107 國安局特考三等 數理組(選試英文) 機率統計 考古題詳解

核心觀念

本題屬於古典機率與基礎機率論的核心題型，主要測驗以下觀念：

1. 獨立事件（Independent Events）的定義與性質： 若事件 $A$ 與事件 $B$ 互相獨立，則兩者同時發生的機率滿足乘法定理： $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ 同時，其對立事件（餘事件）$A^c$ 與 $B^c$ 亦互相獨立，滿足： $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \cdot P(B^c)$
2. 對立事件原理（Complement Rule）： 「至少有一位病人有反應」的對立事件為「兩位病人都沒有反應」。利用全機率為 1 的特性： $P(\text{至少一人有反應}) = 1 - P(\text{兩人都沒有反應})$
3. 二項分佈觀點（Binomial Distribution）： 本題亦可視為獨立重複試驗（Bernoulli trials），令隨機變數 $X$ 代表有反應的病人人數，則 $X \sim \text{Bin}(n = 2, p = 0.75)$，欲求 $P(X \ge 1)$。

解題方法

方法一：對立事件法（推薦首選，計算最簡捷）

1. 定義事件與已知條件：

• 令 $A$ 為「第一位病人對治療有反應」的事件，$P(A) = 0.75$。
• 令 $B$ 為「第二位病人對治療有反應」的事件，$P(B) = 0.75$。
• 依題意，$A$ 與 $B$ 互為獨立事件。

2. 計算個別對立事件機率：

• 第一位病人無反應的機率：$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.75 = 0.25$
• 第二位病人無反應的機率：$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0.75 = 0.25$

3. 求兩位病人都沒有反應的機率： 因 $A$ 與 $B$ 獨立，故 $A^c$ 與 $B^c$ 亦獨立：

核心觀念

本題評量條件機率（Conditional Probability）、**全機率定理（Law of Total Probability）與貝氏定理（Bayes' Theorem）**的基本應用。

1. 分割（Partition）：若事件 $B_1, B_2, \dots, B_k$ 互斥且其聯集為整個樣本空間 $S$，則稱其為樣本空間的一組分割。
2. 全機率定理：對任意事件 $A$，其邊際機率可展開為各分割條件下的加權總和： $P(A) = \sum_{i=1}^k P(B_i)P(A \mid B_i)$
3. 貝氏定理：已知事件 $A$ 發生的條件下，逆推原因為 $B_j$ 的後驗機率（Posterior Probability）： $P(B_j \mid A) = \frac{P(B_j \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B_j)P(A \mid B_j)}{\sum_{i=1}^k P(B_i)P(A \mid B_i)}$

解題方法

1. 定義事件與已知條件

• 設 $M$ 為抽中「雄性白老鼠」的事件；$F$ 為抽中「雌性白老鼠」的事件（$M$ 與 $F$ 互斥且互補，$F = M^c$）。
• 設 $D$ 為抽中「後腳有缺陷白老鼠」的事件。

根據題意，已知先驗機率（Prior Probabilities）與條件機率（似然度，Likelihood）：

• 雄性比例：$P(M) = 55\% = 0.55$
• 雌性比例：$P(F) = 45\% = 0.45$
• 雄性中有缺陷比例：$P(D \mid M) = 3\% = 0.03$
• 雌性中有缺陷比例：$P(D \mid F) = 5\% = 0.05$

目標求解後驗機率：$P(M \mid D)$（已知被抽中白老鼠後腳有缺陷，其為雄性的機率）。

2. 計算後腳有缺陷的全機率 $P(D)$

由全機率定理可知，整體族群中後腳有缺陷的總機率為： $P(D) = P(M)P(D \mid M) + P(F)P(D \mid F)$ 代入數值：

核心觀念

本題主要測驗「卜瓦松過程（Poisson Process）」與「卜瓦松分配（Poisson Distribution）」之基本性質與機率計算：

1. 卜瓦松分配的適用情境：在連續時間（或空間）區間內，若事件獨立發生且平均發生率固定，則特定時間長度內事件發生的次數服從卜瓦松分配。
2. 參數轉換（時間尺度可加性）：設每單位時間平均發生率為 $\lambda$（人／分鐘），在長度為 $t$ 的時間區間內，發生次數隨機變數 $X \sim \text{Poisson}(\mu)$，其平均發生次數為： $\mu = \lambda \cdot t$
3. 機率質量函數（PMF）： $P(X = k) = \frac{e^{-\mu} \mu^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$
4. 互補事件（餘事件）原理：求「至少發生 $n$ 次」之機率時，因包含無窮多項，應轉換為其補集計算： $P(X \ge n) = 1 - P(X < n) = 1 - \sum_{k=0}^{n-1} P(X = k)$

解題方法

步驟一：定義隨機變數與決定參數 設 $X$ 表示「兩分鐘內進來拿藥的人數」。 依題意，平均每分鐘有 $\lambda = 2$ 人進來，故在 $t = 2$ 分鐘的時間區間內，平均人數為： $\mu = \lambda \cdot t = 2 \times 2 = 4$ 因此，$X \sim \text{Poisson}(4)$。

步驟二：利用互補事件展開所求機率 題目要求「兩分鐘內至少有 $5$ 人進來拿藥」的機率，即求 $P(X \ge 5)$： $P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) = 1 - \left[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \right]$

步驟三：逐項計算 $k = 0$ 至 $4$ 之機率 代入卜瓦松機率質量函數公式 $P(X = k) = \dfrac{e^{-4} 4^k}{k!}$：

• $P(X = 0) = \dfrac{e^{-4} \cdot 4^0}{0!} = e^{-4}$
• $P(X = 1) = \dfrac{e^{-4} \cdot 4^1}{1!} = 4e^{-4}$
• $P(X = 2) = \dfrac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!} = \dfrac{16}{2} e^{-4} = 8e^{-4}$

核心觀念

本題為國家考試「機率統計」類科之經典題型，評量考生對連續型隨機變數基本運算、極端順序統計量（Extreme Order Statistics）及期望值積分技巧的掌握度：

1. 常態分配之標準化（Standardization）：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則經由線性變換 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$，利用標準常態分配累積分配函數 $\Phi(z) = P(Z \le z)$ 及其對稱性質 $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ 表示機率。
2. 極大順序統計量（Maximum Order Statistic）之分配推導：$n$ 個互相獨立的隨機變數，其極大值事件 $\{X_{(n)} \le x\}$ 等價於交集事件 $\{X_1 \le x, X_2 \le x, \ldots, X_n \le x\}$。求順序統計量之機率密度函數（pdf）標準程序為：先求累積分配函數（CDF），再微分求 pdf。
3. 非負隨機變數之期望值（Tail-Probability Expectation Formula）：對於非負連續型隨機變數 $Y \ge 0$，期望值可利用存活函數（Survival Function）積分求解： $E[Y] = \int_0^\infty [1 - F_Y(y)] \, dy$ 亦可利用幾何級數求和或指數分配之間隔無記憶性（Spacings Property）快速求得。

解題方法

(一) 某人於 35 歲前發病的機率

設發病年齡 $X \sim N(\mu = 50, \sigma^2 = 10^2)$，其標準差 $\sigma = 10$。 將 $X$ 進行標準化變換，令 $Z = \frac{X - 50}{10} \sim N(0, 1)$。

某人於 35 歲前發病之機率為： $P(X < 35) = P\left(\frac{X - 50}{10} < \frac{35 - 50}{10}\right) = P(Z < -1.5)$

因標準常態分配為連續型分配，點機率為 0，即 $P(Z < -1.5) = P(Z \le -1.5)$。利用標準常態分配的累積分配函數 $\Phi(x)$ 表示： $P(X < 35) = \Phi(-1.5)$

亦可利用標準常態分配關於原點對稱之性質 $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$，表示為： $P(X < 35) = 1 - \Phi(1.5)$

(二) 獨立指數分配之極大值 $X_{(n)}$

已知 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 獨立同分配（i.i.d.），其共同之機率密度函數（pdf）為： $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0$

其對應之累積分配函數（CDF）為： $F(x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t} \, dt = \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x > 0$ （當 $x \le 0$ 時，$F(x) = 0$）

1. 求 $X_{(n)}$ 的機率密度函數

設 $X_{(n)} = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$。 首先求 $X_{(n)}$ 的累積分配函數 $F_{X_{(n)}}(x)$。當 $x > 0$ 時： $F_{X_{(n)}}(x) = P(X_{(n)} \le x) = P(\max\{X_1, \ldots, X_n\} \le x)$

由於極大值小於或等於 $x$ 等價於「每一個 $X_i$ 皆小於或等於 $x$」，且 $X_1, \ldots, X_n$ 互相獨立： $F_{X_{(n)}}(x) = P(X_1 \le x, X_2 \le x, \ldots, X_n \le x) = \prod_{i=1}^n P(X_i \le x) = [F(x)]^n = (1 - e^{-\lambda x})^n$

對 $F_{X_{(n)}}(x)$ 關於 $x$ 微分，即可得 $X_{(n)}$ 之機率密度函數 $f_{X_{(n)}}(x)$： $f_{X_{(n)}}(x) = \frac{d}{dx} F_{X_{(n)}}(x) = \frac{d}{dx} \left[ (1 - e^{-\lambda x})^n \right]$

利用微積分連鎖律（Chain Rule）： $f_{X_{(n)}}(x) = n(1 - e^{-\lambda x})^{n-1} \cdot \frac{d}{dx}(1 - e^{-\lambda x}) = n(1 - e^{-\lambda x})^{n-1} \cdot (\lambda e^{-\lambda x})$

整理得： $f_{X_{(n)}}(x) = n\lambda e^{-\lambda x}(1 - e^{-\lambda x})^{n-1}, \quad x > 0$ （當 $x \le 0$ 時，$f_{X_{(n)}}(x) = 0$）

2. 求 $X_{(n)}$ 之期望值

方法一：存活函數積分法（推薦法）

因 $X_{(n)} \ge 0$ 為非負隨機變數，其期望值可由存活函數積分求得：

核心觀念

本題考查單一常態母體變異數的雙尾假說檢定（Hypothesis Testing for a Single Normal Population Variance）。

1. 抽樣分配理論： 設隨機樣本 $X_1, X_2, \dots, X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$，樣本變異數定義為 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。 則統計量： $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$ 服從自由度為 $n-1$ 的卡方分配（Chi-Square Distribution）。

2. 雙尾檢定架構： 欲檢定母體變異數是否等於特定數值 $\sigma_0^2$，其假說形式為： $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2 \quad \text{vs.} \quad H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$ 在顯著水準 $\alpha$ 下，將拒絕機率各分 $\frac{\alpha}{2}$ 至分配的左右兩側尾端。

解題方法

步驟一：建立統計假說

陳老師宣稱變異數為 $20\ \text{(公分)}^2$，檢定此宣稱是否成立，應設立雙尾檢定：

• 虛無假說 $H_0: \sigma^2 = 20$（陳老師的宣稱屬實）
• 對立假說 $H_1: \sigma^2 \neq 20$（陳老師的宣稱不屬實）

步驟二：確定檢定統計量及其分配

在 $H_0$ 為真的條件下，檢定統計量為： $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$ 本題樣本數 $n = 30$，故自由度為： $df = n - 1 = 30 - 1 = 29$

步驟三：計算檢定統計量數值

依題意，樣本標準差 $S = 5$，則樣本變異數 $S^2 = 5^2 = 25$。 代入統計量公式： $\chi^2 = \frac{(30-1) \times 5^2}{20} = \frac{29 \times 25}{20} = \frac{29 \times 5}{4} = \frac{145}{4} = 36.25$

核心觀念

本題評量單一母體平均數之大樣本假設檢定（Large-Sample Test for Population Mean），涉及以下核心觀念與統計原理：

1. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）與大樣本性質： 當母體分配未知且母體標準差 $\sigma$ 未知時，若樣本數夠大（一般標準為 $n \ge 30$，本題 $n = 64$），根據中央極限定理與 Slutsky 定理，可用樣本標準差 $s$ 取代 $\sigma$。樣本平均數 $\bar{X}$ 的標準化統計量漸近服從標準常態分配： $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$

2. 單尾檢定之假設設定原則： 醫院宣稱平均存活時間「不會小於 $520$ 小時」（即 $\mu \ge 520$）。檢定的目的在於檢驗是否有足夠統計證據質疑或推翻此宣稱，因此對立假設（研究假設）設定為懷疑的方向（即 $\mu < 520$），形成左尾檢定（Left-tailed Test）。

解題方法

本題依循標準假設檢定五步驟進行完整推導：

Step 1：設立假設（Hypotheses）

設 $\mu$ 為該醫院所保存卵子細胞的母體平均存活時間（小時）。 醫院宣稱 $\mu \ge 520$ 小時，欲檢定該宣稱是否準確，設定左尾檢定如下： $H_0: \mu \ge 520 \quad (\text{或寫為 } \mu = 520) \quad \text{vs.} \quad H_1: \mu < 520$

Step 2：決定檢定統計量（Test Statistic）

由於樣本數 $n = 64 \ge 30$，符合大樣本條件，且母體標準差未知，以樣本標準差 $s = 15$ 代替。在虛無假設 $H_0$（取邊界值 $\mu_0 = 520$）成立下，檢定統計量為： $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

Step 3：計算檢定統計量之觀測值（Calculated Value）

將題目給定之樣本數據帶入：

• 樣本數 $n = 64 \implies \sqrt{n} = \sqrt{64} = 8$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 510$
• 樣本標準差 $s = 15$
• 標準誤 $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{15}{8} = 1.875$

計算得 $Z$ 統計量觀測值： $Z^* = \frac{510 - 520}{\frac{15}{\sqrt{64}}} = \frac{-10}{\frac{15}{8}} = \frac{-10 \times 8}{15} = -\frac{80}{15} = -\frac{16}{3} \approx -5.333$