114 地方特考三等 農業技術類科 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查 $4\times4$ 拉丁方設計的變異數分析與 Fisher’s LSD 多重比較。拉丁方設計用行區組與列區組控制兩個方向的田間梯度；每種肥料在每一行、每一列各出現一次。題目假設行、列與處理效應可加，故以加法模型分析，誤差自由度為 $(p-1)(p-2)$。

解題方法

令 $p=4$、總觀測數 $N=16$。先計算各行、各列、各肥料的總和，以及總和與校正因子：

• 行總和：$285,\ 292,\ 278,\ 288$
• 列總和：$283,\ 286,\ 284,\ 283$
• 肥料總和：$300,\ 297,\ 269,\ 270$
• 總和 $G=1136$，觀測值平方和 $\sum y^2=80{,}850$
• 校正因子： $CF=\frac{G^2}{N}=\frac{1136^2}{16}=80{,}656$

總平方和為： $SS_T=\sum y^2-CF=80{,}850-80{,}656=194$

拉丁方中，行、列與處理平方和都以各來源總和計算：

$SS_I=\frac{285^2+292^2+278^2+288^2}{4}-CF=26.5$

$SS_C=\frac{283^2+286^2+284^2+283^2}{4}-CF=1.5$

$SS_F=\frac{300^2+297^2+269^2+270^2}{4}-CF=174$

誤差平方和由總平方和扣除三個模型來源：

$SS_E=SS_T-SS_I-SS_C-SS_F=194-26.5-1.5-174=-8$

依此結果，誤差平方和為負值，這在平方和定義下不可能發生；因此題目所列觀測值與標準拉丁方加法模型彼此不相容，不能據此建立有效的 ANOVA 表或進行 LSD 檢定。

變異數分析表

下表列出由題目數據直接計算的平方和。因誤差平方和為負，誤差均方及 $F$ 值無有效值，亦不能進行顯著性檢定。

變異來源	df	SS	MS	$F$ 值
行區組 $I$	3	26.5	8.833	無有效值

核心觀念

試驗設計的任務，是預先安排處理、試驗單位、重複、隨機化與資料分析，使處理效應能和自然的隨機變異區分，並讓研究結果具有客觀性、精確性與可重複性。農業田間常見的變異來源包括土壤肥力、地勢、排水、日照與病蟲害分布；若未妥善納入設計，這些差異可能被誤認為處理效果。

設計的核心原則為：

• 重複：每個處理配置到多個試驗單位，以估計實驗誤差並提高處理平均數的精確度。
• 隨機化：以隨機方式將處理分派至試驗單位，避免研究者偏好或未知因素系統性地影響比較。
• 局部控制（區組）：將環境條件相近的試驗單位編成區組，在區組內比較處理，降低已知田間差異造成的誤差。

解題方法

先辨認田區的均勻程度，再選擇是否需要區組控制：田區相當均勻時，可採完全隨機設計；若存在明顯且可辨識的肥力或地勢梯度，則以隨機完全區組設計將相似試驗單位編組。兩種設計都須說明處理如何分派、如何重複，以及設計如何處理隨機變異。

若有 $t$ 個處理、每個處理重複 $r$ 次，完全隨機設計共有 $tr$ 個試驗單位。隨機完全區組設計若有 $b$ 個區組，且每個區組都包含全部 $t$ 個處理，則共有 $tb$ 個試驗單位，每處理重複 $b$ 次。

完全隨機設計（CRD）

**佈局特徵：**將全部試驗單位視為一個整體，將 $t$ 個處理隨機分派至所有試驗單位。每個處理可有相同或不同的重複數；常見平衡配置為每處理重複 $r$ 次，總試驗單位數為 $tr$。本設計沒有區組結構。

**適用情況：**試驗單位彼此相當均勻，或環境差異很小、難以合理分成區組時適用，例如溫室內條件一致的盆栽試驗，或高度均質的育苗材料試驗。若田間存在明顯肥力梯度，完全隨機分派可能使處理在某一區域集中，降低比較精度。

**分析概念：**在單因子模型中，可寫為

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij},$$

其中 $Y_{ij}$ 為第 $i$ 個處理第 $j$ 次重複的觀測值，$\mu$ 為總平均，$\tau_i$ 為處理效應，$\varepsilon_{ij}$ 為隨機誤差。由於沒有區組項，試驗單位間的環境差異會進入誤差項。

隨機完全區組設計（RCBD）

**佈局特徵：**先依田間梯度或其他已知環境差異，把相似的試驗單位分成 $b$ 個區組；每個區組都包含全部 $t$ 個處理，並在各區組內將處理隨機排列一次。因此每個處理重複 $b$ 次，總試驗單位數為 $tb$。區組內各單位應盡量相似，區組間則可反映田間環境差異。

**適用情況：**適合田區有明顯且可辨識的單一主要變異梯度時，例如肥力沿田區方向逐漸改變，或地勢造成排水由一端至另一端不同。可將每個區組安排在相近的肥力或地勢位置，並在區組內比較所有處理。

核心觀念

本題結合簡單線性迴歸與變異數分析（ANOVA），重點是解讀迴歸係數、判斷施肥量與產量的線性關係，以及檢查田間試驗的模型假設。

完全隨機設計（CRD）把處理隨機分派至試驗單位，分析時通常假設各小區的誤差彼此獨立、變異數相同，且誤差近似常態分布。本題以施肥量 $X$ 為連續自變數、產量 $Y$ 為應變數，使用簡單線性迴歸：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$$

其中 $\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率，$\varepsilon_i$ 是誤差項。

解題方法與結果解讀

1. 解讀 ANOVA 表

ANOVA 將產量總變異分解為迴歸所解釋的變異與殘差變異：

$$SS_{\text{總}}=SS_{\text{迴歸}}+SS_{\text{殘差}}$$

表中施肥量 $x$ 的平方和為 $820.5$，殘差平方和為 $260.2$，自由度分別為 $1$ 與 $13$。因此：

• 迴歸均方 $MS_{\text{迴歸}}=820.5/1=820.50$。
• 殘差均方 $MS_{\text{殘差}}=260.2/13\approx20.02$。
• $F=MS_{\text{迴歸}}/MS_{\text{殘差}}=820.50/20.02\approx40.99$。

此 $F$ 檢定的虛無假設為 $H_0:\beta_1=0$，對立假設為 $H_1:\beta_1\ne0$。由於 $F=40.993$、$p=2.334\times10^{-5}$，遠小於常用顯著水準 $0.05$，拒絕 $H_0$；資料顯示施肥量與產量之間有顯著線性關係。

本試驗有 $15$ 個小區，估計截距與斜率共 $2$ 個參數，因此殘差自由度為 $15-2=13$，與表中相符。

2. 解讀迴歸方程式

估計迴歸式為：

$$\hat{Y}=4.25+0.95X$$

• **截距 $4.25$：**當施肥量 $X=0$ 時，模型預測產量為 $4.25$ 個產量單位。若 $X=0$ 不在試驗施肥範圍內，截距只是直線外推的基準，不宜解讀成實際觀測水準的產量。
• **斜率 $0.95$：**施肥量每增加 $1$ 個單位，平均預測產量增加 $0.95$ 個單位。這是線性模型下的平均變化量，不代表每個小區都會恰好增加 $0.95$。

斜率的 $t$ 檢定為 $t=6.403$、$p=2.33\times10^{-5}$，與 ANOVA 的 $F$ 檢定結論一致。簡單線性迴歸中，檢定斜率為零時有 $F=t^2$；本題 $6.403^2\approx40.99$。

3. 計算相關係數

核心觀念

本題考查二因子 $2^2$ 析因設計、隨機區集設計（randomized complete block design, RCBD）下的變異數分析，以及主效果與交互效應的估計。

每個區組各包含 $A$、$B$ 的四種處理組合，因此共有 $2\times 4=8$ 個小區。若每個處理組合在區組內隨機分配一次，模型可寫為：

$$Y_{ijk}=\mu+\rho_i+\alpha_j+\beta_k+(\alpha\beta)_{jk}+\varepsilon_{ijk}$$

其中 $\rho_i$ 為區組效果，$\alpha_j$、$\beta_k$ 分別為 $A$、$B$ 的效果，$(\alpha\beta)_{jk}$ 為交互作用，$\varepsilon_{ijk}$ 為誤差。

在 $2^2$ 析因設計中，某因素的主效果是該因素高水準平均數減低水準平均數；$A\times B$ 交互效應可用「兩個水準下 $A$ 效果之差」估計，也可用「對角線平均數差」估計。

解題方法與顯著性判斷

由 ANOVA 表，誤差均方為 $MSE=3.0$。各效應自由度皆為 1，因此其 $F$ 值為該效應均方除以誤差均方：

變異來源	計算	$F$ 值	判斷（$\alpha=0.05$）
區組	$12/3$	$4.00$	$4.00< F_{0.05,1,4}=7.708$，不顯著
$A$	$45/3$	$15.00$	$15.00>7.708$，顯著
$B$	$18/3$	$6.00$	$6.00<7.708$，不顯著
$A\times B$	$5/3$	$1.67$	$1.67<7.708$，不顯著

依照題目所列誤差自由度 4，主效果與交互作用以 $F_{0.05,1,4}=7.708$ 判斷；區組效果亦使用同一誤差項。結果顯示灌溉程度 $A$ 對產量有顯著影響，肥料類型 $B$ 與 $A\times B$ 交互作用未達 5% 顯著水準，區組差異亦未達顯著。

因此，在此試驗資料下，高灌溉相較低灌溉有顯著較高的平均產量；未發現足夠統計證據顯示兩種肥料的平均產量不同，或灌溉效果會因肥料類型而改變。未達顯著不等於證明效果完全為零。

主效果與交互效應估計

四個處理平均數如下：

$$\bar Y_{--}=20,\quad \bar Y_{-+}=24,\quad \bar Y_{+-}=26,\quad \bar Y_{++}=28$$

$A$ 的主效果

$A+$ 的平均產量為：

$$\bar Y_{A+}=\frac{26+28}{2}=27$$

$A-$ 的平均產量為：

$$\bar Y_{A-}=\frac{20+24}{2}=22$$

故 $A$ 的主效果為：

$$\widehat{A}=27-22=5\text{ kg／株}$$

$B$ 的主效果