107 鐵路特考佐級 機械工程 機械原理大意 考古題詳解

核心觀念

本題考查機械功能機件的分類。機械中的功能機件可依用途分為連接、傳動、控制與輸送等類型。制動器（煞車器）用來減速或停止運動中的機件，並控制其運動狀態，因此屬於控制機件。

解題方法

先看制動器的主要功能：它藉由摩擦或其他制動作用，限制機件的運動、降低轉速或使機件停止。這是在控制機械的運動狀態，並非把動力傳到另一機件，也不是用來連接或輸送物料，所以選控制機件。

選項分析

• (A) 連接機件：錯誤。 連接機件用於結合兩個以上的機件，例如螺栓、螺帽、鍵與聯軸器。制動器的主要用途不是連接機件。
• **(B) 傳動機件：錯誤。

核心觀念

螺栓與螺帽旋合時，兩者的相對運動是沿螺旋線前進的運動。在螺紋配合正常、螺栓與螺帽不分離的情況下，轉動與軸向移動彼此受螺距限制，因此相對運動只有 一個自由度。

解題方法

判斷各選項時，分別檢視運動對的分類、是否具自鎖性，以及自由度數目：

• 螺栓與螺帽的螺紋面相接觸，屬於面接觸的低對。
• 螺紋配合將旋轉與軸向移動耦合，屬於螺旋對。
• 一般螺紋可利用螺旋角小於摩擦角的條件形成自鎖。
• 因旋轉與軸向移動受螺距約束，只需一個獨立運動變數描述其相對運動；故「具二自由度」錯誤。

選項分析

(A) 係一低對：正確。 螺栓與螺帽透過螺紋面接觸並傳遞力，屬於面接觸的低對。

核心觀念

本題考差動螺旋的軸向位移。差動螺旋由兩個導程不同的螺旋配合組成；兩螺旋的相對旋轉方向相反時，每轉一圈的淨軸向位移為兩導程的差：

其中 $L_1、L_2$ 分別為兩螺旋每旋轉一圈的軸向進給量。

解題方法

代入題目給定的導程 $8\ \mathrm{mm}$ 與 $10\ \mathrm{mm}$：

因此，每旋轉一圈的軸向位移量為 $2\ \mathrm{mm}$。

選項分析

核心觀念

本題主要測驗「螺旋起重機（千斤頂）之機械利益與功的原理」，包含以下三個關鍵觀念：

1. 多線螺紋之導程（Lead, $L$）與螺距（Pitch, $p$）關係： $L = n \times p$ 其中 $n$ 為螺線數（雙線螺紋則 $n = 2$）。螺桿每旋轉一整圈，重物上升或前進的距離為一個導程 $L$，而非單純的螺距 $p$。

2. 功的原理與機械效率（$\eta$）： 當手柄旋轉一圈時：

• 輸入功（手柄施力所作之功）：$W_{\text{in}} = F \times 2\pi R$（$F$ 為施力，$R$ 為手柄長，即旋轉半徑）
• 輸出功（重物被舉起所作之功）：$W_{\text{out}} = W \times L$（$W$ 為舉起之重量，$L$ 為導程）
• 題目給定摩擦損失率為 $50\%$，故實質機械效率為： $\eta = 100\% - 50\% = 50\% = 0.5$

3. 螺旋起重機平衡方程式： $W_{\text{out}} = W_{\text{in}} \times \eta \implies W \times L = F \times 2\pi R \times \eta$ 可得舉起之最大重量： $W = \frac{F \times 2\pi R \times \eta}{L}$

解題方法

步驟一：整理已知數值

• 螺線數：$n = 2$（雙線螺紋）
• 螺距：$p = 12.5\ \mathrm{mm}$
• 導程：$L = n \times p = 2 \times 12.5 = 25\ \mathrm{mm}$
• 手柄長（旋轉半徑）：$R = 250\ \mathrm{mm}$
• 手柄施力：$F = 200\ \mathrm{N}$
• 機械效率：$\eta = 1 - 0.5 = 0.5$

步驟二：代入螺旋起重機公式進行計算 $W = \frac{F \times 2\pi R \times \eta}{L}$

將已知數值代入： $W = \frac{200 \times 2\pi \times 250 \times 0.5}{25}$

核心觀念

本題考螺紋標記的判讀，以及「螺距」與「導程」的差別。螺距是相鄰兩牙的軸向距離；導程則是螺桿旋轉一周後，螺帽沿軸向前進的距離。

多線螺紋的導程為：

$\text{導程}=\text{螺距}\times\text{線數}$

解題方法

標記 $L-2N\ M30\times3.5-1$ 中，$M30\times3.5$ 表示公制螺紋，公稱大徑為 $30\ \mathrm{mm}$，螺距為 $3.5\ \mathrm{mm}$；$2N$ 表示雙線螺紋。因為線數為 2，導程為：

$3.5\times2=7\ \mathrm{mm}$

因此，導程不是 $3.5\ \mathrm{mm}$，錯誤選項為 (C)。

選項分析

核心觀念

本題考查 CNS 連接用公制螺紋的牙形，以及螺紋系列的分類。連接用螺紋採用公制三角螺紋牙形，牙形角為 $60^\circ$；其牙頂截平，因此牙峰為平面。

解題方法

先辨認題目所指的標準：CNS 連接用螺紋屬於公制螺紋，牙頂（峰）截平、牙底（根）則依標準牙形形成圓弧。再核對各選項描述的牙形與螺紋系列分類，即可判斷正誤。

選項分析

• (A) 為統一標準螺紋：錯誤。 CNS 連接用螺紋採公制螺紋標準；「統一標準螺紋」（Unified thread）是另一種以英制為基礎的螺紋系統，兩者不可混為一談。

核心觀念

平鍵用來傳遞軸與輪轂之間的扭矩。軸傳遞扭矩 $T$ 時，作用在平鍵上的切向力 $F$ 作用半徑為軸半徑 $D/2$，因此：

平鍵承受剪切時，剪切面積為鍵的寬度乘以長度，即 $WL$，故剪應力為：

解題方法

先由扭矩與切向力的關係求出鍵承受的力，再以剪力除以平鍵的剪切面積：

因此符合選項 (A)。

選項分析

核心觀念

本題旨在測驗壓縮／拉伸螺旋彈簧之幾何尺寸定義與「彈簧指數」的計算能力。

1. 螺旋彈簧之尺寸關係：

• 大徑（外徑，$D_o$）：彈簧外圍之最大直徑。
• 小徑（內徑，$D_i$）：彈簧內部之最小直徑。
• 線徑（鋼線直徑，$d$）：製造彈簧之鋼線直徑。其與內外徑關係為： $D_o = D_i + 2d \implies d = \frac{D_o - D_i}{2}$
• 平均直徑（中徑，$D$）：鋼線中心線所圍成之直徑： $D = \frac{D_o + D_i}{2} = D_o - d = D_i + d$

2. 彈簧指數（Spring Index, $C$）定義： 彈簧之平均直徑 $D$ 與線徑 $d$ 之比值，用以表示彈簧捲繞之緊密程度與應力集中效應（華爾修正係數 $K$ 之主要變數）： $C = \frac{D}{d}$

3. 無效條件識別： 題目所給之「長度 $100\ \mathrm{mm}$」為自由長度（Free length），與彈簧斷面之形狀比例及彈簧指數無關，屬於干擾條件。

解題方法

步驟一：求彈簧鋼線之線徑 $d$ 由外徑與內徑之差值除以 $2$ 即可求得： $d = \frac{D_o - D_i}{2} = \frac{30 - 22}{2} = 4\ \mathrm{mm}$

步驟二：求彈簧之平均直徑（中徑）$D$ $D = \frac{D_o + D_i}{2} = \frac{30 + 22}{2} = 26\ \mathrm{mm}$

步驟三：計算彈簧指數 $C$ 依定義將中徑除以線徑： $C = \frac{D}{d} = \frac{26}{4} = 6.5$

選項分析

核心觀念

本題考拉伸彈簧的胡克定律，以及彈簧的自由長度。彈簧在彈性範圍內，負荷 $P$ 與伸長量 $x$ 成正比：

其中 $k$ 為彈簧常數。若彈簧長度為 $L$、自由長度為 $L_0$，則伸長量為 $x=L-L_0$，所以：

解題方法

已知兩組負荷與長度，可列出：

兩式相減，消去自由長度 $L_0$：

將 $k=75\ \mathrm{N/mm}$ 代回第一式：

因此彈簧自由長度為 $110\ \mathrm{mm}$。

選項分析

核心觀念

螺旋拉伸彈簧在彈性範圍內符合胡克定律：

其中 $F$ 為彈簧負荷、$\delta$ 為變形量、$k$ 為彈簧常數。兩支相同彈簧各自的彈簧常數均為 $k$。

• 並聯：兩彈簧變形量相同，總負荷由兩支彈簧分擔。
• 串聯：兩彈簧負荷相同，總變形量為兩支彈簧變形量之和。

解題方法

設並聯與串聯時的總變形量相同，均為 $\Delta$。

並聯時，每支彈簧的變形量都是 $\Delta$，因此總負荷為

串聯時，兩支彈簧承受相同負荷，且各自變形量相同。總變形量為 $\Delta$，故每支變形 $\Delta/2$，負荷為

因此兩者總負荷比為

核心觀念

本題考查彈簧串聯與並聯之等效彈簧常數（剛度）計算：

1. 彈簧串聯（Series）：各彈簧承受相同外力，總伸長量為各彈簧伸長量之和，剛度變小（變軟）。其等效彈簧常數 $K_s$ 之倒數等於各彈簧常數倒數之和： $\frac{1}{K_s} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \implies K_s = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$
2. 彈簧並聯（Parallel）：各彈簧伸長量相同，總外力為各彈簧受力之和，剛度變大（變硬）。其等效彈簧常數 $K_p$ 為各彈簧常數直接相加： $K_p = K_1 + K_2$

解題方法

依題意與電路／結構化簡原則，採「由內而外、先串後並」的步驟推導：

1. 第一步：計算兩彈簧串聯後的等效常數 $K_s$ 已知兩個串聯彈簧的彈簧常數皆為 $K = 1$： $K_s = \frac{K \times K}{K + K} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5$

2. 第二步：計算串聯組合與第三個彈簧並聯後的總等效常數 $K_{eq}$ 將上述等效彈簧 $K_s = 0.5$ 與第三個彈簧 $K_3 = 1$ 並聯： $K_{eq} = K_s + K_3 = 0.5 + 1 = 1.5$

核心觀念

本題考斜角滾珠軸承（角接觸滾珠軸承）的接觸角與軸向推力承載能力。接觸角 $\alpha$ 是滾珠與內、外環接觸處的公法線，和軸承徑向平面之間的夾角。接觸角愈大，接觸力在軸向的分量愈大，因此軸承承受軸向推力的能力也愈大。

解題方法

依本題採用的 A、B、C 符號分類，接觸角由大至小為：

因此推力荷重承受能力依序為 $B>A>C$，選項為 (C)。

判斷時應先比較各符號所代表的接觸角大小，再依「接觸角愈大，軸向承載能力愈大」排序。此題的排序依據是角接觸軸承的接觸角分類。

選項分析

核心觀念

本題測驗滾動軸承（Rolling Contact Bearing）依其內部結構與接觸角（Contact Angle）​所決定的負荷承載特性。

軸承依承受負荷的方向，主要分為三大類：

1. 徑向軸承（Radial Bearing）：主要承受垂直於軸心線的徑向負荷（$F_r$）。
2. 止推軸承（Thrust Bearing）：主要承受平行於軸心線的軸向負荷（$F_a$）。
3. 複合負荷軸承（Combined Load Bearing）：可同時承受徑向負荷與軸向推力。其中，藉由滾動體與滾道間預設的接觸角 $\alpha$（通常介於 $15^\circ \sim 40^\circ$），能有效分解並承載同時作用的徑向力與單方向軸向力。

解題方法

解題切入點在於抓住題幹的兩個核心限制條件：「同時承受徑向負荷」 與 「單一軸向推力」，並選出​「最適合」​的型式。

1. 排除純軸向軸承：凡名稱冠有「止推」者，接觸角通常為 $90^\circ$，主要設計為承受純軸向推力，無法承受徑向負荷。
2. 比較複合受力軸承：

• 「單列深槽滾珠軸承」主要以承受徑向負荷為主，雖能順帶承受微量雙向軸向力，但軸向承載能力有限。
• 「斜角滾珠軸承」滾道兩側擋邊高度不同，具有專門設計的傾斜接觸線，專為徑向負荷與較大的單方向軸向推力並存之場合設計，故為最佳首選。

選項分析

• (A) 斜角滾珠軸承（正確） 鋼珠與內外環滾道之間具有特定接觸角 $\alpha$（常見規格如 $15^\circ$、$25^\circ$、$30^\circ$ 或 $40^\circ$）。因為此傾斜接觸線的存在，軸承能將作用力合成為沿接觸線方向的抗力，特別適合承受同時作用的徑向負荷與單方向的大軸向推力。

核心觀念

本題考軸承選用與滾動軸承的公稱號碼。滾動軸承的號碼通常可讀出軸承型式、尺寸系列及內徑代號；內徑代號為 $04$ 以上時，通常以末兩碼乘以 $5\ \mathrm{mm}$ 表示軸承內徑。

解題方法

先用軸徑核對軸承內徑，再依滑動軸承與滾動軸承的承載特性，以及軸承襯套的材料選用原則，逐項判斷。

對 $6208$ 而言，末兩碼為 $08$，因此內徑為：

軸承內徑與軸徑相符，故可選用於軸徑 $40\ \mathrm{mm}$ 的轉軸。

選項分析

核心觀念

筒形聯結器以套筒套接兩軸，並以機件連結套筒與轉軸，使兩軸能一同傳遞扭矩。題目要比較的是各種連結機件承受傳動負荷的能力。

鍵裝在軸與套筒（輪轂）相對應的鍵槽中，能以較大的接觸面傳遞扭矩，適用於傳達較大動力。直銷、彈簧銷及固定螺釘的連結能力或用途較受限制。

解題方法

先辨認題目問的是「傳達較大動力」所需的連結方式，再比較各機件的受力方式：鍵透過鍵與鍵槽的接觸承受剪力及側面壓力，能有效傳遞軸與套筒間的扭矩；銷類及固定螺釘則多用於定位、輕負荷連結或防止相對移動，通常不作為較大動力傳遞的優先選擇。

選項分析

核心觀念

歐丹聯結器（Oldham’s coupling）用來連接兩根相互平行、但中心線彼此錯開的軸，傳遞旋轉運動與扭矩。其結構通常由兩個帶槽的半聯結器及中間的滑塊組成；滑塊在兩組互相垂直的槽中滑動，補償兩軸的平行偏置。

理想情況下，主動軸與從動軸的角速度相同，適合需要等速傳動的場合。

解題方法

判斷聯結器的適用情形，先分辨兩軸的相對位置：

• 平行但中心線錯開：歐丹聯結器。
• 軸線相交或不平行：需依軸線角度與用途選用其他型式的聯結器。
• 角速度是否改變：歐丹聯結器在理想運動下為等角速度傳動。

因此，本題只要辨認出「平行軸的中心線不重合」，即可選出符合歐丹聯結器用途的敘述。

選項分析

核心觀念

本題為鏈輪傳動與輪軸線速度計算之經典整合題，涉及以下核心觀念與公式：

1. 鏈條傳動轉速比：鏈條傳動中，兩鏈輪之齒數與轉速成反比（無滑動現象），即： $N_1 \times T_1 = N_2 \times T_2 \implies \frac{N_2}{N_1} = \frac{T_1}{T_2}$ 其中 $N_1$、$T_1$ 為前齒輪（大齒盤）之轉速與齒數；$N_2$、$T_2$ 為後齒輪（飛輪）之轉速與齒數。
2. 同軸旋轉關係：腳踏車之後輪胎與後齒輪同軸固接，故後輪胎之旋轉轉速等於後齒輪轉速（$N_{\text{輪}} = N_2$）。
3. 線速度（車速）與轉速關係：車輛前進速度即為車輪胎外徑之滾動線速度： $V = \pi \times D \times N$ 其中 $D$ 為輪胎外徑，$N$ 為每單位時間之轉速。
4. 單位換算：題目要求時速單位為 $\mathrm{km/hr}$，需注意直徑由 $\mathrm{cm}$ 換算為 $\mathrm{km}$、時間由分鐘（$\mathrm{min}$）換算為小時（$\mathrm{hr}$）。

解題方法

步驟一：求後齒輪轉速 $N_2$ 前齒輪由腳踏板帶動，故前齒輪轉速 $N_1 = 60\ \mathrm{rpm}$。 根據鏈輪傳動公式： $N_2 = N_1 \times \frac{T_1}{T_2} = 60 \times \frac{50}{25} = 120\ \mathrm{rpm}$

步驟二：求後輪胎轉速 $N_{\text{輪}}$ 後輪胎與後齒輪固定在同一輪軸上運轉，因此後輪胎轉速： $N_{\text{輪}} = N_2 = 120\ \mathrm{rpm}$

步驟三：計算腳踏車之行進時速 $V$ 已知後輪胎直徑 $D = 100\ \mathrm{cm} = 1\ \mathrm{m} = 10^{-3}\ \mathrm{km}$。 後輪胎每分鐘滾動距離（分速）： $V_{\mathrm{min}} = \pi \times D \times N_{\text{輪}} = \pi \times 1\ \mathrm{m} \times 120\ \mathrm{rpm} = 120\pi\ \mathrm{m/min}$

將分速換算為時速（$\mathrm{km/hr}$）：

核心觀念

相等塔輪的各級輪徑依等比級數排列。主、從動輪以皮帶傳動時，忽略皮帶滑動，兩輪的轉速與輪徑成反比：

其中 $n$ 為轉速，$D$ 為輪徑。五級相等塔輪的五組輪徑比，會形成五個等比的轉速比。

解題方法

最低從動輪轉速 $30\ \mathrm{rpm}$ 對應最大從動輪、最小主動輪。主動輪固定為 $120\ \mathrm{rpm}$，因此最低轉速與主動輪轉速之比為：

相等塔輪的相鄰輪徑比固定，所以五組轉速比構成等比級數。最低與最高轉速比相隔四級；設相鄰級轉速比的公比為 $r$，則：

五個轉速比的中間一級，距最低一級兩級，因此中間轉速比為：

故中間轉速為：

但這與官方答案 C 所列的 $120\ \mathrm{rpm}$ 不符。依題目「一對五級相等塔輪」及傳動關係推導，中間轉速應為 $60\ \mathrm{rpm}$；官方答案 C 與題目條件有爭議。

選項分析

核心觀念

皮帶傳動所傳遞的有效圓周力，等於緊邊張力與鬆邊張力之差：

功率為有效圓周力乘以皮帶速度：

其中 $T_1$ 為緊邊張力、$T_2$ 為鬆邊張力；皮帶速度由主動輪直徑與轉速求得。

解題方法

主動輪直徑為 $30\ \mathrm{cm}=0.30\ \mathrm{m}$，轉速為 $500\ \mathrm{rpm}$。主動輪圓周長為 $\pi D$，每分鐘轉 $500$ 圈，因此皮帶速度為

有效圓周力為

故傳達功率為

核心觀念

本題考平皮帶傳動時，開口帶與交叉帶的接觸角差異。接觸角是皮帶與皮帶輪相接觸的圓周角；圓心角大於 $180^\circ$，表示皮帶包覆該輪超過半周。

解題方法

設大輪半徑為 $R$、小輪半徑為 $r$，且 $R>r$。

• 開口帶：兩輪的皮帶接觸角分別為 $180^\circ+2\alpha$ 與 $180^\circ-2\alpha$，其中 $\alpha>0$。大輪接觸角大於 $180^\circ$，小輪接觸角小於 $180^\circ$。
• 交叉帶：皮帶交叉後，兩輪的接觸角都為 $180^\circ+2\alpha$，因此兩輪接觸角都大於 $180^\circ$。

核心觀念

本題考查皮帶傳動之功率傳遞原理及水平（或傾斜）皮帶傳動之配置原則。

1. 皮帶傳遞功率公式： $P = (T_1 - T_2) \cdot v$ 其中 $P$ 為傳達功率，$T_1$ 為緊邊拉力（Tight tension），$T_2$ 為鬆邊拉力（Slack tension），$v$ 為皮帶線速度（$v = \frac{\pi D N}{60}$，$D$ 為帶輪直徑，$N$ 為帶輪轉速）。
2. 尤拉皮帶摩擦定律（打滑極限）： $\frac{T_1}{T_2} = e^{\mu \theta}$ 其中 $\mu$ 為皮帶與輪面間之摩擦係數，$\theta$ 為皮帶在小輪上的接觸角（包角，以弧度 $\text{rad}$ 表示）。有效傳動拉力（有效拉力差）為： $(T_1 - T_2) = T_1 \left(1 - e^{-\mu \theta}\right)$
3. 皮帶容許張力與截面積： $T_1 = \sigma_{\text{all}} \cdot A$ 其中 $\sigma_{\text{all}}$ 為皮帶材質之容許拉伸應力，$A$ 為皮帶之橫截面積。
4. 皮帶鬆邊與緊邊配置： 水平或傾斜傳動時，皮帶因自重產生懸垂效應。配置為「緊邊在下、鬆邊在上」時，鬆邊自重下垂可使帶輪包角 $\theta$ 增大，從而提升摩擦極限與傳達功率。

解題方法

依據皮帶傳動的功率公式 $P = (T_1 - T_2)v$，分別檢驗影響傳動功率的四項主要參數：轉速 $N$（影響線速度 $v$）、摩擦力／摩擦係數 $\mu$（影響有效拉力比值）、截面積 $A$（影響最大緊邊張力 $T_1$），以及鬆緊邊相對位置對包角 $\theta$ 的幾何效應，逐一判定各選項之正確性並找出錯誤者。

選項分析

• (A) 正確： 皮帶線速度 $v = \frac{\pi D N}{60}$。在不發生打滑的前提下，帶輪轉速 $N$ 愈大，線速度 $v$ 愈大。

核心觀念

兩內切圓柱形摩擦輪在不打滑時，接觸點的切線速度相同，因此兩輪的轉速與直徑成反比：

內切時兩輪中心距等於半徑差：

解題方法

已知大輪轉速為 $10\ \mathrm{rpm}$、小輪轉速為 $50\ \mathrm{rpm}$，由不打滑條件：

代入中心距關係：

選項分析

核心觀念

本題考查圓錐形摩擦輪純滾動時的切線速度關係。純粹滾動表示接觸點沒有相對滑動，因此兩輪在接觸處的切線速度大小相等：

圓錐形摩擦輪的接觸圓半徑與圓錐的半頂角 $\alpha$ 有關。若以 $R$ 表示錐面母線長度，接觸圓半徑為 $r=R\sin\alpha$。轉速為 $N$（每分鐘迴轉數）時，接觸處的切線速度為：

解題方法

設兩輪的母線長度相同為 $R$，半頂角分別為 $\alpha_1$、$\alpha_2$，轉速分別為 $N_1$、$N_2$。純滾動時：

消去共同因子 $2\pi R$，得到：

因此，轉速與半頂角的正弦成反比：

核心觀念

摩擦輪在無打滑時，接觸點的切線速度相同。若輪間壓力為 $N$、摩擦係數為 $\mu$，可傳遞的最大摩擦力為

若接觸處切線速度為 $v$，傳遞功率為

因此，在摩擦係數與輪間壓力固定時，最大可傳遞功率會隨切線速度增加；但摩擦力上限由 $\mu N$ 決定，不會因速率提高而自行增加。

解題方法

先分辨「摩擦力」與「功率」：摩擦力取決於摩擦係數和輪間壓力；功率則是摩擦力與速度的乘積。題目問錯誤敘述，檢查哪個選項把速度增加直接說成摩擦力增加，即可判斷。

選項分析

核心觀念

本題考查機械原理中「圓盤與滾子（Disk and Roller）摩擦輪無段變速機構」之傳動原理與轉速比計算。

1. 無打滑條件：在純滾動無滑動的理想狀態下，兩接觸輪在接合點之切線速度（線速度）必相等，即 $V_1 = V_2$。
2. 線速度公式： $V = \pi D N = 2\pi r N$ 其中 $V$ 為切線速度、$D$ 為直徑、$r$ 為接觸點至迴轉軸心之有效半徑、$N$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$）。
3. 可變速機構關係式： 設圓盤（主動軸）之接觸半徑為 $r_1$、轉速為 $N_1$；滾子（從動軸）直徑為 $D_2$（半徑為 $R_2$）、轉速為 $N_2$。由切線速度相等可知： $2\pi r_1 N_1 = \pi D_2 N_2 = 2\pi R_2 N_2 \implies N_2 = \frac{r_1}{R_2} N_1 = \frac{2r_1}{D_2} N_1$ 滾子的轉速 $N_2$ 與接觸點距圓盤中心的距離 $r_1$ 成正比。

解題方法

由題意整理已知參數：

• 主動圓盤：外徑 $D_1 = 300\ \mathrm{mm}$，外緣最大半徑 $R_{1\max} = 150\ \mathrm{mm}$，固定轉速 $N_1 = 60\ \mathrm{rpm}$。
• 從動滾子：直徑 $D_2 = 150\ \mathrm{mm}$（半徑 $R_2 = 75\ \mathrm{mm}$），轉速為 $N_2$。

將已知條件代入轉速關係式： $N_2 = \frac{2r_1}{150} \times 60 = 0.8\, r_1\ \mathrm{(rpm)}$

針對題目討論的兩種極端位置進行計算：

1. 接觸點在圓盤中心軸時： 此時接觸點的迴轉半徑 $r_1 = 0\ \mathrm{mm}$。 $N_2 = 0.8 \times 0 = 0\ \mathrm{rpm}$ （滾子處於停止狀態）

核心觀念

本題考查齒輪依兩軸相對位置的分類。判斷時要先看兩軸是平行、相交，還是既不平行也不相交（交錯軸），再配對可用的齒輪種類：

• 平行軸：正齒輪、斜齒輪、人字齒輪。
• 相交軸：直齒傘齒輪、螺旋傘齒輪。
• 交錯軸：螺旋齒輪（螺輪）、蝸桿蝸輪、雙曲面齒輪等，依軸線配置與齒形而定。

解題方法

逐一比對選項中的軸線關係與齒輪種類。關鍵是分清楚「相交軸」和「交錯軸」：兩軸相交於一點，與兩軸不平行且不相交，是不同的配置。

選項分析

核心觀念

本題考查擺線齒輪的齒形、作用線與壓力角。擺線齒形由兩段不同的擺線曲線構成：齒頂側通常為外擺線，齒根側通常為內擺線。這兩段曲線的生成滾圓直徑不必相等。

解題方法

逐項核對擺線齒輪的幾何與嚙合特性。判斷關鍵在於：同一輪齒的外擺線與內擺線雖共同構成齒形，但其生成滾圓直徑可以不同；此外，擺線齒輪的作用線為曲線，壓力角也會隨嚙合位置改變，並非定值。

選項分析

(A) 擺線齒輪之齒形為外擺線及內擺線構成：正確。 典型擺線齒輪的齒廓由外擺線與內擺線兩部分組成，分別形成齒形不同部位的輪廓。

核心觀念

本題考查正齒輪的模數、節徑、周節、轉速比與標準中心距。

• 模數定義為 $m=d/Z$，因此節徑 $d=mZ$。
• 周節為 $p=\pi m$；同一對嚙合齒輪的模數相同，所以大、小齒輪的周節相同。
• 外接齒輪的轉速與齒數成反比：$n_1Z_1=n_2Z_2$。
• 標準齒輪中心距為兩齒輪節徑和的一半：$a=(d_1+d_2)/2$。

解題方法

已知 $m=5\ \mathrm{mm}$、小齒輪齒數 $Z_1=17$、轉速 $n_1=10\ \mathrm{rpm}$，大齒輪齒數 $Z_2=40$。

先求兩齒輪節徑：

再依齒輪基本關係計算周節、轉速及中心距，逐項核對選項。

選項分析

(A) 小齒輪的節徑是 $85\ \mathrm{mm}$：正確。

(B) 大齒輪周節是 $5\pi\ \mathrm{mm}$：正確。

核心觀念

本題測驗正齒輪（Spur Gear）幾何名詞之基本定義，核心在於掌握周節（Circular Pitch）​的定義、量測基準及其幾何意義。

1. 周節（Circular Pitch，符號常用 $P_c$ 或 $p$）： 沿齒輪節圓（Pitch circle）​之圓周上，自一齒上的某一特定點，至相鄰另一齒上對應同名點所量得的圓弧長度（例如自一齒中心至相鄰齒中心，或齒厚弧長加上齒間弧長）。其數學關係式為： $P_c = \frac{\pi D}{T}$ 式中 $D$ 為節圓直徑，$T$ 為齒數。
2. 周節與齒厚、齒間的關係： 在節圓上，一完整周節剛好包含一個輪齒之「齒厚（Tooth thickness）」加上相鄰之「齒槽寬／齒間（Tooth space）」。在無背隙的理想狀態下，齒厚等於齒間，皆為周節的一半（$t = \frac{P_c}{2}$）。

解題方法

1. 檢視題目給定的條件與特徵：

• 量測基準面：節圓。
• 起訖點：自一齒的中心到下一相鄰齒的中心（即相鄰兩齒之對應同名點）。
• 量測型態：圓弧距離。

2. 對應術語定義： 在齒輪名詞定義中，沿節圓量測之「單一齒距弧長（包含一齒厚及一齒槽）」稱為周節（亦稱圓周齒距）。因此，題幹所述之圓弧距離即為周節。

選項分析

• (A) 正確：周節（Circular Pitch）​即定義為沿著節圓圓周，自某一齒上的任一點至相鄰另一齒之對應點所量出的圓弧長度，題幹敘述完全吻合。

核心觀念

本題考漸開線正齒輪的壓力角、嚙合接觸軌跡、滾動與滑動，以及齒高的定義。

漸開線齒輪的兩齒面沿共同公法線接觸；這條公法線稱為作用線。齒輪傳動時，作用線與兩齒輪中心連線的垂線所形成的角，即為壓力角。標準漸開線齒輪嚙合時，兩齒輪的壓力角相等，才能符合正確嚙合條件。

解題方法

逐項比對齒輪學的基本定義：

1. 檢查兩個嚙合齒輪的壓力角是否相等。
2. 分辨「接觸點的軌跡」與「作用線」：接觸點沿作用線移動，作用線不是漸開線。
3. 判斷節點的運動狀態：節點是純滾動點，滑動速度為零。
4. 比較齒頂高與齒根高的量測範圍。

選項分析

(A) 正確。 兩嚙合齒輪的壓力角應相等。對漸開線齒輪而言，正確嚙合要求兩齒輪的基節相等；在模數相同的條件下，這也要求壓力角相同。

核心觀念

本題考蝸桿與蝸輪的傳動比。蝸桿的「線數」是每轉一圈，螺紋推動蝸輪前進的齒數；蝸輪的齒數則代表蝸輪每轉一圈，所需嚙合的蝸桿線數總量。

因此，蝸桿轉速與蝸輪轉速的關係為：

其中 $n$ 為轉速、$Z$ 為蝸輪齒數、$L$ 為蝸桿線數。

解題方法

已知蝸桿為 $2$ 線，蝸輪有 $32$ 齒，蝸輪轉速為 $100\ \mathrm{rpm}$。代入傳動比公式：

蝸桿每轉一圈使蝸輪前進 $2$ 齒，因此蝸輪轉完一圈所需的蝸桿轉數為 $32\div 2=16$ 圈；蝸桿轉速是蝸輪的 $16$ 倍。

選項分析

核心觀念

本題考齒輪種類、適用軸線配置，以及蝸桿蝸輪與螺旋齒輪的傳動特性。

蝸桿蝸輪常用於兩軸交錯且互相垂直的傳動，具有較大的減速比，但齒面滑動摩擦大，因此傳動效率通常不高。蝸桿多作為主動件；若導程角小，傳動也可能具有自鎖性。

解題方法

逐一核對各種齒輪的典型特性：

• 蝸桿蝸輪：效率通常較低，且一般由蝸桿輸入。
• 錐齒輪（Bevel gear）：用於相交軸傳動，兩軸可呈不同角度，並非只能垂直。
• 螺旋齒輪：齒面接觸會產生軸向推力；在其他條件相同時，螺旋角越大，軸向分力越大。

選項分析

(A) 錯誤。 蝸桿蝸輪傳動通常以蝸桿為主動件、蝸輪為從動件。題目將主動件說成蝸輪，與常見配置相反。

核心觀念

1. 輪系值（Train Value, $e$）的基本定義： 在機械原理中，輪系值定義為「末輪轉速」與「首輪轉速」之比值： $e = \frac{\text{末輪轉速}}{\text{首輪轉速}}$
2. 周轉輪系（Epicyclic Gear Train）的運動特性： 周轉輪系至少有一個齒輪的軸心繞著另一齒輪的固定軸心旋轉（即繞旋臂公轉）。由於各齒輪同時具備「自轉」與「隨旋臂公轉」之複合運動，齒輪間嚙合時的齒數傳動關係無法直接用對地的「絕對轉速」計算，必須以「旋臂」為參考基準。
3. 相對運動法（倒轉法）： 若將整個輪系給予一個與旋臂轉速大小相等、方向相反的反向旋轉（即視旋臂為固定不動），周轉輪系即化為一般的固定軸輪系。此時齒輪之間的轉速即為各齒輪「相對於旋臂」的轉速。因此，周轉輪系之輪系值公式為： $e = \frac{N_L - N_A}{N_F - N_A} = \frac{N_{L/A}}{N_{F/A}}$ 其中：

• $N_L$：末輪（Last gear）之絕對轉速
• $N_F$：首輪（First gear）之絕對轉速
• $N_A$：旋臂（Arm）之絕對轉速
• $N_{L/A}$：末輪對旋臂的相對轉速
• $N_{F/A}$：首輪對旋臂的相對轉速

解題方法

1. 確立分子與分母關係（末輪比首輪）： 依據國家考試及標準機械原理教材慣例，齒輪傳動的「輪系值 $e$」代表從首輪輸入到末輪輸出的轉速增益係數，其量值定義為： $e = \frac{\text{輸出端（末輪）轉速}}{\text{輸入端（首輪）轉速}}$ 因此分子必為「末輪」，分母必為「首輪」（即末輪與首輪之比）。
2. 分析周轉輪系的參考坐標基準： 在周轉輪系中，若旋臂有轉速（$N_A \neq 0$），各齒輪由齒數比決定的轉動幾何約束僅存在於「相對於旋臂」的轉動中，而非對地的「絕對轉速」。 因此，周轉輪系的輪系值本質上是「固定旋臂時，末輪與首輪的轉速比」，也就是「末輪對旋臂的相對轉速」與「首輪對旋臂的相對轉速」之比值：

核心觀念

1. 周轉齒輪系（Epicyclic / Planetary Gear Train）：輪系中至少有一個齒輪的幾何軸線不固定，繞著另一齒輪的固定幾何軸線公轉。本題由中心固定齒輪 B（太陽齒輪）、齒輪 C（行星齒輪）及連繫兩軸心的旋臂（Arm）所構成。
2. 相對運動法（輪系值公式）： 將旋臂視為相對靜止參考座標，輪系轉為一般定軸齒輪系，其輪系值公式為： $e = \frac{N_L - N_m}{N_F - N_m}$ 其中 $N_m$ 為旋臂轉速，$N_F$ 為第一輪轉速，$N_L$ 為末輪轉速。

• 外嚙合齒輪對轉向相反，輪系值為負（$e < 0$）。
• 內嚙合齒輪對轉向相同，輪系值為正（$e > 0$）。

3. 運動疊加原理（表格法）： 任何周轉齒輪系的運動均可分解為兩階段之疊加：

• 階段一：鎖定整個輪系，所有構件隨旋臂一同旋轉（公轉）。
• 階段二：固定旋臂，使各齒輪繞自身固定軸心旋轉（自轉）。

解題方法

題目已知條件：

• 齒輪 B 固定不動：$N_B = 0\ \mathrm{rpm}$，齒數 $T_B = 50$
• 齒輪 C 齒數：$T_C = 25$
• 旋臂 $m$ 轉速：$N_m = +10\ \mathrm{rpm}$（規定逆時鐘為「$+$」，順時鐘為「$-$」）
• 齒輪 B 與 C 為外嚙合，固定旋臂時轉向相反，故兩輪間之相對傳動比（輪系值）為： $e = -\frac{T_B}{T_C} = -\frac{50}{25} = -2$

提供以下兩種標準解法：

方法一：公式法（輪系值法）

1. 列出以旋臂為基準的相對轉速方程式： $\frac{N_C - N_m}{N_B - N_m} = -\frac{T_B}{T_C}$
2. 代入已知數值： $\frac{N_C - (+10)}{0 - (+10)} = -\frac{50}{25} = -2$
3. 交叉相乘展開推導： $N_C - 10 = (-10) \times (-2)$ $N_C - 10 = +20$ $N_C = +30\ \mathrm{rpm}$
4. 符號為正（$+$），代表齒輪 C 之絕對轉速為 $30\ \mathrm{rpm}$ 逆時鐘方向。

方法二：表格法（運動疊加法）

核心觀念

本題考平板凸輪與從動件的接觸幾何、壓力角對受力的影響，以及偏心凸輪的行程。滾子從動件的運動由凸輪輪廓推動；凸輪輪廓與滾子中心軌跡不同，兩者不可混為一談。

解題方法

逐項核對凸輪術語與運動特性。判斷接觸輪廓名稱時，先辨認「節曲線」所描述的是滾子中心的軌跡，而非凸輪與滾子實際接觸的外緣曲線。

選項分析

• (A) 正確。 壓力角是凸輪施力方向與從動件運動方向的夾角。壓力角愈大，作用力中垂直於運動方向的分量愈大，會增加導路側向力及摩擦阻力，並使傳動效率降低。

核心觀念

簡諧運動的位移可表示為正弦或餘弦函數。以角位移頻率 $\omega$ 表示，其位移、速度、加速度與急跳度（Jerk）分別為：

其中，$A$ 為振幅，$\phi$ 為初相位。急跳度是加速度對時間的變化率，也就是位移的三階時間導數。

解題方法

依序檢查各敘述是否符合上述簡諧運動關係：