112 地方特考四等 水利工程類科 流體力學概要 考古題詳解

112 年・地方特考・四等・水利工程類科
試題代碼 流體力學概要

第 一 題20 分

請試述下列名詞之意涵：

(一) 理想流體（Ideal fluid）

(二) 勢流（Potential flow）

(三) 流線（Stream line）

(四) 停滯點（Stagnation point）

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核心觀念

本題考查流體力學的基本名詞定義，以及理想流體、勢流與流線之間的關係。作答時應掌握各名詞的物理條件，尤其注意「理想流體」的無黏性假設，與「勢流」的無旋條件並非同一件事。

解題方法與名詞說明

（一）理想流體（Ideal fluid）

理想流體是理論上的流體模型，假設流體不可壓縮且無黏性。不可壓縮表示密度不隨流動而改變；無黏性表示流體內部沒有黏滯剪應力，流體與邊界間也不產生黏滯摩擦。

此模型可簡化流動分析，常用於推導伯努力方程等基本關係。實際流體皆具有一定黏性，因此理想流體是近似模型。

（二）勢流（Potential flow）

勢流是具有速度勢函數的流動。若速度場可寫成某個純量速度勢 ϕ\phi 的梯度，則

V=∇ϕ\mathbf{V}=\nabla\phi

例如直角座標下，

u=∂ϕ∂x,v=∂ϕ∂y,w=∂ϕ∂zu=\frac{\partial\phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial\phi}{\partial y},\qquad w=\frac{\partial\phi}{\partial z}

由於梯度場的旋度為零，勢流必為無旋流：

∇×V=0\nabla\times\mathbf{V}=0

但「無旋」不一定能在整個流場中保證存在單一且連續的速度勢函數；流場區域的連通性也可能影響速度勢是否能全域定義。

（三）流線（Stream line）

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第 二 題20 分

於某二維流場中，流速 V⃗=ui⃗+vj⃗\vec{V}=u\vec{i}+v\vec{j}。若已知其流速勢能函數 ϕ=x2−y22\phi=\frac{x^2-y^2}{2}，試求出：

(一) 流速 V⃗=?\vec{V}=?

(二) 流線函數 ψ=?\psi=?

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核心觀念

流速勢函數 ϕ\phi 的梯度等於速度向量，因此二維流場中

u=∂ϕ∂x,v=∂ϕ∂y.u=\frac{\partial\phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial\phi}{\partial y}.

流線函數 ψ\psi 的定義為

u=∂ψ∂y,v=−∂ψ∂x.u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}.

這組關係也使流線函數的等值線與流速方向相切。

解題方法

已知

ϕ=x2−y22.\phi=\frac{x^2-y^2}{2}.

（一）求流速 V⃗\vec{V}

對流速勢函數分別取偏導數：

u=∂ϕ∂x=x,v=∂ϕ∂y=−y.u=\frac{\partial\phi}{\partial x}=x,\qquad v=\frac{\partial\phi}{\partial y}=-y.

所以

V⃗=xi⃗−yj⃗.\boxed{\vec{V}=x\vec{i}-y\vec{j}}.

（二）求流線函數 ψ\psi

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第 三 題20 分

已知一水槽寬度為 55 公尺（垂直紙面），如圖一所示，求水作用在曲面 ABAB 弧上總力為多少牛頓（N）？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

曲面所受靜水總力，分解為水平分力與垂直分力：

  • 水平分力：等於曲面在鉛直平面上的投影面所受靜水壓力。
  • 垂直分力：等於曲面上方假想水體的重量。

水的單位重取

γ=ρg=1000(9.81)=9810 N/m3\gamma=\rho g=1000(9.81)=9810\ \text{N/m}^3

由圖可知：

  • 水槽寬度：b=5 mb=5\ \text{m}
  • 曲面 ABAB 為半徑 r=1 mr=1\ \text{m} 的四分之一圓弧
  • 水面至 AA 點深度：1.5 m1.5\ \text{m}
  • 水面至 BB 點深度：1.5+1=2.5 m1.5+1=2.5\ \text{m}

解題方法

一、水平分力

曲面 ABAB 的鉛直投影為高 1 m1\ \text{m}、寬 5 m5\ \text{m} 的矩形，因此

Av=1(5)=5 m2A_v=1(5)=5\ \text{m}^2

投影面形心深度為

hˉ=1.5+2.52=2.0 m\bar{h}=\frac{1.5+2.5}{2}=2.0\ \text{m}

故水平分力為

FH=γAvhˉF_H=\gamma A_v\bar{h} FH=9810(5)(2.0)=98100 NF_H=9810(5)(2.0) =98100\ \text{N}

二、垂直分力

垂直分力等於曲面上方假想水體的重量。

在垂直紙面的單位寬度截面上，假想水體面積為：

A水體=(1)(2.5)−π(1)24A_{\text{水體}} =(1)(2.5)-\frac{\pi(1)^2}{4} A水體=2.5−π4=1.7146 m2A_{\text{水體}} =2.5-\frac{\pi}{4} =1.7146\ \text{m}^2

乘以水槽寬度 b=5 mb=5\ \text{m}，假想水體體積為

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第 四 題20 分

對管流進行因次分析時，考量管徑 DD、管長 LL、平均流速 VV、重力加速度 gg、流體密度 ρ\rho、流體黏滯度 μ\mu，以及管壁之粗糙高度（roughness height）ε\varepsilon。請以無因次化參數來表示壓降 ΔP\Delta P。

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核心觀念

本題考「白金漢 π\pi 定理」：把有因次的壓降 ΔP\Delta P，表示成若干無因次參數的函數。列出的變數共 8 個，基本因次為質量 MM、長度 LL、時間 TT 共 3 個，因此可組成 8−3=58-3=5 個獨立無因次群。

各變數的因次為：

[ΔP]=ML−1T−2,[D]=[L]=[ε]=L,[V]=LT−1[\Delta P]=ML^{-1}T^{-2},\quad [D]=[L]=[\varepsilon]=L,\quad [V]=LT^{-1} [g]=LT−2,[ρ]=ML−3,[μ]=ML−1T−1[g]=LT^{-2},\quad [\rho]=ML^{-3},\quad [\mu]=ML^{-1}T^{-1}

解題方法

選取 D、V、ρD、V、\rho 作為重複變數。三者合計涵蓋 M、L、TM、L、T 三種基本因次，且彼此因次獨立，適合建立無因次群。對其餘五個變數分別建立 π\pi 群：

π1=ΔPDaVbρc\pi_1=\Delta P D^a V^b\rho^c

令 π1\pi_1 無因次，依 M、L、TM、L、T 次方平衡，可得 c=−1、b=−2、a=0c=-1、b=-2、a=0，故

π1=ΔPρV2\pi_1=\frac{\Delta P}{\rho V^2}

同理，其餘變數可得：

π2=LD,π3=gDV2,π4=μρVD,π5=εD\pi_2=\frac{L}{D},\qquad \pi_3=\frac{gD}{V^2},\qquad \pi_4=\frac{\mu}{\rho VD},\qquad \pi_5=\frac{\varepsilon}{D}
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第 五 題20 分

一穩態（steady-state）之二維水平平行板間，有兩種互不相容的液體流動問題如圖二所示。上、下板皆固定不動，流體沿著水平軸向 +x+x 方向流動。若以 ρ\rho 和 μ\mu 分別為流體之密度及動力黏性度，水深以 yy 表示，流速以 uu 表示。試問：

(一) 在兩平板界面上，速度場應滿足何種邊界條件？寫出物理名詞及其數學表示式。

(二) 在中間流體之界面上，速度場及應力場又應各滿足何種條件？寫出物理名詞及其數學表示式。

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核心觀念

本題考查兩種互不相容流體在固定平板與流體交界面上的界面條件：

  1. 固定固體壁面：滿足無滑移條件與不可穿透條件。
  2. 兩流體界面：滿足速度連續，以及界面兩側應力的平衡條件。

設兩流體交界面位於 y=yiy=y_i，上方流體為流體 11，下方流體為流體 22。二維速度場表示為

V=(u,v)\boldsymbol{V}=(u,v)

其中 uu 為 xx 方向速度，vv 為 yy 方向速度。

解題方法

先依界面的物理性質分類：

  • 固定平板屬於固體—流體界面，使用壁面邊界條件。
  • 中間水平界面屬於流體—流體界面，使用速度與應力的連續條件。

因為兩平板固定不動，且流體為水平平行流，速度主要為 xx 方向的 u(y)u(y)。

（一）兩平板上的速度邊界條件

1. 無滑移條件（no-slip condition）

流體在固體壁面上的切向速度等於壁面速度。由於上、下平板皆固定不動，因此

u=0u=0

2. 不可穿透條件（no-penetration condition）

流體不能穿過固定平板，因此法向速度為零：

v=0v=0

若下板位於 y=0y=0，上板位於 y=dy=d，則

u1(0)=0,u2(d)=0\boxed{ u_1(0)=0,\qquad u_2(d)=0 }

並且在各自接觸的平板上皆有

v1=0,v2=0\boxed{v_1=0,\qquad v_2=0}

更完整地說，固定平板上的速度向量必須等於零：

V=0\boxed{\boldsymbol{V}=\boldsymbol{0}}

若圖示為流體 22 位於下方、流體 11 位於上方，則可寫成

u2(y=0)=0,u1(y=d)=0u_2(y=0)=0,\qquad u_1(y=d)=0

（二）中間流體界面上的條件

1. 速度連續條件（velocity continuity）

兩種互不相容流體雖然不互相混合，但在一般連續介質假設下，界面兩側速度必須連續。故在 y=yiy=y_i：

u1(yi)=u2(yi)\boxed{u_1(y_i)=u_2(y_i)}

法向速度亦須滿足運動學連續條件：

v1(yi)=v2(yi)\boxed{v_1(y_i)=v_2(y_i)}

本題界面為固定的水平界面，且流動沿 +x+x 方向，因此

v1=v2=0v_1=v_2=0

所以實際主要條件為兩側切向速度相等：

u1=u2於 y=yi\boxed{u_1=u_2\quad\text{於 }y=y_i}

此條件稱為界面上的無滑移或切向速度連續條件。

2. 應力連續條件（stress continuity）

若界面沒有額外施加的表面力，界面兩側的牽引力必須平衡：

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