112 地方特考四等 測量製圖類科 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

本題考測量成果的中誤差與平均誤差。題目給的是 7 次觀測的誤差值 $v_i$，且誤差總和為零：

此處誤差值總和並非零，計算中誤差時採用題目給定的誤差平方和與觀測次數；平均誤差則取各誤差絕對值的算術平均。

解題方法

一、中誤差

以誤差平方和除以觀測次數，再開平方：

各誤差平方和為：

核心觀念

高斯消去法是將聯立方程式寫成增廣矩陣，透過列運算把係數矩陣化為上三角形，再以回代求出未知數。列運算包括交換兩列、將某列乘以非零常數，以及以某列的倍數加減另一列；這些運算不會改變方程組的解。

解題方法

將方程組寫成增廣矩陣：

先消去第一欄的 $x$。為避免分數，採用整數倍列運算：

得到

再消去第三列的 $y$：

因此矩陣化為上三角形：

核心觀念

本題考測量誤差依其行為特性所作的分類。觀測值受到儀器、人為與環境等因素影響，誤差的表現方式不同，處理方法也不同。一般分為三種：

1. 系統誤差：依一定規律或方向出現，常可由誤差來源分析、改正數或校正模型處理。
2. 偶然誤差：由許多微小且不易掌握的因素共同造成，正負與大小呈偶然變化；通常以機率統計模型描述，並藉重複觀測與平差降低其影響。

核心觀念

相關係數是協變方除以兩個變數標準差的乘積，表示兩變數的線性相關程度。由變方－協變方矩陣的對角線讀取變方，由非對角線讀取協變方：

解題方法

由題示矩陣可得：

依公式分別計算：

核心觀念

協因數矩陣 $Q_{\hat{X}\hat{X}}$ 的對角元素，分別代表坐標估值的協因數；乘上單位權變方 $\hat{\sigma}_0^2$，即可得到坐標估值的變方。坐標中誤差為變方的平方根。

設 $\hat{X}=[X_1,Y_1]^T$，則：

點位中誤差為縱、橫坐標中誤差平方和的平方根：

解題方法

由題目給定：

矩陣對角線依序對應 $X_1$ 與 $Y_1$ 的協因數，因此：