面積

設中性軸深度為 $c$，由換算斷面取一次矩：

代入數值：

解得：

因此：

核心觀念

本題考查特殊抗彎矩構架梁在塑鉸區的剪力設計，重點包括：

1. 以梁兩端最大可能彎矩強度 $M_{pr}$ 估算地震剪力。
2. 地震剪力符合題設條件，因此設計時取 $V_c=0$。
3. 依剪力強度及韌性構架箍筋構造規定，決定塑鉸區箍筋最大間距。

以下以命題當年（民國112年）法規及規範規定為準。

一、梁截面及鋼筋資料

由圖可得：

梁上下層縱向鋼筋各為 $5$ 支 #10，因此：

上下層鋼筋中心距梁邊約 $7$ cm，故有效深度：

剪力鋼筋採 #4，圖示為四肢箍筋，因此：

二、計算梁端最大可能彎矩強度 $M_{pr}$

特殊抗彎矩構架計算 $M_{pr}$ 時，鋼筋應採考慮超額強度之降伏應力：

忽略壓力筋貢獻，等效壓力矩形深度為：

代入：

因此梁端最大可能彎矩強度：

三、計算塑鉸區設計剪力

梁跨距為：

地震作用使梁兩端形成塑鉸時，兩端彎矩方向造成的剪力為：

均佈設計載重造成的支承剪力為：