114 地方特考四等 水利工程類科 流體力學概要 考古題詳解

114 年・地方特考・四等・水利工程類科
試題代碼 流體力學概要

第 一 題25 分

如圖一所示，求高 1.8 m1.8\,\mathrm{m} 之梯形平板表面所承受水壓總力的大小（單位以牛頓 N\mathrm{N} 表示）及方向。

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核心觀念

靜水作用於平面上的總壓力，大小為形心處的表壓乘以受壓面積：

F=γAhˉF=\gamma A\bar h

其中 γ=9,810 N/m3\gamma=9{,}810\ \mathrm{N/m^3} 為水的單位重，AA 為平板面積，hˉ\bar h 為平板形心至自由液面的垂直深度。總水壓方向垂直於平板表面。

解題方法

令 ss 為沿斜面自平板上緣向下量的距離。圖示平板上緣距自由液面沿斜面 2.4 m2.4\ \mathrm{m}，平板高 1.8 m1.8\ \mathrm{m}；上、下緣寬度分別為 3 m3\ \mathrm{m} 與 1.2 m1.2\ \mathrm{m}。

平板面積為

A=3+1.22(1.8)=3.78 m2A=\frac{3+1.2}{2}(1.8)=3.78\ \mathrm{m^2}

因寬度由上緣向下線性遞減，平板形心沿斜面距上緣為

sˉ=1.8(3+2×1.2)3(3+1.2)=0.7714 m\bar s =\frac{1.8(3+2\times1.2)}{3(3+1.2)} =0.7714\ \mathrm{m}

因此形心沿斜面距自由液面的距離為

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第 二 題25 分

有一比重計重量為 0.25 N0.25\,\mathrm{N}（N\mathrm{N} 表牛頓），其上端桿狀部分之直徑為 0.40 cm0.40\,\mathrm{cm}，求其在比重為 0.780.78 之油中與在比重為 0.820.82 之酒精中之深度相差多少 cm\mathrm{cm}？

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核心觀念

比重計漂浮時，依阿基米德原理，浮力等於比重計重量。比重計浸入液體的體積會隨液體密度改變：液體密度越大，所需排開的體積越小。

上端桿狀部分的截面積固定，因此兩種液體中的浸入深度差，可由排開體積差除以桿的截面積求得。

解題方法

設油與酒精的密度分別為 ρo\rho_o、ρa\rho_a，比重計在兩液體中排開的體積分別為 VoV_o、VaV_a。由浮力平衡：

W=ρogVo=ρagVaW=\rho_o gV_o=\rho_a gV_a

其中水的密度取 ρw=1000 kg/m3\rho_w=1000\,\mathrm{kg/m^3}，故

ρo=0.78ρw=780 kg/m3,ρa=0.82ρw=820 kg/m3\rho_o=0.78\rho_w=780\,\mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_a=0.82\rho_w=820\,\mathrm{kg/m^3}

兩液體中的排開體積差為

∣Vo−Va∣=Wg∣1ρo−1ρa∣|V_o-V_a| =\frac{W}{g}\left|\frac{1}{\rho_o}-\frac{1}{\rho_a}\right|

桿直徑為 d=0.40 cm=0.0040 md=0.40\,\mathrm{cm}=0.0040\,\mathrm{m}，截面積

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第 三 題25 分

已知一個二度空間之流場為

V⃗=ui⃗+vj⃗\vec{V}=u\vec{i}+v\vec{j}

其中

u=x2y+t2+1u=x^2y+t^2+1

v=−(xy2+5t)v=-(xy^2+5t)

求其加速度為何？

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核心觀念

流體質點加速度由局部加速度與對流加速度組成。二度空間速度場 V⃗=ui⃗+vj⃗\vec V=u\vec i+v\vec j 的加速度為物質導數：

a⃗=DV⃗Dt=(∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y)i⃗+(∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y)j⃗\vec a=\frac{D\vec V}{Dt} =\left(\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y}\right)\vec i +\left(\frac{\partial v}{\partial t} +u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y}\right)\vec j

其中 ∂/∂t\partial/\partial t 項是局部加速度，其餘項是對流加速度。

解題方法

已知

u=x2y+t2+1,v=−(xy2+5t)=−xy2−5tu=x^2y+t^2+1,\qquad v=-(xy^2+5t)=-xy^2-5t

先求速度分量對時間與空間的偏導數：

∂u∂t=2t,∂u∂x=2xy,∂u∂y=x2\frac{\partial u}{\partial t}=2t,\qquad \frac{\partial u}{\partial x}=2xy,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=x^2 ∂v∂t=−5,∂v∂x=−y2,∂v∂y=−2xy\frac{\partial v}{\partial t}=-5,\qquad \frac{\partial v}{\partial x}=-y^2,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-2xy

代入物質導數公式，xx 方向分量為

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第 四 題25 分

如圖二所示，一曲面葉片以恆定水平速度 UU 與來流射流（approaching jet）相同的方向移動。該射流的截面積為 AjA_j，以速度為 VjV_j 的自由射流切向撞擊移動葉片。求：

(一) 射流對葉片施加的水平推力。（10 分）

(二) 使葉片約束力所作的功率達最大時的 U/VjU/V_j 比值。（15 分）

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核心觀念

本題考察移動曲面葉片與自由射流間的動量交換。控制體隨葉片以速度 UU 移動，因此射流進入葉片的相對速度為 Vj−UV_j-U，質量流率為

m˙=ρAj(Vj−U),0≤U<Vj.\dot m=\rho A_j(V_j-U), \qquad 0\le U<V_j.

假設流體不可壓縮、葉片光滑且無能量損失，流體離開葉片時的相對速度大小仍為 Vj−UV_j-U。圖中的 θ\theta 為出口射流方向與水平正向的夾角。

解題方法

以 xx 軸向右為正。入口絕對速度為 VjV_j；出口相對葉片的速度分量為 (Vj−U)cos⁡θ(V_j-U)\cos\theta，故出口的水平絕對速度為

V2x=U+(Vj−U)cos⁡θ.V_{2x}=U+(V_j-U)\cos\theta.

對隨葉片移動的控制體使用水平動量方程，射流對流體的水平作用力為

Fx,流體=m˙(V2x−Vj)=ρAj(Vj−U)2(cos⁡θ−1).F_{x,\text{流體}} =\dot m(V_{2x}-V_j) =\rho A_j(V_j-U)^2(\cos\theta-1).

此力向左；依作用力與反作用力，射流施加在葉片上的水平推力向右：

Fx=ρAj(Vj−U)2(1−cos⁡θ).F_x=\rho A_j(V_j-U)^2(1-\cos\theta).

葉片以速度 UU 向右移動，射流對葉片所作功率為

P=FxU=ρAj(1−cos⁡θ) U(Vj−U)2.P=F_xU =\rho A_j(1-\cos\theta)\,U(V_j-U)^2.
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