114 地方特考離島三等 土木工程類科 材料力學與結構學 考古題詳解

核心觀念

本題考單軸拉伸應力–應變曲線的各階段，以及總應變的分解：

其中，彈性應變 $\varepsilon_e$ 卸載後可回復；塑性應變 $\varepsilon_p$ 卸載後仍保留。線彈性範圍內依據虎克定律：

（一）圖中空格名稱與意義

• （i）極限抗拉強度（抗拉強度）：工程應力–應變曲線所能達到的最大應力，圖中位於 $D$ 點。超過此點後，試體開始局部縮頸，工程應力下降。
• （ii）降伏強度（降伏應力）：材料開始產生明顯塑性變形時的應力。圖中鋼材有上、下降伏點及降伏平台；題目給定的降伏強度為 $\sigma_y=300\,\text{MPa}$。
• （iii）彈性區：從原點 $O$ 至降伏前的區段。此範圍內應力與應變近似成正比，卸載後變形可回復；圖中直線段斜率為楊氏係數 $E_s$，比例限位於此直線段末端附近。
• （iv）降伏平台（降伏區）：圖中 $A$ 至 $C$ 的區段。應變持續增加，而應力大致維持在降伏應力附近，材料產生塑性變形。
• （v）應變硬化區：圖中 $C$ 至 $D$ 的區段。

核心觀念

這題考平面應力轉換，要求主應力、主方向，以及面內最大剪應力與其方向。主應力面上的剪應力為零；最大面內剪應力則等於莫耳圓半徑，作用面上的正應力等於平均正應力。

角度 $\theta$ 定義為：由 $+x$ 軸逆時針轉到旋轉後 $x'$ 面外法線的角度。應力轉換式為：

解題方法

先求平均正應力與莫耳圓半徑：

因此主應力為：

$\sigma_1$ 為拉應力，$\sigma_2$ 為壓應力。

主方向由下式求得：

依正弦、餘弦的象限判斷，$\cos 2\theta_p<0$ 且 $\sin 2\theta_p<0$，故對應 $\sigma_1$ 的角度為：

也就是 $x'$ 面外法線由 $+x$ 軸順時針轉 $61.85^\circ$。另一主方向與其垂直：

面內最大剪應力等於莫耳圓半徑：

最大剪應力面方向相對主應力面轉 $45^\circ$：

另一組互相垂直的最大剪應力面為：

核心觀念

本題考查簡支梁的支承反力、剪力圖與彎矩圖，以及矩形斷面的彎曲正向應力與最大剪應力。圖中兩個集中載重各為 $P=5\,\text{kN}$，位置分別距左支承 $1\,\text{m}$、$3\,\text{m}$；跨距 $L=4\,\text{m}$，截面高度 $h=400\,\text{mm}$。

解題方法

1. 求支承反力

兩載重對稱，因此左右支承反力相等。由垂直力平衡：

取左支承 $A$ 點力矩：

因此 $R_A=5\,\text{kN}$。

2. 剪力圖與彎矩圖

令 $x$ 自左支承 $A$ 起算，剪力以向上為正。兩集中載重使剪力各向下跳 $5\,\text{kN}$：

剪力圖可表示為：

V (kN)
 +5 ┌────────┐
 │ │
 0 ┘ └────────────┐
 │
 -5 └────────┐
 A 1 3 B
 0 1 m 3 m 4 m

彎矩由剪力對 $x$ 積分，且簡支端彎矩為零，因此：

彎矩圖在 $A$ 至第一載重處線性增加，兩載重之間維持定值，再線性下降至 $B$ 點的零：

核心觀念

共軛梁法以實梁的 $M/EI$ 圖作為共軛梁的分布荷載，並利用共軛梁的剪力、彎矩分別對應實梁的垂直位移、傾角。$EI$ 為常數，因此可用彎矩圖積分求出傾角與位移。

本題取向上位移為正，並令實梁正彎矩（下凹）為正，故曲率關係為 $y''=M/EI$。先由靜力平衡求支承反力，再由彎矩積分計算所求量。

解題方法

全梁長 $8\,\text{m}$，均佈載重總和為 $8\times8=64\,\text{kN}$。取 $A$ 點力矩：

令 $x$ 自 $A$ 點起算，實梁彎矩為

共軛梁中 $M/EI$ 荷載的積分，可直接用下列面積矩關係求實梁變位：

（一）鉸支承 $A$ 端之傾角

$A$、$B$ 兩點垂直位移皆為零，因此令 $x=5$、$y(5)=0$：

積分值為