112 地方特考四等 環境工程類科 流體力學概要 考古題詳解

112 年・地方特考・四等・環境工程類科
試題代碼 流體力學概要

第 一 題20 分

已知一半導體工廠清洗晶片的超純水供水系統，其水管內徑為 RR，管內水的流速分布函數為

V(r)=Vmax⁡(1−rnRn),V(r)=V_{\max}\left(1-\frac{r^n}{R^n}\right),

其中，rr 為管內任意一點到管中心軸線的垂直距離（即徑向距離）。假設超純水的動力黏滯係數（dynamic viscosity）為 μ\mu，試推導超純水供水系統中每單位長度水管內水流作用在管壁上的阻力（Drag force）大小。

註：流動流體剪應力 τ\tau 公式為

τ=−μdVdr.\tau=-\mu\frac{dV}{dr}.

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查管內流速分布如何透過牛頓黏性定律換算成管壁剪應力，再求每單位管長所受的阻力。題目給定

V(r)=Vmax⁡(1−rnRn),V(r)=V_{\max}\left(1-\frac{r^n}{R^n}\right),

其中 RR 為管內半徑、rr 為徑向距離。管壁剪應力由速度對徑向位置的梯度決定：

τ=−μdVdr.\tau=-\mu\frac{dV}{dr}.

解題方法

先對速度分布微分：

dVdr=Vmax⁡ddr(1−rnRn)=−nVmax⁡rn−1Rn.\frac{dV}{dr} =V_{\max}\frac{d}{dr}\left(1-\frac{r^n}{R^n}\right) =-\frac{nV_{\max}r^{n-1}}{R^n}.

在管壁處 r=Rr=R，故

dVdr∣r=R=−nVmax⁡R.\left.\frac{dV}{dr}\right|_{r=R} =-\frac{nV_{\max}}{R}.

代入剪應力公式：

τw=−μdVdr∣r=R=nμVmax⁡R.\tau_w =-\mu\left.\frac{dV}{dr}\right|_{r=R} =\frac{n\mu V_{\max}}{R}.
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題20 分

一座節能工廠擬設計一套由兩片平行、垂直置於水槽中的玻璃片所組成的裝置，將水槽中固定水面高度的水，送到比固定水面高出 11 公分的機台上使用。

若此時水的溫度為 20∘C20^\circ\mathrm{C}、密度 ρ\rho 為 10001000 公斤／立方公尺，且水的表面張力 σ\sigma 為 0.0730.073 牛頓／公尺；倘若水與玻璃片間的接觸角（Contact angle, θ\theta）為 15∘15^\circ，請問此兩平行玻璃片的間距為何？

註：平行玻璃片內水的表面張力公式為

σ=ρghd2cos⁡θ,\sigma=\frac{\rho g h d}{2\cos\theta},

其中，dd 為兩平板間距，hh 為平行玻璃片間水的上升高度。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查平行玻璃片間的毛細上升。水面比槽內固定水面高 h=1 cm=0.01 mh=1\ \mathrm{cm}=0.01\ \mathrm{m}，表面張力造成的毛細作用需支撐這段水柱。依題目所給公式，

σ=ρghd2cos⁡θ,\sigma=\frac{\rho g h d}{2\cos\theta},

其中 σ\sigma 為表面張力、ρ\rho 為水的密度、gg 為重力加速度、dd 為兩玻璃片間距，θ\theta 為接觸角。

解題方法

將題目給定的數值代入公式，並整理求出間距 dd：

d=2σcos⁡θρgh.d=\frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g h}.

取 g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}，代入 σ=0.073 N/m\sigma=0.073\ \mathrm{N/m}、θ=15∘\theta=15^\circ、ρ=1000 kg/m3\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3} 及 h=0.01 mh=0.01\ \mathrm{m}：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題30 分

一科技廠為了資源循環再利用，擬將兩種液體中的上層液，透過圓柱桶旋轉方式將上層液分離出來回收再利用。如圖所示，桶高 hh 及半徑為 RR，其中上層液密度 ρu\rho_u 小於下層液體密度 ρl\rho_l，且靜止時的下層液高為 hl0h_{l0}，上層液在下層液上方厚度為 huh_u。今將圓柱桶繞中心軸旋轉，請寫出將上層液完全從旋轉圓柱桶中心分離出來的旋轉角速率 WW。

所以，若

ht=0.6 m,R=0.3 m,hl0=0.4 m,hu=0.1 m,h_t=0.6\ \mathrm{m},\quad R=0.3\ \mathrm{m},\quad h_{l0}=0.4\ \mathrm{m},\quad h_u=0.1\ \mathrm{m}, ρl=1.25 kg/m3,ρu=0.62 kg/m3,\rho_l=1.25\ \mathrm{kg/m^3},\quad \rho_u=0.62\ \mathrm{kg/m^3},

求此時圓柱桶中的旋轉角速率 WW。（30 分）

註：其中 hl0>ht/2h_{l0}>h_t/2 且 ht−hl0>huh_t-h_{l0}>h_u；當旋轉達穩態時，單一液體中心軸線的液面高度 hlh_l 為

hl=hl0−W2R24g.h_l=h_{l0}-\frac{W^2R^2}{4g}.

圖示標示：zz 軸、圓桶的中心軸、上層液 uu、下層液 ll、huh_u、hl0h_{l0}、hth_t、徑向座標 rr 及圓桶半徑 RR。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查圓柱桶繞垂直中心軸旋轉時，液體在穩態下的壓力分布與自由液面形狀。

旋轉座標系中，液體所受徑向離心力使壓力滿足

∂p∂r=ρW2r,∂p∂z=−ρg。\frac{\partial p}{\partial r}=\rho W^2r, \qquad \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g。

因此，單一液體的自由液面為拋物面：

z=z0+W2r22g.z=z_0+\frac{W^2r^2}{2g}.

題目已給下層液體中心軸線的液面高度：

hl=hl0−W2R24g.h_l=h_{l0}-\frac{W^2R^2}{4g}.

其中 hlh_l 是下層液體在旋轉後的中心液面高度。

解題方法

當上層液體恰好完全離開桶中央，且外側上層液面的最高位置達到桶口高度 hth_t 時，在桶壁 r=Rr=R 處：

  • 上層液體厚度為 huh_u；
  • 下層、上層液體交界面高度為 ht−huh_t-h_u；
  • 下層液體中心自由液面高度為 hlh_l。

一、下層液體在桶壁交界面的壓力

由下層液體中心自由液面 hlh_l 到桶壁交界面 ht−huh_t-h_u，壓力為

pl−patm=ρl[g(hl−ht+hu)+W2R22].p_l-p_{\mathrm{atm}} = \rho_l \left[ g\left(h_l-h_t+h_u\right) +\frac{W^2R^2}{2} \right].

二、上層液體在桶壁交界面的壓力

桶壁處上層液面高度為 hth_t，交界面高度為 ht−huh_t-h_u，因此

pu−patm=ρughu.p_u-p_{\mathrm{atm}} = \rho_u g h_u.

交界面壓力必須連續，因此

ρl[g(hl−ht+hu)+W2R22]=ρughu.\rho_l \left[ g\left(h_l-h_t+h_u\right) +\frac{W^2R^2}{2} \right] = \rho_u g h_u.

除以 ρlg\rho_l g：

hl−ht+hu+W2R22g=ρuρlhu.h_l-h_t+h_u+\frac{W^2R^2}{2g} = \frac{\rho_u}{\rho_l}h_u.

代入

hl=hl0−W2R24g,h_l=h_{l0}-\frac{W^2R^2}{4g},

得

hl0−ht+hu+W2R24g=ρuρlhu.h_{l0}-h_t+h_u +\frac{W^2R^2}{4g} = \frac{\rho_u}{\rho_l}h_u.

整理後：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題30 分

在污水處理廠中，廢污水的流動速度非常慢（此時雷諾數遠小於 11），此種流況又稱慢速流（Creeping flows）。

若廢污水中有很多極細小的微生物體，且其處於上述慢速流流況下，今欲分析微生物體所受水流阻力的大小。分析後發現，阻力大小是流速 VV、微生物個體特徵長度 LL，及廢污水黏滯係數 μ\mu 等的函數。

請以因次分析（Dimensional analysis）方法，分析此阻力 FDF_D 與 VV、LL 及 μ\mu 的關係。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考的是因次分析中的 Buckingham Π\Pi 定理。阻力 FDF_D 由流速 VV、特徵長度 LL 與動力黏滯係數 μ\mu 決定；因為這些變數可組成唯一的無因次群，所以阻力必須與 μVL\mu VL 成正比，比例常數則由物體形狀等未列出的因素決定。

解題方法

先列出各物理量的因次：

[FD]=MLT−2,[V]=LT−1,[L]=L,[μ]=ML−1T−1[F_D]=MLT^{-2},\qquad [V]=LT^{-1},\qquad [L]=L,\qquad [\mu]=ML^{-1}T^{-1}

假設阻力與各變數的關係為冪次形式：

FD=CVaLbμcF_D=C V^a L^b \mu^c

其中 CC 為無因次常數。比較兩側的質量、長度與時間因次：

M1L1T−2=(LT−1)a(L)b(ML−1T−1)cM^1L^1T^{-2} = ( LT^{-1} )^a(L)^b( ML^{-1}T^{-1} )^c

右側整理為：

McLa+b−cT−a−cM^cL^{a+b-c}T^{-a-c}

逐項比較指數：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

112 年地方特考四等・其他類科的《流體力學概要》

水利工程類科