113 地方特考離島四等 土木工程 結構學與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

• 內鉸接 $B$ 的彎矩為零，即 $M_B=0$。
• 將剛架於內鉸 $B$ 處分離，分別對構件 $BD$ 與構件 $AB$ 使用平衡方程式。
• 靜力平衡條件：

其中 $AB$ 為四分之一圓桿件，但求反力時只需使用 $A$、$B$ 兩端的相對座標，不需使用圓弧中間形狀。

解題方法

一、分析右側構件 $BD$

構件 $BD$ 為水平桿，$B$ 為內鉸，$C$ 點承受向下 $10\ \mathrm{kN}$，且：

• $BC=2\ \mathrm{m}$
• $CD=2\ \mathrm{m}$
• $BD=4\ \mathrm{m}$

先對 $B$ 點取矩。由於 $B$ 為內鉸，鉸接處不傳遞彎矩，因此：

因此：

方向為向上。

再取垂直方向力平衡：

因此，右側構件在 $B$ 點受到向上的 $5\ \mathrm{kN}$。

水平方向尚需配合左側構件求得，設 $B$ 點對右側構件的水平力為 $B_x^{(右)}$，則：

二、分析左側構件 $AB$

由牛頓第三定律，右側構件在 $B$ 點受到向上的 $5\ \mathrm{kN}$，故左側構件在 $B$ 點受到向下的 $5\ \mathrm{kN}$。

由圖示幾何位置，取 $A$ 點為原點，則：

設左側構件在 $B$ 點受到的水平力為 $B_x^{(左)}$。對 $A$ 點取矩：

因此：

方向為向右。

核心觀念

本題考查靜定梁的「單位力法」。某點沿指定方向的位移為

其中：

• $M(x)$：原荷載造成的彎矩。
• $m(x)$：在 $A$ 點沿所求方向施加單位力所造成的彎矩。
• 梁全長分為 $AB$、$BC$ 兩段，且 $EI$ 為定值。

圖示 $A$ 點端部彎矩為逆時針方向，大小為 $PL$。

一、原荷載下的彎矩 $M(x)$

取 $A$ 為原點，$B$ 點座標為 $L$，$C$ 點座標為 $2L$。設 $B$、$C$ 點豎向反力分別為 $R_B$、$R_C$。

由整體平衡：

取 $B$ 點力矩：

因此

以左側自由體求彎矩，採下凹彎矩為正：

$AB$ 段：$0\leq x\leq L$

左側僅包含端部彎矩 $PL$，故

$BC$ 段：$L\leq x\leq 2L$

整理得

二、施加單位力並求虛擬彎矩 $m(x)$

要求 $A$ 點垂直變位，於 $A$ 點施加一個「向下」的單位力 $1$。

此時支承反力為：

$AB$ 段

$BC$ 段

左側包含 $A$ 點向下單位力及 $B$ 點向上反力 $2$：

三、套用單位力法

核心觀念

本題為矩形梁受彎設計，採用等值矩形壓力應力塊計算 nominal flexural strength $M_n$，再乘以受彎構件強度折減係數 $\phi$：

其中：

• $A_s$：拉力鋼筋總面積
• $a$：等值矩形壓力應力塊深度
• $f_y$：鋼筋降伏強度
• $d$：有效深度
• $\phi$：受彎強度折減係數

以命題當年（民國 113 年）鋼筋混凝土設計規定為準。

解題方法

1. 計算拉力鋼筋面積

題目配置 4 支 D29，每支面積為 $6.47\ \mathrm{cm^2}$：

2. 假定拉力鋼筋降伏並計算壓力塊深度

受拉鋼筋降伏時，鋼筋拉力為：

壓力混凝土合力為：

由內力平衡 $C=T$：

因此：

代入數值：

3. 計算 nominal moment strength

矩形壓力塊合力作用於距離受壓緣 $a/2$ 處，因此內力偶臂為：

鋼筋拉力為：

故：

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土梁之剪力強度，包括：

1. 混凝土所能提供之剪力強度 $V_c$。
2. 閉合矩形剪力鋼筋所提供之剪力強度 $V_s$。
3. 名義剪力強度 $V_n=V_c+V_s$。
4. 剪力強度折減係數 $\phi=0.75$。
5. T 型梁承受剪力時，剪力計算寬度採腹板寬度 $b_w$，而非翼板寬度。

以命題當年（民國 113 年）法規為準，常重混凝土且無軸力作用時：

解題方法

1. 取剪力計算尺寸

由圖及題目資料：

雖然梁為 T 型梁，但剪力主要由腹板傳遞，因此使用腹板寬度 $b_w=30$ cm。

2. 計算剪力鋼筋面積 $A_v$

D10 每支鋼筋面積為：

閉合矩形箍筋在腹板內有兩個剪力鋼筋肢，因此：

3. 計算混凝土剪力強度 $V_c$

4. 計算剪力鋼筋剪力強度 $V_s$

5. 計算名義剪力強度