107 鐵路特考佐級 機檢工程 機械原理大意 考古題詳解

核心觀念

本題考查機械功能機件的分類。機械中的功能機件可依用途分為連接、傳動、控制與輸送等類型。制動器（煞車器）用來減速或停止運動中的機件，並控制其運動狀態，因此屬於控制機件。

解題方法

先看制動器的主要功能：它藉由摩擦或其他制動作用，限制機件的運動、降低轉速或使機件停止。這是在控制機械的運動狀態，並非把動力傳到另一機件，也不是用來連接或輸送物料，所以選控制機件。

選項分析

• (A) 連接機件：錯誤。 連接機件用於結合兩個以上的機件，例如螺栓、螺帽、鍵與聯軸器。制動器的主要用途不是連接機件。
• **(B) 傳動機件：錯誤。

核心觀念

螺栓與螺帽旋合時，兩者的相對運動是沿螺旋線前進的運動。在螺紋配合正常、螺栓與螺帽不分離的情況下，轉動與軸向移動彼此受螺距限制，因此相對運動只有 一個自由度。

解題方法

判斷各選項時，分別檢視運動對的分類、是否具自鎖性，以及自由度數目：

• 螺栓與螺帽的螺紋面相接觸，屬於面接觸的低對。
• 螺紋配合將旋轉與軸向移動耦合，屬於螺旋對。
• 一般螺紋可利用螺旋角小於摩擦角的條件形成自鎖。
• 因旋轉與軸向移動受螺距約束，只需一個獨立運動變數描述其相對運動；故「具二自由度」錯誤。

選項分析

(A) 係一低對：正確。 螺栓與螺帽透過螺紋面接觸並傳遞力，屬於面接觸的低對。

核心觀念

本題考差動螺旋的軸向位移。差動螺旋由兩個導程不同的螺旋配合組成；兩螺旋的相對旋轉方向相反時，每轉一圈的淨軸向位移為兩導程的差：

其中 $L_1、L_2$ 分別為兩螺旋每旋轉一圈的軸向進給量。

解題方法

代入題目給定的導程 $8\ \mathrm{mm}$ 與 $10\ \mathrm{mm}$：

因此，每旋轉一圈的軸向位移量為 $2\ \mathrm{mm}$。

選項分析

核心觀念

本題主要測驗「螺旋起重機（千斤頂）之機械利益與功的原理」，包含以下三個關鍵觀念：

1. 多線螺紋之導程（Lead, $L$）與螺距（Pitch, $p$）關係： $L = n \times p$ 其中 $n$ 為螺線數（雙線螺紋則 $n = 2$）。螺桿每旋轉一整圈，重物上升或前進的距離為一個導程 $L$，而非單純的螺距 $p$。

2. 功的原理與機械效率（$\eta$）： 當手柄旋轉一圈時：

• 輸入功（手柄施力所作之功）：$W_{\text{in}} = F \times 2\pi R$（$F$ 為施力，$R$ 為手柄長，即旋轉半徑）
• 輸出功（重物被舉起所作之功）：$W_{\text{out}} = W \times L$（$W$ 為舉起之重量，$L$ 為導程）
• 題目給定摩擦損失率為 $50\%$，故實質機械效率為： $\eta = 100\% - 50\% = 50\% = 0.5$

3. 螺旋起重機平衡方程式： $W_{\text{out}} = W_{\text{in}} \times \eta \implies W \times L = F \times 2\pi R \times \eta$ 可得舉起之最大重量： $W = \frac{F \times 2\pi R \times \eta}{L}$

解題方法

步驟一：整理已知數值

• 螺線數：$n = 2$（雙線螺紋）
• 螺距：$p = 12.5\ \mathrm{mm}$
• 導程：$L = n \times p = 2 \times 12.5 = 25\ \mathrm{mm}$
• 手柄長（旋轉半徑）：$R = 250\ \mathrm{mm}$
• 手柄施力：$F = 200\ \mathrm{N}$
• 機械效率：$\eta = 1 - 0.5 = 0.5$

步驟二：代入螺旋起重機公式進行計算 $W = \frac{F \times 2\pi R \times \eta}{L}$

將已知數值代入： $W = \frac{200 \times 2\pi \times 250 \times 0.5}{25}$

核心觀念

本題考螺紋標記的判讀，以及「螺距」與「導程」的差別。螺距是相鄰兩牙的軸向距離；導程則是螺桿旋轉一周後，螺帽沿軸向前進的距離。

多線螺紋的導程為：

$\text{導程}=\text{螺距}\times\text{線數}$

解題方法

標記 $L-2N\ M30\times3.5-1$ 中，$M30\times3.5$ 表示公制螺紋，公稱大徑為 $30\ \mathrm{mm}$，螺距為 $3.5\ \mathrm{mm}$；$2N$ 表示雙線螺紋。因為線數為 2，導程為：

$3.5\times2=7\ \mathrm{mm}$

因此，導程不是 $3.5\ \mathrm{mm}$，錯誤選項為 (C)。

選項分析

核心觀念

本題考查 CNS 連接用公制螺紋的牙形，以及螺紋系列的分類。連接用螺紋採用公制三角螺紋牙形，牙形角為 $60^\circ$；其牙頂截平，因此牙峰為平面。

解題方法

先辨認題目所指的標準：CNS 連接用螺紋屬於公制螺紋，牙頂（峰）截平、牙底（根）則依標準牙形形成圓弧。再核對各選項描述的牙形與螺紋系列分類，即可判斷正誤。

選項分析

• (A) 為統一標準螺紋：錯誤。 CNS 連接用螺紋採公制螺紋標準；「統一標準螺紋」（Unified thread）是另一種以英制為基礎的螺紋系統，兩者不可混為一談。

核心觀念

平鍵用來傳遞軸與輪轂之間的扭矩。軸傳遞扭矩 $T$ 時，作用在平鍵上的切向力 $F$ 作用半徑為軸半徑 $D/2$，因此：

平鍵承受剪切時，剪切面積為鍵的寬度乘以長度，即 $WL$，故剪應力為：

解題方法

先由扭矩與切向力的關係求出鍵承受的力，再以剪力除以平鍵的剪切面積：

因此符合選項 (A)。

選項分析

核心觀念

本題旨在測驗壓縮／拉伸螺旋彈簧之幾何尺寸定義與「彈簧指數」的計算能力。

1. 螺旋彈簧之尺寸關係：

• 大徑（外徑，$D_o$）：彈簧外圍之最大直徑。
• 小徑（內徑，$D_i$）：彈簧內部之最小直徑。
• 線徑（鋼線直徑，$d$）：製造彈簧之鋼線直徑。其與內外徑關係為： $D_o = D_i + 2d \implies d = \frac{D_o - D_i}{2}$
• 平均直徑（中徑，$D$）：鋼線中心線所圍成之直徑： $D = \frac{D_o + D_i}{2} = D_o - d = D_i + d$

2. 彈簧指數（Spring Index, $C$）定義： 彈簧之平均直徑 $D$ 與線徑 $d$ 之比值，用以表示彈簧捲繞之緊密程度與應力集中效應（華爾修正係數 $K$ 之主要變數）： $C = \frac{D}{d}$

3. 無效條件識別： 題目所給之「長度 $100\ \mathrm{mm}$」為自由長度（Free length），與彈簧斷面之形狀比例及彈簧指數無關，屬於干擾條件。

解題方法

步驟一：求彈簧鋼線之線徑 $d$ 由外徑與內徑之差值除以 $2$ 即可求得： $d = \frac{D_o - D_i}{2} = \frac{30 - 22}{2} = 4\ \mathrm{mm}$

步驟二：求彈簧之平均直徑（中徑）$D$ $D = \frac{D_o + D_i}{2} = \frac{30 + 22}{2} = 26\ \mathrm{mm}$

步驟三：計算彈簧指數 $C$ 依定義將中徑除以線徑： $C = \frac{D}{d} = \frac{26}{4} = 6.5$

選項分析

核心觀念

本題考拉伸彈簧的胡克定律，以及彈簧的自由長度。彈簧在彈性範圍內，負荷 $P$ 與伸長量 $x$ 成正比：

其中 $k$ 為彈簧常數。若彈簧長度為 $L$、自由長度為 $L_0$，則伸長量為 $x=L-L_0$，所以：

解題方法

已知兩組負荷與長度，可列出：

兩式相減，消去自由長度 $L_0$：

將 $k=75\ \mathrm{N/mm}$ 代回第一式：

因此彈簧自由長度為 $110\ \mathrm{mm}$。

選項分析

核心觀念

螺旋拉伸彈簧在彈性範圍內符合胡克定律：

其中 $F$ 為彈簧負荷、$\delta$ 為變形量、$k$ 為彈簧常數。兩支相同彈簧各自的彈簧常數均為 $k$。

• 並聯：兩彈簧變形量相同，總負荷由兩支彈簧分擔。
• 串聯：兩彈簧負荷相同，總變形量為兩支彈簧變形量之和。

解題方法

設並聯與串聯時的總變形量相同，均為 $\Delta$。

並聯時，每支彈簧的變形量都是 $\Delta$，因此總負荷為

串聯時，兩支彈簧承受相同負荷，且各自變形量相同。總變形量為 $\Delta$，故每支變形 $\Delta/2$，負荷為

因此兩者總負荷比為

核心觀念

本題評量彈簧串聯與並聯的等效彈簧常數（剛性係數）​之綜合作圖與計算能力。

1. 彈簧串聯： 各彈簧承受相同外力（$F_1 = F_2 = F$），系統總伸長量為各彈簧伸長量之和（$\delta = \delta_1 + \delta_2$）。因此，等效彈簧常數 $K_s$ 的倒數等於各彈簧常數倒數之和： $\frac{1}{K_s} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \implies K_s = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ 若兩彈簧常數相同（$K_1 = K_2 = K$），則串聯後的等效彈簧常數減半： $K_s = \frac{K}{2}$

2. 彈簧並聯： 各彈簧產生相同伸長量（$\delta_1 = \delta_2 = \delta$），總承受外力為各彈簧受力之和（$F = F_1 + F_2$）。因此，等效彈簧常數 $K_p$ 等於各彈簧常數直接相加： $K_p = K_1 + K_2$

3. 記憶對比（電學類比）： 彈簧常數的串、並聯運算規則與電容器（Capacitor）​相同，剛好與電阻器（Resistor）​相反（串聯倒數相加、並聯直接相加）。

解題方法

題目已知三個彈簧常數皆為 $K = 1$，結構為「兩個彈簧先串聯，再與第三個彈簧並聯」。

• 步驟一：計算兩串聯彈簧的等效常數 $K_s$ 將兩只 $K = 1$ 的彈簧串聯：

核心觀念

本題考斜角滾珠軸承（角接觸滾珠軸承）的接觸角與軸向推力承載能力。接觸角 $\alpha$ 是滾珠與內、外環接觸處的公法線，和軸承徑向平面之間的夾角。接觸角愈大，接觸力在軸向的分量愈大，因此軸承承受軸向推力的能力也愈大。

解題方法

依本題採用的 A、B、C 符號分類，接觸角由大至小為：

因此推力荷重承受能力依序為 $B>A>C$，選項為 (C)。

判斷時應先比較各符號所代表的接觸角大小，再依「接觸角愈大，軸向承載能力愈大」排序。此題的排序依據是角接觸軸承的接觸角分類。

選項分析

核心觀念

本題測驗滾動軸承（Rolling Contact Bearing）依其內部結構與接觸角（Contact Angle）​所決定的負荷承載特性。

軸承依承受負荷的方向，主要分為三大類：

1. 徑向軸承（Radial Bearing）：主要承受垂直於軸心線的徑向負荷（$F_r$）。
2. 止推軸承（Thrust Bearing）：主要承受平行於軸心線的軸向負荷（$F_a$）。
3. 複合負荷軸承（Combined Load Bearing）：可同時承受徑向負荷與軸向推力。其中，藉由滾動體與滾道間預設的接觸角 $\alpha$（通常介於 $15^\circ \sim 40^\circ$），能有效分解並承載同時作用的徑向力與單方向軸向力。

解題方法

解題切入點在於抓住題幹的兩個核心限制條件：「同時承受徑向負荷」 與 「單一軸向推力」，並選出​「最適合」​的型式。

1. 排除純軸向軸承：凡名稱冠有「止推」者，接觸角通常為 $90^\circ$，主要設計為承受純軸向推力，無法承受徑向負荷。
2. 比較複合受力軸承：

• 「單列深槽滾珠軸承」主要以承受徑向負荷為主，雖能順帶承受微量雙向軸向力，但軸向承載能力有限。
• 「斜角滾珠軸承」滾道兩側擋邊高度不同，具有專門設計的傾斜接觸線，專為徑向負荷與較大的單方向軸向推力並存之場合設計，故為最佳首選。

選項分析

• (A) 斜角滾珠軸承（正確） 鋼珠與內外環滾道之間具有特定接觸角 $\alpha$（常見規格如 $15^\circ$、$25^\circ$、$30^\circ$ 或 $40^\circ$）。因為此傾斜接觸線的存在，軸承能將作用力合成為沿接觸線方向的抗力，特別適合承受同時作用的徑向負荷與單方向的大軸向推力。

核心觀念

本題考軸承選用與滾動軸承的公稱號碼。滾動軸承的號碼通常可讀出軸承型式、尺寸系列及內徑代號；內徑代號為 $04$ 以上時，通常以末兩碼乘以 $5\ \mathrm{mm}$ 表示軸承內徑。

解題方法

先用軸徑核對軸承內徑，再依滑動軸承與滾動軸承的承載特性，以及軸承襯套的材料選用原則，逐項判斷。

對 $6208$ 而言，末兩碼為 $08$，因此內徑為：

軸承內徑與軸徑相符，故可選用於軸徑 $40\ \mathrm{mm}$ 的轉軸。

選項分析

核心觀念

筒形聯結器以套筒套接兩軸，並以機件連結套筒與轉軸，使兩軸能一同傳遞扭矩。題目要比較的是各種連結機件承受傳動負荷的能力。

鍵裝在軸與套筒（輪轂）相對應的鍵槽中，能以較大的接觸面傳遞扭矩，適用於傳達較大動力。直銷、彈簧銷及固定螺釘的連結能力或用途較受限制。

解題方法

先辨認題目問的是「傳達較大動力」所需的連結方式，再比較各機件的受力方式：鍵透過鍵與鍵槽的接觸承受剪力及側面壓力，能有效傳遞軸與套筒間的扭矩；銷類及固定螺釘則多用於定位、輕負荷連結或防止相對移動，通常不作為較大動力傳遞的優先選擇。

選項分析

核心觀念

歐丹聯結器（Oldham’s coupling）用來連接兩根相互平行、但中心線彼此錯開的軸，傳遞旋轉運動與扭矩。其結構通常由兩個帶槽的半聯結器及中間的滑塊組成；滑塊在兩組互相垂直的槽中滑動，補償兩軸的平行偏置。

理想情況下，主動軸與從動軸的角速度相同，適合需要等速傳動的場合。

解題方法

判斷聯結器的適用情形，先分辨兩軸的相對位置：

• 平行但中心線錯開：歐丹聯結器。
• 軸線相交或不平行：需依軸線角度與用途選用其他型式的聯結器。
• 角速度是否改變：歐丹聯結器在理想運動下為等角速度傳動。

因此，本題只要辨認出「平行軸的中心線不重合」，即可選出符合歐丹聯結器用途的敘述。

選項分析

核心觀念

本題為鏈輪傳動與輪軸線速度計算之經典整合題，涉及以下核心觀念與公式：

1. 鏈條傳動轉速比：鏈條傳動中，兩鏈輪之齒數與轉速成反比（無滑動現象），即： $N_1 \times T_1 = N_2 \times T_2 \implies \frac{N_2}{N_1} = \frac{T_1}{T_2}$ 其中 $N_1$、$T_1$ 為前齒輪（大齒盤）之轉速與齒數；$N_2$、$T_2$ 為後齒輪（飛輪）之轉速與齒數。
2. 同軸旋轉關係：腳踏車之後輪胎與後齒輪同軸固接，故後輪胎之旋轉轉速等於後齒輪轉速（$N_{\text{輪}} = N_2$）。
3. 線速度（車速）與轉速關係：車輛前進速度即為車輪胎外徑之滾動線速度： $V = \pi \times D \times N$ 其中 $D$ 為輪胎外徑，$N$ 為每單位時間之轉速。
4. 單位換算：題目要求時速單位為 $\mathrm{km/hr}$，需注意直徑由 $\mathrm{cm}$ 換算為 $\mathrm{km}$、時間由分鐘（$\mathrm{min}$）換算為小時（$\mathrm{hr}$）。

解題方法

步驟一：求後齒輪轉速 $N_2$ 前齒輪由腳踏板帶動，故前齒輪轉速 $N_1 = 60\ \mathrm{rpm}$。 根據鏈輪傳動公式： $N_2 = N_1 \times \frac{T_1}{T_2} = 60 \times \frac{50}{25} = 120\ \mathrm{rpm}$

步驟二：求後輪胎轉速 $N_{\text{輪}}$ 後輪胎與後齒輪固定在同一輪軸上運轉，因此後輪胎轉速： $N_{\text{輪}} = N_2 = 120\ \mathrm{rpm}$

步驟三：計算腳踏車之行進時速 $V$ 已知後輪胎直徑 $D = 100\ \mathrm{cm} = 1\ \mathrm{m} = 10^{-3}\ \mathrm{km}$。 後輪胎每分鐘滾動距離（分速）： $V_{\mathrm{min}} = \pi \times D \times N_{\text{輪}} = \pi \times 1\ \mathrm{m} \times 120\ \mathrm{rpm} = 120\pi\ \mathrm{m/min}$

將分速換算為時速（$\mathrm{km/hr}$）：

核心觀念

相等塔輪的各級輪徑依等比級數排列。主、從動輪以皮帶傳動時，忽略皮帶滑動，兩輪的轉速與輪徑成反比：

其中 $n$ 為轉速，$D$ 為輪徑。五級相等塔輪的五組輪徑比，會形成五個等比的轉速比。

解題方法

最低從動輪轉速 $30\ \mathrm{rpm}$ 對應最大從動輪、最小主動輪。主動輪固定為 $120\ \mathrm{rpm}$，因此最低轉速與主動輪轉速之比為：

相等塔輪的相鄰輪徑比固定，所以五組轉速比構成等比級數。最低與最高轉速比相隔四級；設相鄰級轉速比的公比為 $r$，則：

五個轉速比的中間一級，距最低一級兩級，因此中間轉速比為：

故中間轉速為：

但這與官方答案 C 所列的 $120\ \mathrm{rpm}$ 不符。依題目「一對五級相等塔輪」及傳動關係推導，中間轉速應為 $60\ \mathrm{rpm}$；官方答案 C 與題目條件有爭議。

選項分析

核心觀念

皮帶傳動所傳遞的有效圓周力，等於緊邊張力與鬆邊張力之差：

功率為有效圓周力乘以皮帶速度：

其中 $T_1$ 為緊邊張力、$T_2$ 為鬆邊張力；皮帶速度由主動輪直徑與轉速求得。

解題方法

主動輪直徑為 $30\ \mathrm{cm}=0.30\ \mathrm{m}$，轉速為 $500\ \mathrm{rpm}$。主動輪圓周長為 $\pi D$，每分鐘轉 $500$ 圈，因此皮帶速度為

有效圓周力為

故傳達功率為

核心觀念

本題考平皮帶傳動時，開口帶與交叉帶的接觸角差異。接觸角是皮帶與皮帶輪相接觸的圓周角；圓心角大於 $180^\circ$，表示皮帶包覆該輪超過半周。

解題方法

設大輪半徑為 $R$、小輪半徑為 $r$，且 $R>r$。

• 開口帶：兩輪的皮帶接觸角分別為 $180^\circ+2\alpha$ 與 $180^\circ-2\alpha$，其中 $\alpha>0$。大輪接觸角大於 $180^\circ$，小輪接觸角小於 $180^\circ$。
• 交叉帶：皮帶交叉後，兩輪的接觸角都為 $180^\circ+2\alpha$，因此兩輪接觸角都大於 $180^\circ$。

核心觀念

本題考查皮帶傳動之功率傳遞原理及水平（或傾斜）皮帶傳動之配置原則。

1. 皮帶傳遞功率公式： $P = (T_1 - T_2) \cdot v$ 其中 $P$ 為傳達功率，$T_1$ 為緊邊拉力（Tight tension），$T_2$ 為鬆邊拉力（Slack tension），$v$ 為皮帶線速度（$v = \frac{\pi D N}{60}$，$D$ 為帶輪直徑，$N$ 為帶輪轉速）。
2. 尤拉皮帶摩擦定律（打滑極限）： $\frac{T_1}{T_2} = e^{\mu \theta}$ 其中 $\mu$ 為皮帶與輪面間之摩擦係數，$\theta$ 為皮帶在小輪上的接觸角（包角，以弧度 $\text{rad}$ 表示）。有效傳動拉力（有效拉力差）為： $(T_1 - T_2) = T_1 \left(1 - e^{-\mu \theta}\right)$
3. 皮帶容許張力與截面積： $T_1 = \sigma_{\text{all}} \cdot A$ 其中 $\sigma_{\text{all}}$ 為皮帶材質之容許拉伸應力，$A$ 為皮帶之橫截面積。
4. 皮帶鬆邊與緊邊配置： 水平或傾斜傳動時，皮帶因自重產生懸垂效應。配置為「緊邊在下、鬆邊在上」時，鬆邊自重下垂可使帶輪包角 $\theta$ 增大，從而提升摩擦極限與傳達功率。

解題方法

依據皮帶傳動的功率公式 $P = (T_1 - T_2)v$，分別檢驗影響傳動功率的四項主要參數：轉速 $N$（影響線速度 $v$）、摩擦力／摩擦係數 $\mu$（影響有效拉力比值）、截面積 $A$（影響最大緊邊張力 $T_1$），以及鬆緊邊相對位置對包角 $\theta$ 的幾何效應，逐一判定各選項之正確性並找出錯誤者。

選項分析

• (A) 正確： 皮帶線速度 $v = \frac{\pi D N}{60}$。在不發生打滑的前提下，帶輪轉速 $N$ 愈大，線速度 $v$ 愈大。

核心觀念

兩內切圓柱形摩擦輪在不打滑時，接觸點的切線速度相同，因此兩輪的轉速與直徑成反比：

內切時兩輪中心距等於半徑差：

解題方法

已知大輪轉速為 $10\ \mathrm{rpm}$、小輪轉速為 $50\ \mathrm{rpm}$，由不打滑條件：

代入中心距關係：

選項分析

核心觀念

本題考查圓錐形摩擦輪純滾動時的切線速度關係。純粹滾動表示接觸點沒有相對滑動，因此兩輪在接觸處的切線速度大小相等：

圓錐形摩擦輪的接觸圓半徑與圓錐的半頂角 $\alpha$ 有關。若以 $R$ 表示錐面母線長度，接觸圓半徑為 $r=R\sin\alpha$。轉速為 $N$（每分鐘迴轉數）時，接觸處的切線速度為：

解題方法

設兩輪的母線長度相同為 $R$，半頂角分別為 $\alpha_1$、$\alpha_2$，轉速分別為 $N_1$、$N_2$。純滾動時：

消去共同因子 $2\pi R$，得到：

因此，轉速與半頂角的正弦成反比：

核心觀念

摩擦輪在無打滑時，接觸點的切線速度相同。若輪間壓力為 $N$、摩擦係數為 $\mu$，可傳遞的最大摩擦力為

若接觸處切線速度為 $v$，傳遞功率為

因此，在摩擦係數與輪間壓力固定時，最大可傳遞功率會隨切線速度增加；但摩擦力上限由 $\mu N$ 決定，不會因速率提高而自行增加。

解題方法

先分辨「摩擦力」與「功率」：摩擦力取決於摩擦係數和輪間壓力；功率則是摩擦力與速度的乘積。題目問錯誤敘述，檢查哪個選項把速度增加直接說成摩擦力增加，即可判斷。

選項分析

核心觀念

本題考查機械原理中「圓盤與滾子（Disk and Roller）摩擦輪無段變速機構」之傳動原理與轉速比計算。

1. 無打滑條件：在純滾動無滑動的理想狀態下，兩接觸輪在接合點之切線速度（線速度）必相等，即 $V_1 = V_2$。
2. 線速度公式： $V = \pi D N = 2\pi r N$ 其中 $V$ 為切線速度、$D$ 為直徑、$r$ 為接觸點至迴轉軸心之有效半徑、$N$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$）。
3. 可變速機構關係式： 設圓盤（主動軸）之接觸半徑為 $r_1$、轉速為 $N_1$；滾子（從動軸）直徑為 $D_2$（半徑為 $R_2$）、轉速為 $N_2$。由切線速度相等可知： $2\pi r_1 N_1 = \pi D_2 N_2 = 2\pi R_2 N_2 \implies N_2 = \frac{r_1}{R_2} N_1 = \frac{2r_1}{D_2} N_1$ 滾子的轉速 $N_2$ 與接觸點距圓盤中心的距離 $r_1$ 成正比。

解題方法

由題意整理已知參數：

• 主動圓盤：外徑 $D_1 = 300\ \mathrm{mm}$，外緣最大半徑 $R_{1\max} = 150\ \mathrm{mm}$，固定轉速 $N_1 = 60\ \mathrm{rpm}$。
• 從動滾子：直徑 $D_2 = 150\ \mathrm{mm}$（半徑 $R_2 = 75\ \mathrm{mm}$），轉速為 $N_2$。

將已知條件代入轉速關係式： $N_2 = \frac{2r_1}{150} \times 60 = 0.8\, r_1\ \mathrm{(rpm)}$

針對題目討論的兩種極端位置進行計算：

1. 接觸點在圓盤中心軸時： 此時接觸點的迴轉半徑 $r_1 = 0\ \mathrm{mm}$。 $N_2 = 0.8 \times 0 = 0\ \mathrm{rpm}$ （滾子處於停止狀態）

核心觀念

本題考查齒輪依兩軸相對位置的分類。判斷時要先看兩軸是平行、相交，還是既不平行也不相交（交錯軸），再配對可用的齒輪種類：

• 平行軸：正齒輪、斜齒輪、人字齒輪。
• 相交軸：直齒傘齒輪、螺旋傘齒輪。
• 交錯軸：螺旋齒輪（螺輪）、蝸桿蝸輪、雙曲面齒輪等，依軸線配置與齒形而定。

解題方法

逐一比對選項中的軸線關係與齒輪種類。關鍵是分清楚「相交軸」和「交錯軸」：兩軸相交於一點，與兩軸不平行且不相交，是不同的配置。

選項分析

核心觀念

本題考查擺線齒輪的齒形、作用線與壓力角。擺線齒形由兩段不同的擺線曲線構成：齒頂側通常為外擺線，齒根側通常為內擺線。這兩段曲線的生成滾圓直徑不必相等。

解題方法

逐項核對擺線齒輪的幾何與嚙合特性。判斷關鍵在於：同一輪齒的外擺線與內擺線雖共同構成齒形，但其生成滾圓直徑可以不同；此外，擺線齒輪的作用線為曲線，壓力角也會隨嚙合位置改變，並非定值。

選項分析

(A) 擺線齒輪之齒形為外擺線及內擺線構成：正確。 典型擺線齒輪的齒廓由外擺線與內擺線兩部分組成，分別形成齒形不同部位的輪廓。

核心觀念

本題考查正齒輪的模數、節徑、周節、轉速比與標準中心距。

• 模數定義為 $m=d/Z$，因此節徑 $d=mZ$。
• 周節為 $p=\pi m$；同一對嚙合齒輪的模數相同，所以大、小齒輪的周節相同。
• 外接齒輪的轉速與齒數成反比：$n_1Z_1=n_2Z_2$。
• 標準齒輪中心距為兩齒輪節徑和的一半：$a=(d_1+d_2)/2$。

解題方法

已知 $m=5\ \mathrm{mm}$、小齒輪齒數 $Z_1=17$、轉速 $n_1=10\ \mathrm{rpm}$，大齒輪齒數 $Z_2=40$。

先求兩齒輪節徑：

再依齒輪基本關係計算周節、轉速及中心距，逐項核對選項。

選項分析

(A) 小齒輪的節徑是 $85\ \mathrm{mm}$：正確。

(B) 大齒輪周節是 $5\pi\ \mathrm{mm}$：正確。

核心觀念

本題測驗正齒輪（Spur Gear）幾何名詞之基本定義，核心在於掌握周節（Circular Pitch）​的定義、量測基準及其幾何意義。

1. 周節（Circular Pitch，符號常用 $P_c$ 或 $p$）： 沿齒輪節圓（Pitch circle）​之圓周上，自一齒上的某一特定點，至相鄰另一齒上對應同名點所量得的圓弧長度（例如自一齒中心至相鄰齒中心，或齒厚弧長加上齒間弧長）。其數學關係式為： $P_c = \frac{\pi D}{T}$ 式中 $D$ 為節圓直徑，$T$ 為齒數。
2. 周節與齒厚、齒間的關係： 在節圓上，一完整周節剛好包含一個輪齒之「齒厚（Tooth thickness）」加上相鄰之「齒槽寬／齒間（Tooth space）」。在無背隙的理想狀態下，齒厚等於齒間，皆為周節的一半（$t = \frac{P_c}{2}$）。

解題方法

1. 檢視題目給定的條件與特徵：

• 量測基準面：節圓。
• 起訖點：自一齒的中心到下一相鄰齒的中心（即相鄰兩齒之對應同名點）。
• 量測型態：圓弧距離。

2. 對應術語定義： 在齒輪名詞定義中，沿節圓量測之「單一齒距弧長（包含一齒厚及一齒槽）」稱為周節（亦稱圓周齒距）。因此，題幹所述之圓弧距離即為周節。

選項分析

• (A) 正確：周節（Circular Pitch）​即定義為沿著節圓圓周，自某一齒上的任一點至相鄰另一齒之對應點所量出的圓弧長度，題幹敘述完全吻合。

核心觀念

本題考漸開線正齒輪的壓力角、嚙合接觸軌跡、滾動與滑動，以及齒高的定義。

漸開線齒輪的兩齒面沿共同公法線接觸；這條公法線稱為作用線。齒輪傳動時，作用線與兩齒輪中心連線的垂線所形成的角，即為壓力角。標準漸開線齒輪嚙合時，兩齒輪的壓力角相等，才能符合正確嚙合條件。

解題方法

逐項比對齒輪學的基本定義：

1. 檢查兩個嚙合齒輪的壓力角是否相等。
2. 分辨「接觸點的軌跡」與「作用線」：接觸點沿作用線移動，作用線不是漸開線。
3. 判斷節點的運動狀態：節點是純滾動點，滑動速度為零。
4. 比較齒頂高與齒根高的量測範圍。

選項分析

(A) 正確。 兩嚙合齒輪的壓力角應相等。對漸開線齒輪而言，正確嚙合要求兩齒輪的基節相等；在模數相同的條件下，這也要求壓力角相同。

核心觀念

本題考蝸桿與蝸輪的傳動比。蝸桿的「線數」是每轉一圈，螺紋推動蝸輪前進的齒數；蝸輪的齒數則代表蝸輪每轉一圈，所需嚙合的蝸桿線數總量。

因此，蝸桿轉速與蝸輪轉速的關係為：

其中 $n$ 為轉速、$Z$ 為蝸輪齒數、$L$ 為蝸桿線數。

解題方法

已知蝸桿為 $2$ 線，蝸輪有 $32$ 齒，蝸輪轉速為 $100\ \mathrm{rpm}$。代入傳動比公式：

蝸桿每轉一圈使蝸輪前進 $2$ 齒，因此蝸輪轉完一圈所需的蝸桿轉數為 $32\div 2=16$ 圈；蝸桿轉速是蝸輪的 $16$ 倍。

選項分析

核心觀念

本題考齒輪種類、適用軸線配置，以及蝸桿蝸輪與螺旋齒輪的傳動特性。

蝸桿蝸輪常用於兩軸交錯且互相垂直的傳動，具有較大的減速比，但齒面滑動摩擦大，因此傳動效率通常不高。蝸桿多作為主動件；若導程角小，傳動也可能具有自鎖性。

解題方法

逐一核對各種齒輪的典型特性：

• 蝸桿蝸輪：效率通常較低，且一般由蝸桿輸入。
• 錐齒輪（Bevel gear）：用於相交軸傳動，兩軸可呈不同角度，並非只能垂直。
• 螺旋齒輪：齒面接觸會產生軸向推力；在其他條件相同時，螺旋角越大，軸向分力越大。

選項分析

(A) 錯誤。 蝸桿蝸輪傳動通常以蝸桿為主動件、蝸輪為從動件。題目將主動件說成蝸輪，與常見配置相反。

核心觀念

1. 輪系值（Train Value, $e$）的基本定義： 在機械原理中，輪系值定義為「末輪轉速」與「首輪轉速」之比值： $e = \frac{\text{末輪轉速}}{\text{首輪轉速}}$
2. 周轉輪系（Epicyclic Gear Train）的運動特性： 周轉輪系至少有一個齒輪的軸心繞著另一齒輪的固定軸心旋轉（即繞旋臂公轉）。由於各齒輪同時具備「自轉」與「隨旋臂公轉」之複合運動，齒輪間嚙合時的齒數傳動關係無法直接用對地的「絕對轉速」計算，必須以「旋臂」為參考基準。
3. 相對運動法（倒轉法）： 若將整個輪系給予一個與旋臂轉速大小相等、方向相反的反向旋轉（即視旋臂為固定不動），周轉輪系即化為一般的固定軸輪系。此時齒輪之間的轉速即為各齒輪「相對於旋臂」的轉速。因此，周轉輪系之輪系值公式為： $e = \frac{N_L - N_A}{N_F - N_A} = \frac{N_{L/A}}{N_{F/A}}$ 其中：

• $N_L$：末輪（Last gear）之絕對轉速
• $N_F$：首輪（First gear）之絕對轉速
• $N_A$：旋臂（Arm）之絕對轉速
• $N_{L/A}$：末輪對旋臂的相對轉速
• $N_{F/A}$：首輪對旋臂的相對轉速

解題方法

1. 確立分子與分母關係（末輪比首輪）： 依據國家考試及標準機械原理教材慣例，齒輪傳動的「輪系值 $e$」代表從首輪輸入到末輪輸出的轉速增益係數，其量值定義為： $e = \frac{\text{輸出端（末輪）轉速}}{\text{輸入端（首輪）轉速}}$ 因此分子必為「末輪」，分母必為「首輪」（即末輪與首輪之比）。
2. 分析周轉輪系的參考坐標基準： 在周轉輪系中，若旋臂有轉速（$N_A \neq 0$），各齒輪由齒數比決定的轉動幾何約束僅存在於「相對於旋臂」的轉動中，而非對地的「絕對轉速」。 因此，周轉輪系的輪系值本質上是「固定旋臂時，末輪與首輪的轉速比」，也就是「末輪對旋臂的相對轉速」與「首輪對旋臂的相對轉速」之比值：

核心觀念

本題考查機械原理中的周轉齒輪系（Epicyclic Gear Train / Planetary Gear Train）​之運動分析。核心觀念與公式包括：

1. 周轉輪系相對運動公式： 當旋臂（Arm，記為 $m$）帶動行星齒輪繞太陽齒輪轉動時，各齒輪相對於旋臂的相對轉速比等於旋臂固定不動時之一般齒輪系傳動比： $\frac{N_L - N_m}{N_F - N_m} = e$ 其中：

• $N_m$：旋臂之轉速與方向。
• $N_F$：首輪（First gear，本題為齒輪 B）之轉速。
• $N_L$：末輪（Last gear，本題為齒輪 C）之轉速。
• $e$：旋臂固定時之齒輪傳動比。兩外接齒輪直接嚙合時，轉向相反，$e = -\frac{T_F}{T_L}$（$T$ 為齒數）。

2. 旋轉方向正負號定義： 解題前須設定統一的方向正負號慣例。一般習慣令「逆時鐘方向（CCW）為正（$+$）」、「順時鐘方向（CW）為負（$-$）」。

解題方法

方法一：相對速度公式法（推薦）

1. 設定正負號與已知條件：

• 規定逆時鐘為正（$+$），順時鐘為負（$-$）。
• 旋臂轉速：$N_m = +10\ \mathrm{rpm}$（逆時鐘）。
• 齒輪 B 固定不動：$N_B = 0\ \mathrm{rpm}$，齒數 $T_B = 50$。
• 齒輪 C 齒數：$T_C = 25$。
• 齒輪 B 與齒輪 C 為外嚙合，當旋臂固定時兩輪轉向相反，傳動比 $e$ 為負值： $e = -\frac{T_B}{T_C} = -\frac{50}{25} = -2$

2. 代入公式求解： $\frac{N_C - N_m}{N_B - N_m} = -2$ 代入已知數值： $\frac{N_C - (+10)}{0 - (+10)} = -2$ $N_C - 10 = (-2) \times (-10)$ $N_C - 10 = +20$ $N_C = 20 + 10 = +30\ \mathrm{rpm}$

3. 物理意義： 算出的數值為 $+30\ \mathrm{rpm}$，正號表示與所設定的正向相同，即為逆時鐘方向 $30\ \mathrm{rpm}$。

方法二：表格疊加法（反轉法）

將周轉運動分解為「隨旋臂公轉」與「相對旋臂自轉」兩部分：

核心觀念

本題考平板凸輪與從動件的接觸幾何、壓力角對受力的影響，以及偏心凸輪的行程。滾子從動件的運動由凸輪輪廓推動；凸輪輪廓與滾子中心軌跡不同，兩者不可混為一談。

解題方法

逐項核對凸輪術語與運動特性。判斷接觸輪廓名稱時，先辨認「節曲線」所描述的是滾子中心的軌跡，而非凸輪與滾子實際接觸的外緣曲線。

選項分析

• (A) 正確。 壓力角是凸輪施力方向與從動件運動方向的夾角。壓力角愈大，作用力中垂直於運動方向的分量愈大，會增加導路側向力及摩擦阻力，並使傳動效率降低。

核心觀念

簡諧運動的位移可表示為正弦或餘弦函數。以角位移頻率 $\omega$ 表示，其位移、速度、加速度與急跳度（Jerk）分別為：

其中，$A$ 為振幅，$\phi$ 為初相位。急跳度是加速度對時間的變化率，也就是位移的三階時間導數。

解題方法

依序檢查各敘述是否符合上述簡諧運動關係：