113 地方特考離島四等 土木工程 材料力學概要 考古題詳解

113 年・地方特考・離島四等・土木工程
試題代碼 材料力學概要

第 一 題25 分

如圖 1 所示，有一軸力構件 ADAD，左端 AA 處為固定端，右端 DD 處受到軸力 P=100 kNP=100\ \mathrm{kN} 向右作用。並且在 BB 處受到軸力 F1=70 kNF_1=70\ \mathrm{kN} 向左作用，在 CC 處受到軸力 F2F_2 向右作用。

已知 ABAB 段與 CDCD 段為鋼製，彈性模數 Est=200 GPaE_{\mathrm{st}}=200\ \mathrm{GPa}，ABAB 與 CDCD 段長度為 1 m1\ \mathrm{m}，截面積為 100 mm2100\ \mathrm{mm^2}；而 BCBC 段為鋁製，彈性模數 Eal=70 GPaE_{\mathrm{al}}=70\ \mathrm{GPa}，BCBC 段長度為 1 m1\ \mathrm{m}，截面積是 200 mm2200\ \mathrm{mm^2}。

在 BCBC 段有一應變規量測軸向應變 ε=10 μ\varepsilon=10\ \mu（其中 μ=10−6\mu=10^{-6}），請問 F2F_2 是多少？又求 DD 端位移 δD\delta_D。

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核心觀念

本題考查：

  1. 軸向構件各段的內力。
  2. 胡克定律： σ=Eε\sigma=E\varepsilon
  3. 軸力與應力關係： N=σAN=\sigma A
  4. 軸向變形： δ=NLAE\delta=\frac{NL}{AE}

取向右為正，拉力為正、壓力為負。

解題方法

一、由應變規求 BC 段軸力

BC 段為鋁製：

Eal=70 GPa=70,000 N/mm2E_{\mathrm{al}}=70\ \mathrm{GPa}=70{,}000\ \mathrm{N/mm^2}

應變為：

ε=10μ=10×10−6\varepsilon=10\mu=10\times10^{-6}

因此 BC 段應力為：

σBC=Ealε=70,000(10×10−6)=0.7 N/mm2\sigma_{BC}=E_{\mathrm{al}}\varepsilon =70{,}000(10\times10^{-6}) =0.7\ \mathrm{N/mm^2}

BC 段截面積為 200 mm2200\ \mathrm{mm^2}，故軸力：

NBC=σBCABC=0.7(200)=140 N=0.14 kNN_{BC}=\sigma_{BC}A_{BC} =0.7(200) =140\ \mathrm{N} =0.14\ \mathrm{kN}

由於應變為正值，表示 BC 段為拉力。

二、求 F2F_2

對 BC 段右側部分作受力平衡，若圖示 F2F_2 確實向右，則：

NBC=P+F2N_{BC}=P+F_2

代入數值：

0.14=100+F20.14=100+F_2

F2=−99.86 kNF_2=-99.86\ \mathrm{kN}

負號表示實際方向與圖示相反，因此：

F2=99.86 kN向左F_2=99.86\ \mathrm{kN}\quad\text{向左}

也就是說，原圖若標示 F2F_2 向右，則「向右」與量測到的正拉應變彼此矛盾；依應變量測結果，F2F_2 必須為向左。

三、求各段軸力

AB 段

AB 段右側外力合力為：

−F1+F2+P=−70−99.86+100=−69.86 kN-F_1+F_2+P =-70-99.86+100 =-69.86\ \mathrm{kN}

因此 AB 段為壓力：

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第 二 題25 分

如圖 2 所示，有一簡支梁 ABAB，在梁上受到一分布載重 w(x)=−x2+xLw(x)=-x^2+xL 作用。試求出梁的中央處 CC 處的側向位移 vCv_C。

已知梁的彈性模數 E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa}，梁的截面為矩形斷面，高度 hh 為 60 cm60\ \mathrm{cm}，寬度為 50 cm50\ \mathrm{cm}，梁的長度 L=10 mL=10\ \mathrm{m}。本題可能用到積分公式：

∫xm dx=1m+1xm+1\int x^m\,dx=\frac{1}{m+1}x^{m+1}

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核心觀念

本題考查簡支梁在非均勻分布載重下的中央撓度，使用：

  1. 分布載重求支承反力。
  2. 彎矩函數 M(x)M(x)。
  3. 單位荷重法求中央點位移： vC=∫0LM(x)m(x)EI dxv_C=\int_0^L\frac{M(x)m(x)}{EI}\,dx
  4. 矩形截面的慣性矩： I=bh312I=\frac{bh^3}{12}

圖中分布載重向下，且

w(x)=−x2+xL=x(L−x)w(x)=-x^2+xL=x(L-x)

關於梁中央對稱，因此中央點的撓度向下。

解題方法

1. 求支承反力

分布載重總合力為

W=∫0Lx(L−x) dxW=\int_0^L x(L-x)\,dx W=∫0L(Lx−x2) dx=L32−L33=L36W=\int_0^L(Lx-x^2)\,dx =\frac{L^3}{2}-\frac{L^3}{3} =\frac{L^3}{6}

由於載重關於中央對稱，兩端反力相等：

RA=RB=W2=L312R_A=R_B=\frac{W}{2}=\frac{L^3}{12}

2. 求左半段彎矩函數

取距離 A 點 xx 處之剖面，0≤x≤L0\leq x\leq L：

M(x)=RAx−∫0xw(s)(x−s) dsM(x)=R_Ax-\int_0^x w(s)(x-s)\,ds

其中

w(s)=s(L−s)w(s)=s(L-s)

因此

∫0xs(L−s)(x−s) ds=∫0x(Lxs−Ls2−xs2+s3)ds=Lx36−x412\begin{aligned} \int_0^x s(L-s)(x-s)\,ds &=\int_0^x\left(Lxs-Ls^2-xs^2+s^3\right)ds\\ &=\frac{Lx^3}{6}-\frac{x^4}{12} \end{aligned}

故

M(x)=L3x12−Lx36+x412M(x)=\frac{L^3x}{12}-\frac{Lx^3}{6}+\frac{x^4}{12}

3. 建立中央單位荷重彎矩

在中央 C 施加向下單位力，虛擬彎矩為：

m(x)=x2,0≤x≤L2m(x)=\frac{x}{2},\qquad 0\leq x\leq\frac{L}{2}

由對稱性，

vC=2∫0L/2M(x)m(x)EI dxv_C =2\int_0^{L/2}\frac{M(x)m(x)}{EI}\,dx

代入 m(x)=x/2m(x)=x/2：

vC=1EI∫0L/2M(x)x dxv_C=\frac{1}{EI}\int_0^{L/2}M(x)x\,dx

因此

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第 三 題25 分

某點之應力狀態如圖 3 所示。試求其主軸應力（principle stress）、和最大剪應力（maximum shear stress）及平均正應力。

圖中正應力為 160 MPa160\ \mathrm{MPa}，剪應力為 120 MPa120\ \mathrm{MPa}，各應力方向如圖所示。

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核心觀念

本題考查平面應力狀態下的：

  • 平均正應力
  • 主軸應力（principal stresses）
  • 最大剪應力（maximum shear stress）

由圖 3 可讀得：

σx=0,σy=160 MPa,∣τxy∣=120 MPa\sigma_x=0,\qquad \sigma_y=160\ \text{MPa},\qquad |\tau_{xy}|=120\ \text{MPa}

剪應力方向所代表的正負號不影響主應力大小，因公式中為 τxy2\tau_{xy}^2。

解題方法

平均正應力為

σavg=σx+σy2=0+1602=80 MPa\sigma_{\text{avg}} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{0+160}{2} =80\ \text{MPa}

莫耳圓半徑，即最大剪應力為

τmax⁡=(σx−σy2)2+τxy2\tau_{\max} =\sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }

代入數值：

τmax⁡=(0−1602)2+1202\tau_{\max} =\sqrt{ \left(\frac{0-160}{2}\right)^2+120^2 } =802+1202=20800=144.22 MPa=\sqrt{80^2+120^2} =\sqrt{20800} =144.22\ \text{MPa}

主軸應力為

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第 四 題25 分

如圖 4 所示，一水平力 P=100 kNP=100\ \mathrm{kN} 作用於板的末端上。板厚 10 mm10\ \mathrm{mm}，而 PP 則作用於板厚之中心線下方，且 d=30 mmd=30\ \mathrm{mm}。請問 aa-aa 截面的正向應力最大值與最小值分別為多少？

圖中板高為 200 mm200\ \mathrm{mm}，由板左端至 aa-aa 截面的距離為 300 mm300\ \mathrm{mm}，力 PP 的作用方向及位置如圖所示。

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核心觀念

此題考「偏心軸力」造成的組合應力。水平力 PP 的作用線位於板厚中心線下方 d=30 mmd=30\ \mathrm{mm}，因此在 a−aa-a 截面產生：

  1. 軸向力 PP 造成均勻正向應力；
  2. 偏心力矩 M=PdM=Pd 造成彎曲正向應力。

截面正向應力為

σ=PA±McI\sigma=\frac{P}{A}\pm\frac{Mc}{I}

其中 AA 為截面積，II 為截面對水平中性軸的慣性矩，cc 為中性軸至最外緣距離。

解題方法

板高為 h=200 mmh=200\ \mathrm{mm}，板厚為 b=10 mmb=10\ \mathrm{mm}。

1. 軸向應力

A=bh=(10)(200)=2000 mm2A=bh=(10)(200)=2000\ \mathrm{mm^2} σP=PA=100×1032000=50 MPa\sigma_P=\frac{P}{A} =\frac{100\times10^3}{2000} =50\ \mathrm{MPa}

2. 偏心力矩

力的作用線距離截面形心軸：

e=d=30 mme=d=30\ \mathrm{mm}

因此

M=Pd=(100×103)(30)=3.0×106 N⋅mmM=Pd=(100\times10^3)(30) =3.0\times10^6\ \mathrm{N\cdot mm}

3. 截面慣性矩與彎曲應力

對水平中性軸：

I=bh312=(10)(200)312=6.667×106 mm4I=\frac{bh^3}{12} =\frac{(10)(200)^3}{12} =6.667\times10^6\ \mathrm{mm^4}

最外緣距離中性軸：

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