114 地方特考離島三等 土木工程類科 鋼筋混凝土學與設計 考古題詳解

核心觀念

本題要比較兩種鋼筋需求，並取較大者：

1. 彎矩需求鋼筋量：由設計彎矩 $M_u$ 反算所需受拉鋼筋量 $A_s$。
2. 最少鋼筋量：單向版受力方向的最少鋼筋量，依最少鋼筋比 $\rho_{\min}=0.0018$ 乘以版的毛截面積計算。

設計鋼筋量須滿足兩者，因此：

$$A_{s,\mathrm{design}}=\max(A_{s,\mathrm{flexure}},A_{s,\min})$$

解題方法

以每 $1\ \mathrm{m}$ 寬版帶計算，取 $b=100\ \mathrm{cm}$。採用矩形應力塊：

$$a=\frac{A_s f_y}{0.85f'_c b}$$ $$M_n=A_s f_y\left(d-\frac{a}{2}\right)$$

本題受彎採用強度折減係數 $\phi=0.90$，須滿足：

$$\phi M_n\ge M_u$$

先將設計彎矩換算為一致單位：

$$M_u=0.8\ \mathrm{tf\cdot m} =80{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm}$$

代入 $f_y=4{,}200\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$b=100\ \mathrm{cm}$、$d=12\ \mathrm{cm}$：

$$0.90 A_s(4{,}200) \left[ 12-\frac{A_s(4{,}200)}{2(0.85)(280)(100)} \right] =80{,}000$$

解得彎矩需求鋼筋量約為：

$$A_{s,\mathrm{flexure}}\approx1.79\ \mathrm{cm^2/m}$$

核心觀念

本題考鋼筋混凝土梁的剪力強度與載重組合。依命題當年（民國 114 年）適用的《建築物混凝土結構設計規範》，梁的設計剪力須滿足：

$$V_u \leq \phi V_n=\phi(V_c+V_s)$$

其中剪力強度折減係數 $\phi=0.75$。非預力梁可用下式計算混凝土剪力強度：

$$V_c=0.53\sqrt{f'_c}\,b_wd$$

箍筋提供的剪力強度為：

$$V_s=\frac{A_vf_yd}{s}$$

此外，箍筋提供的剪力強度不得超過：

$$V_{s,\max}=2.12\sqrt{f'_c}\,b_wd$$

本題單位採 $\mathrm{kgf}$、$\mathrm{cm}$。一般閉合箍筋有兩支箍筋腿穿越梁腹，因此 $A_v=2A_b$。

解題方法

先分別計算混凝土與箍筋的剪力強度，再檢核箍筋剪力是否超過規範上限。最後以靜載重與活載重組合 $V_u=1.2V_D+1.6V_L$，求得活載重剪力上限。

1. 混凝土剪力強度：

$$V_c=0.53\sqrt{280}(35)(48) =14{,}909\ \mathrm{kgf} =14.91\ \mathrm{tf}$$

2. 依配置計算箍筋剪力強度。兩腿箍筋的剪力鋼筋面積為：

$$A_v=2(1.27)=2.54\ \mathrm{cm^2}$$ $$V_s=\frac{(2.54)(4200)(48)}{15} =34{,}138\ \mathrm{kgf} =34.14\ \mathrm{tf}$$

3. 檢核箍筋剪力上限：

核心觀念

本題考單筋矩形梁的標稱彎矩強度。採用矩形應力塊計算混凝土壓力合力，再以鋼筋拉力與混凝土壓力平衡求中性軸深度，最後由內力偶求標稱彎矩。

題目未提供其他設計規範版本資訊，以下依常用強度設計公式計算。有效深度 $d$ 已量至拉力筋重心，$D13$ 箍筋直徑不必再用於調整 $d$。

解題方法

拉力筋總面積為

$$A_s=4A_b=4(8.14)=32.56\ \mathrm{cm^2}$$

先假設拉力筋已降伏。以鋼筋拉力 $T$ 等於混凝土壓力 $C$：

$$T=A_s f_y=32.56(4200)=136{,}752\ \mathrm{kgf}$$

對 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，矩形應力塊係數 $\beta_1=0.85$。混凝土壓力為 $C=0.85f'_cba$，故由 $T=C$ 得：

$$a=\frac{A_s f_y}{0.85f'_c b} =\frac{32.56(4200)}{0.85(280)(50)} =11.51\ \mathrm{cm}$$

其中 $a=\beta_1c$ 為等值矩形壓力塊深度。內力偶的力臂為 $d-a/2$，因此：

核心觀念

本題考查懸臂梁的設計剪力分布，以及依《建築物混凝土結構設計規範》判定剪力筋配置範圍。以民國 114 年命題時適用的規範為準。

懸臂梁承受均布載重時，剪力由自由端往固定端線性增加。依規範，當 $V_u\leq 0.5\phi V_c$ 時，無須配置剪力筋；當 $0.5\phi V_c<V_u\leq\phi V_c$ 時，可配置最少剪力筋量；超過 $\phi V_c$ 時，須依剪力需求設計剪力筋。此梁不屬於可免配置最少剪力筋的特殊梁型。

本題採用：

$$w_u=1.2w_D+1.6w_L,\qquad V_c=0.53\sqrt{f'_c}\,b_wd,\qquad \phi=0.75$$

其中 $f'_c$ 以 $\mathrm{kgf/cm^2}$、尺寸以 $\mathrm{cm}$ 代入時，$V_c$ 得 $\mathrm{kgf}$。

解題方法

先求設計均布載重：

$$w_u=1.2(1.5)+1.6(2.5)=5.8\ \mathrm{tf/m}$$

懸臂梁自由端的剪力為零；距固定端 $x$ 處的剪力等於該截面至自由端範圍內的設計載重。本題判定剪力筋需求時，採距固定端 $d=0.53\ \mathrm m$ 的控制截面，因此該處至自由端長度為：

$$L-d=3.00-0.53=2.47\ \mathrm m$$

設 $y$ 為自自由端起算的距離，則控制截面仍位於均布載重作用長度內，且：

$$V_u(y)=w_uy=5.8y\ \mathrm{tf}$$

1. 計算混凝土剪力強度

$$V_c=0.53\sqrt{280}(40)(53) =18{,}804\ \mathrm{kgf} =18.80\ \mathrm{tf}$$

因此：

$$\phi V_c=0.75(18.80)=14.10\ \mathrm{tf}$$ $$0.5\phi V_c=7.05\ \mathrm{tf}$$

2. 求無須配置剪力筋的範圍

邊界由 $V_u=0.5\phi V_c$ 決定：

$$5.8y=7.05 \quad\Longrightarrow\quad y=1.216\ \mathrm m$$

因此，自自由端起算 $1.216\ \mathrm m$ 範圍內，$V_u\leq0.5\phi V_c$，無須配置剪力筋。

3. 求可配置最少剪力筋量的最大範圍

最少剪力筋可用的剪力上限為 $V_u=\phi V_c$：

$$5.8y=14.10 \quad\Longrightarrow\quad y=2.431\ \mathrm m$$