112 地方特考三等 農業技術類科 試驗設計 考古題詳解

核心觀念與計算設定

本題考查完全隨機設計（CRD）下的描述統計、母平均信賴區間、等變異數兩組平均數比較，以及單因子變異數分析與最小顯著差異法（LSD）。

各肥料有 $n=5$ 個重複。以下 SD 採樣本標準差，分母為 $n-1$；SE 是平均數的標準誤；CV 以百分比表示：

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n},\qquad s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}},\qquad SE=\frac{s}{\sqrt{n}},\qquad CV=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%.$$

A 組資料總和為 $192$，平方離差和為 $69.2$；B 組資料總和為 $170$，平方離差和為 $10$。

（一）Mean、SD、SE、CV

A 組：

$$\bar{x}_A=\frac{192}{5}=38.4,\qquad s_A=\sqrt{\frac{69.2}{4}}=\sqrt{17.3}=4.159,$$ $$SE_A=\frac{4.159}{\sqrt{5}}=1.860,\qquad CV_A=\frac{4.159}{38.4}\times100\%=10.83\%.$$

B 組：

$$\bar{x}_B=\frac{170}{5}=34.0,\qquad s_B=\sqrt{\frac{10}{4}}=\sqrt{2.5}=1.581,$$ $$SE_B=\frac{1.581}{\sqrt{5}}=0.707,\qquad CV_B=\frac{1.581}{34.0}\times100\%=4.65\%.$$

有機肥料品牌	Mean（$\mathrm{kg/m^2}$）	SD（$\mathrm{kg/m^2}$）	SE（$\mathrm{kg/m^2}$）	CV
A	38.40	4.159	1.860	10.83%
B	34.00	1.581	0.707	4.65%

（二）SD、SE 與 CV 的定義及適用時機

**標準差（SD）**衡量單筆觀測值圍繞樣本平均數的離散程度，單位與原資料相同。本題 A 組 SD 為 $4.159\ \mathrm{kg/m^2}$，B 組為 $1.581\ \mathrm{kg/m^2}$，表示 A 組各重複產量的散布較大。SD 適合描述一組資料本身的變異程度。

**平均數標準誤（SE）**衡量樣本平均數作為母平均數估計值的抽樣不確定性，計算式為 $SE=s/\sqrt{n}$。本題 A 組 SE 為 $1.860\ \mathrm{kg/m^2}$，B 組為 $0.707\ \mathrm{kg/m^2}$。SE 常用於建立平均數的信賴區間或進行平均數推論；樣本數增加時，在其他條件相同下，SE 會下降。

**變異係數（CV）**是 SD 相對於平均數的比例，通常以百分比表示，沒有單位。A 組 CV 為 $10.83\%$，B 組為 $4.65\%$。CV 適合用來比較平均數尺度不同的資料，其相對變異程度；在平均數接近零或量尺不適合以比例解讀時，不宜只依 CV 判斷變異大小。

（三）A、B 各自平均產量的 95% 信賴區間

每組樣本數為 5，估計母變異數未知，採用 $t$ 分布，個別平均數的信賴區間為：

$$\bar{x}\pm t_{0.975,\,4}\frac{s}{\sqrt{n}}, \qquad t_{0.975,\,4}=2.776.$$

A 組：

$$38.4\pm2.776(1.860) =38.4\pm5.164,$$ $$\mu_A\text{ 的 95\% 信賴區間}=[33.236,\ 43.564]\ \mathrm{kg/m^2}.$$

B 組：

$$34.0\pm2.776(0.707) =34.0\pm1.962,$$ $$\mu_B\text{ 的 95\% 信賴區間}=[32.038,\ 35.962]\ \mathrm{kg/m^2}.$$

A 組樣本平均數高於 B 組，兩組個別平均數的 95% 信賴區間有重疊。這兩個區間分別估計 $\mu_A$ 與 $\mu_B$，不能直接把「區間是否重疊」當作兩組平均數差異的正式檢定；差異應以第四、第五小題的方法評估。

（四）假設變異數相等時，平均產量差異的 95% 信賴區間

令差異為 $\mu_A-\mu_B$，樣本平均差為：

$$\bar{x}_A-\bar{x}_B=38.4-34.0=4.4.$$

在兩組母變異數相等的假設下，合併變異數估計為：

$$s_p^2= \frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2} =\frac{69.2+10}{8}=9.9.$$

因此，平均差的標準誤為：

$$SE_{\bar{x}_A-\bar{x}_B} =\sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}\right)} =\sqrt{9.9\left(\frac15+\frac15\right)} =1.990.$$

核心觀念

本題考查裂區設計（split-plot design）配置、誤差項與自由度。節水灌溉程度有三種（$W_1,W_2,W_3$），水稻品種有四種（$V_1,V_2,V_3,V_4$），並採隨機完全區集設計（RCBD）。

裂區設計將兩種因子分配到不同大小的試驗單位：

• 主區因子：安排在較大的主區，通常是施作或管理上較難變更的因子。本題將灌溉程度 $W$ 配置於主區。
• 副區因子：安排在各主區內較小的副區，通常較容易施作。本題將品種 $V$ 配置於副區。
• 區集：控制田間肥力、地勢或其他環境梯度造成的變異；每個區集都包含完整的 $3\times4$ 因子組合。

題目指定副區隨機誤差自由度為 18。令區集數為 $r$。裂區 RCBD 的副區誤差自由度為

$$(r-1)(a-1)(b-1),$$

其中主區因子水準數 $a=3$，副區因子水準數 $b=4$。因此

$$(r-1)(3-1)(4-1)=18,$$ $$6(r-1)=18 \quad\Rightarrow\quad r=4.$$

故本試驗設置 4 個區集，每區集包含 3 個主區；每一主區再分為 4 個副區。總計有 $4\times3=12$ 個主區、$4\times3\times4=48$ 個副區。

解題方法：試驗配置與原因

在每個區集內，先將三種灌溉程度隨機分派到三個主區；再於每個主區內，將四個水稻品種隨機分派到四個副區。各區集各自進行隨機化。

灌溉水量與灌溉方式通常需要對一整片田區統一管理，且水流與田間設施使其不易在小區間頻繁切換，因此把灌溉程度安排在較大的主區。品種則可在各主區內分別栽植與管理，適合安排於副區。

此設計可在同一個區集內比較各灌溉程度，並在每個灌溉主區內比較品種及其與灌溉程度的交互作用。分析時須使用裂區對應的不同誤差項：灌溉程度以主區誤差檢定；品種與灌溉程度×品種交互作用以副區誤差檢定。

田間建議配置圖

下圖以區集為列，列出一種符合裂區隨機化原則的配置示例。每個區集中的 $W$ 主區順序皆可獨立隨機；每一主區內的 $V$ 副區順序也可獨立隨機。下圖僅為可行配置例，不代表唯一配置。

區集	主區 1	主區 2	主區 3
區集 1	$W_2:\ V_3,V_1,V_4,V_2$	$W_1:\ V_2,V_4,V_1,V_3$	$W_3:\ V_1,V_3,V_2,V_4$
區集 2	$W_1:\ V_4,V_2,V_3,V_1$	$W_3:\ V_2,V_1,V_4,V_3$	$W_2:\ V_3,V_4,V_1,V_2$

核心觀念

觀測值可表示為「真值加上誤差」：

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij}$$

其中 $\mu$ 是整體平均，$\tau_i$ 是第 $i$ 個處理效應，$\varepsilon_{ij}$ 是觀測值偏離其真實處理反應的誤差。試驗設計的目的，是藉由隨機化、重複與局部控制，避免誤差系統性地混入處理效應，並降低誤差對處理比較的影響。實務上無法把每筆觀測中的誤差完全「排除」或還原純淨真值，設計的作用是使誤差不偏向特定處理，並提高估計精確度。

誤差值的來源

試驗誤差主要來自下列方面：

1. 試驗材料的自然變異：植株基因型、苗齡、初始生長勢、種子活力或個體健康狀況不同。
2. 試驗環境的異質性：田間土壤肥力、質地、排水、地勢、光照、風向或水分分布不均；溫室或生長箱內也可能有位置與微環境差異。
3. 試驗操作差異：播種、移植、施肥、灌溉、病蟲害防治及採收時間或操作方式不一致。
4. 測量與取樣誤差：儀器精度與校正、操作者判讀、量測時點、取樣位置及樣本處理方式造成的差異。
5. 偶然及未控制因素：難以預先掌握的天候變化、病蟲害發生或其他隨機擾動。

若某誤差來源與處理配置有固定關聯，例如某一處理總在較肥沃的田區，便可能形成偏差，使處理效應與環境差異混淆；隨機誤差則主要增加估計的不確定性。

解題方法：以設計原則控制誤差

1. 隨機化（randomization） 將處理隨機分派至試驗單位，避免研究者主觀安排，或環境梯度固定對應特定處理。隨機化使各處理有公平接受環境差異的機會，降低系統性偏差，並支持統計推論。