112 地方特考四等 水利工程類科 土壤力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考的是三種常見黏土礦物，以及它們對土壤塑性與 USCS 分類的影響。三種主要黏土礦物為高嶺石（kaolinite）、伊萊石（illite）及蒙脫石（montmorillonite，屬於 smectite 群）。

要注意，USCS 的群組符號不是依礦物名稱直接指定，而是依土樣的粒徑、液性限度 $LL$、塑性指數 $PI$ 等試驗結果分類。細粒土主要依塑性圖判定：$PI$ 與 $LL$ 點位於 A 線以上通常判為黏土（C），以下通常判為粉土（M）；再依 $LL$ 是否達 50% 區分低塑性（L）與高塑性（H）。

解題方法

列出三種礦物後，說明其典型塑性特性，再對照 USCS 的細粒土群組符號。下列符號是常見的典型對應，不代表僅憑礦物名稱即可完成分類：

黏土礦物	典型塑性特性	可能的 USCS 群組符號與分類依據
高嶺石	塑性及膨脹性較低	常見為 CL（低塑性無機黏土）；若液性限度高且塑性圖位置符合，也可為 CH。依 $LL$、$PI$ 在塑性圖的位置判定。
伊萊石	塑性程度居中	常見為 CL 或 CH；

核心觀念

本題考查土壤有效應力、側向土壓力係數與莫爾圓的關係。砂土元素的垂直有效應力為 $\sigma'_v=100\ \mathrm{kPa}$，側向有效應力為 $\sigma'_h$，側向土壓力係數定義為

$$K=\frac{\sigma'_h}{\sigma'_v}$$

靜止狀態採用正常壓密砂土的 Jaky 公式 $K_0=1-\sin\phi'$；Rankine 主動與被動破壞則依題目所給公式計算。

解題方法

已知 $\phi'=30^\circ$，故

$$\sin\phi'=0.5$$

莫爾圓的兩個端點為互相垂直方向上的主應力；其圓心與半徑分別為

$$C=\frac{\sigma'_1+\sigma'_3}{2},\qquad R=\frac{\sigma'_1-\sigma'_3}{2}$$

其中 $\sigma'_1$ 為較大主有效應力，$\sigma'_3$ 為較小主有效應力。採用壓應力為正的慣例。

(1) 靜止狀態

正常壓密砂土採 Jaky 公式：

$$K_0=1-\sin\phi'=1-0.5=0.5$$

因此側向有效應力為

$$\sigma'_h=K_0\sigma'_v=0.5(100)=50\ \mathrm{kPa}$$

靜止狀態下垂直與水平面均無剪應力，兩者即為主應力：

$$\sigma'_1=100\ \mathrm{kPa},\qquad \sigma'_3=50\ \mathrm{kPa}$$

莫爾圓圓心、半徑為

$$C_0=\frac{100+50}{2}=75\ \mathrm{kPa},\qquad R_0=\frac{100-50}{2}=25\ \mathrm{kPa}$$

(2) Rankine 主動破壞

$$K_a=\tan^2\left(45^\circ-\frac{30^\circ}{2}\right) =\tan^2(30^\circ)=\frac{1}{3}$$

側向有效應力為

$$\sigma'_h=K_a\sigma'_v=\frac{1}{3}(100) =33.33\ \mathrm{kPa}$$

主動破壞時垂直應力為較大主應力，水平應力為較小主應力：

$$\sigma'_1=100\ \mathrm{kPa},\qquad \sigma'_3=33.33\ \mathrm{kPa}$$

莫爾圓圓心、半徑為

$$C_a=\frac{100+33.33}{2}=66.67\ \mathrm{kPa},\qquad R_a=\frac{100-33.33}{2}=33.33\ \mathrm{kPa}$$

(3) Rankine 被動破壞

$$K_p=\tan^2\left(45^\circ+\frac{30^\circ}{2}\right) =\tan^2(60^\circ)=3$$

側向有效應力為

$$\sigma'_h=K_p\sigma'_v=3(100) =300\ \mathrm{kPa}$$

核心觀念

深基礎是指將建築物或構造物的荷重，經由樁、沉箱或井筒等構造，傳至較深處較堅實土層或岩盤的基礎形式。相較於淺基礎，深基礎可藉由樁端承載、樁側摩擦或兩者共同作用傳遞荷重。

本題考查的是：何時地表附近土層不足以安全、經濟地承載，因而須將荷重傳至較深處。題目未限定特定基礎形式，作答時列出五種常見情況並簡要說明即可。

解題方法

判斷是否採用深基礎，可從地盤條件、荷重大小、使用環境與施工限制切入：

1. 淺層土壤承載力不足：上部土層鬆軟或強度低，無法承受結構荷重。
2. 沉陷控制不易：淺基礎預估沉陷量過大，或差異沉陷可能損害結構。
3. 荷重大或有顯著水平力、拉力：須藉較深土層的承載能力、樁側摩擦或樁群作用抵抗。
4. 地表土層不穩定或易受沖刷：須將基礎設於沖刷深度以下或穩定土層中。
5. 淺基礎施工受限制：例如鄰近既有建物、地下水位高或開挖困難，採深基礎較適當。

以上任列五種並說明理由，即切合題意。

五種常見採用深基礎的時機

1. 地表附近土層承載力不足 當上部土層為鬆砂、軟弱黏土、填土或其他低強度地層，淺基礎底面下的地盤無法安全承受荷重時，可用樁基礎或沉箱等將荷重傳至較深處的堅實土層或岩盤。

核心觀念

本題考查 Terzaghi 一維壓密理論：外加荷重先由土中孔隙水承受，隨排水而逐漸轉移至土骨架，超額孔隙水壓消散，土層因而產生壓密沉陷。控制壓密速率的主要參數為壓密係數 $c_v$，控制某一時刻孔隙水壓消散程度的無因次參數為時間因子 $T_v$。

解題方法：控制方程式

考慮厚度方向為 $z$ 軸的一維排水與變形，Terzaghi 單向度壓密控制方程式為

$$\frac{\partial u}{\partial t} = c_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$

其中，$u$ 為超額孔隙水壓，$t$ 為時間，$z$ 為垂直座標；壓密係數為

$$c_v=\frac{k}{m_v\gamma_w}$$

$k$ 為土壤滲透係數，$m_v$ 為體積壓縮係數，$\gamma_w$ 為水的單位重。此式表示孔隙水壓消散速率，與超額孔隙水壓沿排水方向的曲率成正比。

對均勻土層、均勻初始超額孔隙水壓及理想排水邊界，方程式可配合邊界條件求得各時刻的孔隙水壓分布。平均壓密度可用時間因子表示：

$$T_v=\frac{c_vt}{H_{dr}^2}$$

其中 $H_{dr}$ 為最大排水距離；雙向排水時為土層厚度的一半，單向排水時為土層全厚。這也說明縮短排水距離能大幅縮短達到相同壓密度所需的時間。

主要假設條件

1. 土層均質、飽和，且為一維問題；土壤只發生垂直變形，水只沿垂直方向流動。
2. 土粒與孔隙水視為不可壓縮，壓密主要來自孔隙水排出及土骨架壓縮。