114 地方特考四等 測量製圖類科 誤差理論概要 考古題詳解

核心觀念

系統誤差是由某種固定原因或規律性因素造成，會使觀測結果產生有方向性的偏差。誤差理論常將觀測量表示為

其中 $L_0$ 為真值或理想值，$e_s$ 為系統誤差，$e_r$ 為偶然誤差。系統誤差與偶然誤差的主要差別，在於系統誤差具有一定規律，偶然誤差則呈不規則的正、負波動。

（一）系統誤差的特性

1. 具有原因與規律性：通常可追溯至儀器、觀測方法、環境條件或作業程序，例如儀器尺度誤差、視準軸誤差、溫度造成尺長變化等。
2. 具有方向性：在相同或相近條件下，誤差常以相同方向影響觀測值，不會像偶然誤差般單純正負交錯。
3. 可隨觀測條件改變：系統誤差不一定是固定常數，也可能隨觀測時間、距離、溫度、角度或其他因素，以固定比例或特定函數規律改變。
4. 重複觀測不會自然消除：若每次觀測都受到同一系統因素影響，增加觀測次數或取平均，仍可能保留偏差。
5. 通常可經校正、改正或模型化處理：查明誤差來源後，可校正儀器、改正觀測值，或在平差模型中納入系統誤差參數。

（二）觀測量含有系統誤差對平差的影響

平差以觀測方程及隨機誤差假設為基礎，通常透過最小平方法求解。若觀測量含有未處理的系統誤差，平差會把這些有規律的偏差當成一般觀測誤差處理，造成下列影響：

核心觀念

本題考查誤差傳播中的相對誤差。比例尺為

對兩邊取全微分，可得比例尺的相對變化量：

分母的誤差會以相反符號影響商的相對誤差。

解題方法

題目給定像主距與物距的相對誤差分別為 $5\%$ 與 $10\%$。代入相對誤差公式：

核心觀念

本題考查水準網的間接觀測最小二乘平差。以各點高程為未知數，依觀測箭頭方向建立高程差方程；已知的 $A$、$B$ 點高程固定不調整。所有觀測等權且互不相關，因此以最小化觀測改正數平方和求解：

以下定義觀測改正數為「平差後高程差減去原觀測高程差」，即 $v_i=\widehat{\Delta h}_i-\Delta h_i$。

解題方法

依圖中箭頭方向，六個觀測方程為：

代入固定高程 $H_A=10.000$ m、$H_B=15.000$ m，令未知數向量為 $\mathbf{x}=[H_C,H_D,H_E]^T$，可寫成 $\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{v}=\mathbf{l}$，其中

等權最小二乘的法方程為 $\mathbf{A}^T\mathbf{A}\widehat{\mathbf{x}}=\mathbf{A}^T\mathbf{l}$：

核心觀念

本題考查觀測平差中的多餘觀測數與粗差檢定能力之間的關係，並進一步區分「偵測到有錯」與「判斷錯在哪一筆觀測」兩項不同任務。

設有 $n$ 個觀測量、$u$ 個未知參數，且設計矩陣 $A$ 的秩為 $u$，則多餘觀測數（亦稱自由度）為

多餘觀測來自觀測資料所提供的條件或閉合關係。它使觀測值能彼此檢核，並由平差後的殘差反映觀測資料與所採模型的差異。

解題方法：從自由度看偵測與定位

以線性觀測模型

為例，平差後的殘差向量為

（若採相反的殘差定義，以下符號會改變，但檢定結論不變）。殘差只能落在設計矩陣的左零空間，該空間維度為 $r=n-u$；因此，冗餘資訊的本質，是觀測資料中可供檢核的獨立條件數。

若 $r=0$，觀測數恰好足以解出未知數，平差可完全符合觀測方程，沒有獨立冗餘條件可供殘差檢核。此時即使某一觀測含有粗差，單靠該網的平差殘差也無法將它揭露。

若 $r>0$，便可利用殘差或閉合差進行整體模型檢定，例如檢查殘差平方和是否顯著偏大。若檢定拒絕「只有隨機誤差」的假設，可判定資料中有不相容情形；但這只表示發現有錯或模型不符，不會自動指出哪一筆觀測錯誤。

多餘觀測與錯誤偵測

多餘觀測提供錯誤偵測所需的檢核資訊。一般而言，冗餘條件愈多，愈有機會在閉合差或殘差中看出不一致；但是否能偵測到某一筆粗差，還取決於該粗差是否會投影到可檢核的冗餘空間，以及觀測精度、網形與檢定門檻等因素。