108 鐵路特考佐級 機械工程 機械原理大意 考古題詳解

核心觀念

黏性阻尼力是阻礙物體運動的力，其大小與物體相對於流體或阻尼介質的速度成正比。線性黏性阻尼可表示為：

其中 $F_d$ 為阻尼力、$c$ 為黏性阻尼係數、$v$ 為相對速度；負號表示阻尼力方向與運動方向相反。

解題方法

題目詢問黏性阻尼力與哪一物理量成正比，直接依線性阻尼力公式判斷：$c$ 固定時，阻尼力大小 $|F_d|=c|v|$，因此與速度成正比，選項為 (C)。

選項分析

核心觀念

本題考查漸開線齒輪中心距改變時，各項嚙合參數的變化。兩個外嚙合齒輪的基圓半徑固定；當中心距改變時，作用線上的壓力角會改變，但傳動比仍由兩齒輪的齒數比決定。

設兩齒輪齒數為 $z_1,z_2$，節圓半徑為 $r_1,r_2$，基圓半徑為 $r_{b1},r_{b2}$，工作壓力角為 $\alpha_w$，中心距為 $a$。漸開線齒輪有：

中心距改變時，工作節圓半徑與工作壓力角會隨之改變；但齒輪的齒數、基圓以及製造規格中的模數不因重新安裝而改變。

解題方法

判斷各選項時，分清「嚙合安裝狀態改變」與「齒輪本身規格改變」：

1. 齒輪基圓半徑不變，中心距改變會使工作節圓半徑改變，因此工作壓力角也改變。
2. 漸開線齒輪的瞬時傳動比由兩齒輪齒數比決定：

中心距改變不改變齒數，因此不改變轉速比。 3. 接觸比是接觸線有效長度與基節之比。中心距改變會影響接觸線長度及工作壓力角，因此接觸比會改變。 4. 模數是齒輪的尺寸規格，$m=d/z$；

核心觀念

本題考查軸承依負荷方向所作的分類。負荷方向相對於軸心分為兩類：

• 徑向負荷：方向垂直於軸心，由徑向軸承承受。
• 軸向負荷：方向平行於軸心，由軸向軸承承受；這類軸承也稱為止推軸承。

解題方法

題目已指出負荷與軸向平行，直接依負荷方向判斷，即屬軸向負荷。軸向軸承的另一常用名稱是止推軸承，因此兩個選項都符合題幹描述。

選項分析

核心觀念

本題考查兩種工程接頭的用途與角速度變化：

• 萬向接頭（Hooke’s joint）用來連接兩軸線相交且有夾角的旋轉軸。單一萬向接頭在夾角固定且不為零時，即使主動軸等角速度旋轉，從動軸的角速度仍會週期性變化；常以兩個萬向接頭成對配置，適當安排相位與軸角，以降低或消除輸出轉速的脈動。
• 歐丹連結器（Oldham coupling）用來連接軸線平行、但彼此偏置的兩根軸。在理想幾何條件下，它傳遞等角速度，主、從動軸轉速相同。

解題方法

先辨認兩種接頭各自適用的軸線配置，再判斷主、從動軸的轉速關係。歐丹連結器的典型用途是補償平行軸的偏心，不是造成變角速度；因此宣稱它使從動軸變角速度的選項有誤。

選項分析

核心觀念

本題考查旋轉運動的角速度、線速度與功率之關係。重物以定速提升時，馬達輸出功率等於重力作功率：

其中 $F$ 是重物重量，$v$ 是重物的線速度。手臂長度為 $r$、角速度為 $\omega$ 時，手臂末端的切線速度為：

解題方法

角速度須先由度每秒換算為弧度每秒：

手臂末端的線速度為：

因此馬達提升重物所需功率為：

選項分析

核心觀念

導螺桿的導程，是螺帽相對螺桿每轉一圈的軸向位移。若螺桿轉一圈需走 $N$ 個步進角，每一步帶動螺帽移動的距離就是位移解析度：

解題方法

已知導程為 $2\ \mathrm{mm}$，要求每一步的位移解析度為 $0.01\ \mathrm{mm}$。因此每轉所需步數為：

一圈為 $360^\circ$，故步進角為：

因此選項 (C) 符合要求。

選項分析

核心觀念

本題考查圓盤純滾動時，圓盤周緣「對地接觸點」的加速度方向。純滾動表示接觸點相對地面的瞬時速度為零；但該點的加速度不一定為零。須分清楚「瞬時靜止」與「加速度為零」是不同概念。

解題方法

設圓盤半徑為 $R$，圓心以速度 $v$ 向右移動，角速度大小為 $\omega$。向右純滾動時，圓盤順時針轉動，且

以圓盤上瞬間位於地面接觸處的材料點為對象，其加速度可寫成

其中 $\mathbf a_C$ 是圓心加速度，$\boldsymbol\alpha$ 是角加速度，$\mathbf r_{P/C}$ 為圓心到該點的向量。

核心觀念

本題考齒輪嚙合時的齒形干涉。當一個齒輪的齒頂進入另一齒輪的基圓以下，碰到非漸開線區域，就會發生干涉。避免干涉的常見方法包括增加小齒輪齒數、增大壓力角，以及減少齒頂高；這些作法都能改善嚙合幾何條件。

接觸比則表示平均同時嚙合的齒對數，主要反映傳動的連續性與平順程度，並非消除齒形干涉的直接方法。

解題方法

逐項判斷選項是否能改變容易發生干涉的幾何條件：

• 增加小齒輪齒數：改善小齒輪齒數過少造成的干涉風險。
• 增加壓力角：使基圓相對變小，改善齒頂與對方齒輪齒根區域的干涉情形。
• 減少齒頂高：縮短伸入對方齒輪的齒頂，降低干涉機會。
• 增加接觸比：著重於增加齒輪嚙合的連續性，不是消除干涉的方法。

因此，題目問「不能用來消除干涉」時，應選增加接觸比。

選項分析

核心觀念

本題考查彈簧串聯與並聯的等效彈簧常數。彈簧常數 $k$ 表示彈簧產生單位變形所需的力，遵循虎克定律：

• 串聯：各彈簧承受相同的力，總變形量為各彈簧變形量之和，因此 $\frac{1}{k_{\text{串}}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$
• 並聯：各支路變形量相同，總力為各支路所受力之和，因此 $k_{\text{並}}=k_1+k_2$

解題方法

先將彈簧 $1$ 與彈簧 $2$ 視為串聯組合：

所以

接著，這個串聯組合再與彈簧 $3$ 並聯。並聯時彈簧常數直接相加：

選項分析

核心觀念

蝸桿傳動的理想扭矩比，等於蝸輪齒數除以蝸桿線數：

其中 $Z_{\text{輪}}$ 是蝸輪齒數，$n_{\text{桿}}$ 是蝸桿線數。本題為雙線蝸桿，故 $n_{\text{桿}}=2$；蝸輪有 $50$ 齒，傳動比為 $50/2=25$。

解題方法

忽略摩擦與動力損失時，輸入與輸出功率相等，因此扭矩比等於轉速比的反比。蝸桿轉 $1$ 圈，雙線蝸桿推進 $2$ 齒，蝸輪轉過 $2/50$ 圈，故蝸桿轉速是蝸輪的 $25$ 倍，蝸輪扭矩則是蝸桿的 $25$ 倍：

選項分析

核心觀念

蝸桿蝸輪機構由螺旋狀的蝸桿與蝸輪嚙合組成，常用於兩軸交錯且互相垂直的傳動，可得到很大的減速比。判斷各選項時，掌握兩個重點：蝸桿的線數（頭數）與蝸輪齒數決定傳動比；一般蝸桿傳動具有自鎖性，動力通常由蝸桿輸入、蝸輪輸出。

解題方法

先辨認選項中是否有違反蝸桿傳動方向特性的敘述。蝸桿輸入時，蝸桿轉一圈會使蝸輪轉過相當於蝸桿線數的齒數，因此傳動比大小為

其中 $Z_{\text{蝸輪}}$ 為蝸輪齒數，$s_{\text{蝸桿}}$ 為蝸桿線數。蝸桿通常轉得快、蝸輪轉得慢；若企圖由蝸輪反向驅動蝸桿，常因自鎖而不能傳動，因此官方答案所指的錯誤敘述為 (A)。

選項分析

核心觀念

本題考查齒輪種類與其應用。汽車差速箱常用戟齒輪傳遞動力，並可讓傳動軸與車輪軸的軸線相交，藉此降低轉軸的位置。戟齒輪的齒面呈曲線，常用於汽車後軸的主減速器與差速器組合。

解題方法

先看題幹的關鍵線索「汽車差速箱」及「降低轉軸的位置」。汽車傳動軸通常沿車身縱向配置，車輪軸則沿左右方向配置，兩軸需要改變傳動方向；若後軸採用偏置式配置，主減速齒輪組也須配合降低傳動軸的位置。這類汽車後軸傳動常使用戟齒輪，因此選 (C)。

選項分析

• (A) 蝸桿蝸輪：錯誤。 適合傳遞兩軸交錯且不相交的運動，常用於需要大減速比的機構；題目所指汽車差速箱降低轉軸位置的典型齒輪為戟齒輪。

核心觀念

本題比較漸開線齒輪與擺線齒輪的齒形特性，重點在製造難易度、齒廓干涉、摩擦損耗，以及壓力角是否固定。

漸開線齒輪的齒廓為基圓的漸開線；擺線齒輪的齒廓則由圓沿一直線滾動所形成的曲線構成。兩者在接觸方式與齒形特性上有所不同。

解題方法

逐項核對兩種齒形的典型比較：漸開線齒輪易於用齒條型刀具加工，壓力角固定；擺線齒輪較不易發生齒廓干涉，壓力角則隨接觸位置改變。再判斷「擺線齒輪摩擦損耗較大」是否符合其接觸特性，即可找出錯誤敘述。

選項分析

核心觀念

本題考各種輪系傳動時，輸入輪與輸出輪的轉速比是否能準確保持。皮帶輪、摩擦輪與鏈輪的傳動，會受到打滑、彈性變形或節距等因素影響；齒輪輪系則以齒面嚙合傳遞運動，理想情況下可維持固定的角速度比。

一對外嚙合齒輪的轉速與齒數成反比：

其中 $n$ 為轉速，$Z$ 為齒數。多組齒輪組成輪系時，各級傳動比相乘，仍可得到明確且固定的總轉速比。

解題方法

比較各種傳動方式是否會因接觸處相對滑動，導致實際轉速比偏離理論值。齒輪靠齒面嚙合限制兩輪的相對運動，轉速比由齒數決定，因此最準確。皮帶輪與摩擦輪可能打滑；

核心觀念

軸承的容許壓力以軸承承受的負荷除以投影承壓面積計算。軸承的投影承壓面積為軸徑乘以軸承長度：

其中 $p$ 為容許壓力、$W$ 為負荷、$L$ 為軸承長度、$d$ 為軸徑。

解題方法

已知 $W=8\ \mathrm{kN}=8{,}000\ \mathrm{N}$、$L=25\ \mathrm{mm}$、$d=40\ \mathrm{mm}$，代入公式：

由於 $1\ \mathrm{N/mm^2}=1\ \mathrm{MPa}$，所以容許壓力為 $8\ \mathrm{MPa}$。

選項分析

核心觀念

本題考查剛體與非剛體的定義，以及力作為向量時，作用位置對力學效果的影響。

力的三要素是大小、方向、作用點。作用時間會影響力的持續時間與衝量，但不是力的三要素。

解題方法

逐一比對選項中的定義。關鍵在於分清三種向量的特性：

• 自由向量：可平移至任意位置而不改變其效應。
• 滑動向量：可沿其作用線移動而不改變其效應。
• 固定向量：作用點固定，不能任意移動。

對剛體而言，外力可以沿同一作用線滑移；對非剛體而言，作用位置通常會影響變形或內部受力，不能一概視為滑動向量。力矩在非剛體上的效果也會受作用位置影響，不宜視為固定向量。

選項分析

核心觀念

兩圓柱內切且接觸處不打滑時，接觸點的切向速度大小相等，因此圓柱的角速度大小與半徑成反比：

題目給的是轉速，轉速與角速度成正比，所以可直接用轉速代入。

解題方法

小圓柱直徑為 $20\ \mathrm{cm}$，故半徑為

由無滑動條件：

因此

內切時，兩圓柱中心距離等於半徑差：

選項分析

核心觀念

本題考軸承對軸線偏斜或軸承座不同心等「非對準」狀況的適應能力。球型滾子軸承的外環滾道呈球面，具有調心作用，可容許內、外環軸線有一定角度偏差，因此最能補償非對準。

解題方法

先辨認各類軸承的主要特性：深槽滾珠軸承與圓柱滾子軸承通常要求軸線對準；具調心結構的軸承則可承受一定程度的角度偏斜。選項中，球型滾子軸承具有調心能力，故選 D。

選項分析

核心觀念

本題考查凸輪機構從動件運動曲線的連續性條件及其對動態特性（衝擊、振動、噪音、磨耗）​的影響。

1. 導數關係與動態物理量： 設從動件位移為 $s$，時間為 $t$，則：

• 速度：$v = \frac{ds}{dt}$（位移之一階導數）
• 加速度：$a = \frac{d^2s}{dt^2}$（位移之二階導數，決定慣性力 $F = ma$）
• 急跳度（Jerk）：$j = \frac{da}{dt} = \frac{d^3s}{dt^3}$（位移之三階導數，決定力的變化率）

2. 凸輪設計基本準則（凸輪運動定律）：

• 速度不連續：會導致加速度出現「無限大 $\delta$ 脈衝」，產生破壞性的剛性衝擊（Rigid Shock）。
• 加速度不連續（階躍變化）：會導致急跳度出現「無限大」，引起力量的瞬間突變，誘發彈性系統的共振與柔性／彈性衝擊（Flexible Shock），進而產生嚴重的動態噪音與接觸應力磨耗。
• 為了有效抑制振動、減少運轉噪音並延長凸輪接觸面壽命，位移曲線至少必須維持加速度連續。

解題方法

從動態力量與慣性載荷的變化切入分析：

1. 依據牛頓第二運動定律，從動件與凸輪接觸面承受之動態慣性力為 $F_i = m \cdot a$。
2. 慣性力對時間的變化率為： $\frac{dF_i}{dt} = m \cdot \frac{da}{dt} = m \cdot j$
3. 若加速度曲線存在不連續點（如等加速度運動的區間交接處），在該點的加速度斜率 $\frac{da}{dt} \to \infty$，即急跳度 $j \to \infty$。

核心觀念

曲柄滑塊機構的滑塊行程，是滑塊兩個極限位置間的距離。曲柄與耦桿共線時，常見的行程公式 $2r$ 適用於無偏置機構；本題滑塊偏置量為 $3\ \mathrm{cm}$，不能直接套用 $2r$。

解題方法

令曲柄中心為原點，滑塊沿水平線運動，垂直偏置量為 $e=3\ \mathrm{cm}$。曲柄長 $r=2\ \mathrm{cm}$、耦桿長 $l=7\ \mathrm{cm}$。若曲柄角為 $\theta$，滑塊位置可寫成

滑塊到達極限位置時，位置對曲柄角的變化率為零，即 $\dfrac{dx}{d\theta}=0$。代入本題尺寸求得兩個極限位置約為 $8.48\ \mathrm{cm}$ 與 $4.03\ \mathrm{cm}$，因此行程為

核心觀念

本題考平行軸外接螺旋齒輪的螺旋方向配對。螺旋齒輪的螺旋角是齒線與齒輪軸線之間的夾角；對兩軸平行、互相外接的螺旋齒輪，兩輪的螺旋方向相反，螺旋角大小相同。

解題方法

主動輪為右旋、螺旋角 $10^\circ$。因為兩軸平行且為外接齒輪，被動輪須採相反的螺旋方向，才能使兩輪齒線互相嚙合；螺旋角大小則與主動輪相同。因此，被動輪為左旋 $10^\circ$。

選項分析

核心觀念

本題考正齒輪各圓的相對大小。由中心向外，主要依序為齒根圓、節圓、齒冠圓；間隙圓則是配合齒輪齒根處間隙的幾何參考圓，直徑小於節圓。

解題方法

齒冠圓通過輪齒頂端，位於齒輪外形最外側，因此其直徑最大。以標準正齒輪的模數 $m$、齒數 $z$ 表示，節圓直徑為 $d=mz$，齒冠圓直徑為 $d_a=m(z+2)$，可見 $d_a>d$。齒根圓位於齒槽底部，直徑小於節圓；間隙圓也在節圓內側。

選項分析

核心觀念

公制標準正齒輪的模數 $m$，定義為節圓直徑 $d$ 與齒數 $z$ 的比值：

模數反映齒的大小；壓力角則描述齒面接觸時的受力方向，不會改變上述模數計算關係。

解題方法

題目給定節圓直徑 $d=50\ \mathrm{mm}$、齒數 $z=20$，代入公式：

因此模數為 $2.5\ \mathrm{mm}$，選項為 (A)。題目所給的 $25^\circ$ 壓力角與求模數無關。

選項分析

核心觀念

本題考行星齒輪組的幾何關係。常見的簡單行星齒輪組由中央的太陽齒輪、外圍的環形齒輪及兩者之間的行星小齒輪構成。若三者模數相同，太陽齒輪與行星小齒輪的中心距，等於環形齒輪與行星小齒輪的中心距。

解題方法

設太陽齒輪齒數為 $Z_s$、環形齒輪齒數為 $Z_r$、行星小齒輪齒數為 $Z_p$。由中心距相等可得：

其中 $m$ 為齒輪模數；兩側相同，可約去，整理得：

因此：

行星小齒輪為 $21$ 齒。

選項分析

核心觀念

本題考螺旋齒輪的齒形方向、配對條件與傳動用途。螺旋齒輪的齒線相對於齒輪軸線呈傾斜，因此齒輪運轉時齒面接觸較平順，常用於平行軸間傳動；若要傳動方向轉變 $90^\circ$，則可採用交錯軸螺旋齒輪。

解題方法

先判斷各選項描述的是齒線方向、配對方式、磨耗特性，還是傳動軸配置。螺旋齒輪可依兩軸相對位置與螺旋方向配合，並非只能用於平行軸；其中交錯軸螺旋齒輪可連接互相垂直的軸，故能使動力傳輸方向轉變 $90^\circ$。

選項分析

• (A) 錯誤。​螺旋齒輪的齒線相對齒輪軸線呈斜向，並未與軸線對齊。齒線傾斜是其主要特徵之一。
• (B) 錯誤。​螺旋齒輪的配對方向須依軸線配置決定。

核心觀念

皮帶傳動以皮帶與皮帶輪間的摩擦力傳遞動力。其適用特性是構造簡單、傳動平順，適合較高轉速及較小負載；負載過大時，皮帶容易打滑，且皮帶張力會增加軸承負荷。

傳動功率、扭矩與轉速的關係為：

其中 $P$ 為功率、$T$ 為扭矩、$\omega$ 為角速度。因此，在功率相同時，轉速越高，所需傳遞的扭矩越小。

解題方法

本題考查皮帶傳動的適用場合。判斷重點是皮帶較適合「高轉速、低扭力」的傳動條件；低轉速且高扭力的場合，通常較適合使用齒輪或鏈條等不易打滑的傳動方式。

選項分析

核心觀念

本題考正齒輪的齒形尺寸與節距定義。周節是節圓上相鄰兩齒同名位置之間的弧長；齒厚與齒間則分別是節圓上齒與齒槽所占的弧長。徑節則是齒數與節圓直徑的比值，常用公式為

其中 $N$ 為齒數，$D$ 為節圓直徑。

解題方法

逐項核對正齒輪各尺寸的定義，並留意「徑節」公式的分子、分母：周節是齒厚與齒間相加；徑節是齒數除以節圓直徑。

選項分析

核心觀念

本題考正齒輪的徑節、模數、周節、中心距與基圓直徑之間的關係。徑節 $P$ 表示每英吋節圓直徑所具有的齒數；模數 $m$ 則是公制尺寸系統中，節圓直徑與齒數的比值。

常用公式如下：

其中 $N$ 為齒數、$d$ 為節圓直徑、$p$ 為周節。徑節以「齒／英吋」表示，因此長度單位為英吋。

解題方法

題目給定徑節 $P=2$，先由周節公式計算：

因此選項（C）正確。

也可用兩齒輪的節圓直徑驗算中心距。小齒輪節圓直徑為：

大齒輪節圓直徑為：

兩齒輪中心距為節圓半徑和：

核心觀念

本題考查開口皮帶傳動時，小皮帶輪的包覆角。兩皮帶輪中心連線與皮帶直線段形成直角三角形，包覆角由半徑差與中心距決定。

設小、大皮帶輪半徑分別為 $r$、$R$，中心距為 $C$，並令

開口皮帶的小皮帶輪包覆角為

題目給的是節徑，兩者相差的比例與半徑相同，因此可直接用節徑計算。

解題方法

小、大皮帶輪節徑分別為 $30\ \mathrm{cm}$、$50\ \mathrm{cm}$，直徑差為 $20\ \mathrm{cm}$；半徑差為 $10\ \mathrm{cm}$。因此

小皮帶輪包覆角為

核心觀念

鏈條傳動中，鏈條在兩鏈輪上的線速度相同，因此鏈輪轉速與齒數成反比：

其中 $n_1$、$n_2$ 分別為輸入與輸出轉速，$Z_1$、$Z_2$ 分別為輸入端與輸出端鏈輪齒數。角速度以 $\mathrm{rad/s}$ 表示時，比例關係相同。

解題方法

已知輸入轉速 $\omega_1=94\ \mathrm{rad/s}$、輸出轉速 $\omega_2=24\text{–}25\ \mathrm{rad/s}$，以及較小鏈輪齒數 $Z_1=17$。因輸出轉速較低，較大鏈輪應位於輸出端。由轉速與齒數成反比：

將輸出轉速範圍代入：

四個選項中，只有 $65$ 齒落在此範圍內，因此較大鏈輪為 $65$ 齒。驗算其輸出轉速：

核心觀念

本題考查線性彈簧的胡克定律：

$F=kx$

其中 $F$ 為外力、$k$ 為彈簧常數、$x$ 為相對於自由長度的伸長量。彈簧受力後的總長度為「自由長度＋伸長量」。

解題方法

已知 $k=7200\ \mathrm{N/m}$，彈簧受 $432\ \mathrm{N}$ 拉伸後長度為 $150\ \mathrm{mm}$。先用胡克定律求伸長量：

$x=\frac{F}{k}=\frac{432}{7200}=0.06\ \mathrm{m}=60\ \mathrm{mm}$

因此自由長度為：

$L_0=150-60=90\ \mathrm{mm}$

再比較各選項所列力與伸長量。若外力為 $648\ \mathrm{N}$，伸長量為：

$x=\frac{648}{7200}=0.09\ \mathrm{m}=90\ \mathrm{mm}$

所以彈簧總長度為：

$L=L_0+x=90+90=180\ \mathrm{mm}$

選項分析

核心觀念

兩同心螺圈彈簧並聯受壓時，兩彈簧的壓縮量相同；但若彈簧自由長度不同，較短的彈簧會先受壓，較長的彈簧壓縮一段距離後，短彈簧才開始承受負荷。彈簧負荷與壓縮量的關係為

$F=k\delta$

其中 $F$ 為負荷、$k$ 為彈簧常數，$\delta$ 為相對於自由長度的壓縮量。

解題方法

內圈較短，外圈比內圈長 $0.5\ \mathrm{cm}$，因此外圈先承受負荷。外圈壓縮 $0.5\ \mathrm{cm}$ 後，內圈才開始受力。

設外圈總壓縮量為 $x$ 公分，且 $x>0.5$。外圈負荷為

$F_{\text{外}}=2400x$

內圈開始受力後，壓縮量為 $x-0.5$ 公分，故內圈負荷為

$F_{\text{內}}=1750(x-0.5)$

由總負荷為 $8000\ \mathrm{N}$：

$2400x+1750(x-0.5)=8000$

$4150x=8875$

$x=\frac{8875}{4150}\approx2.1386\ \mathrm{cm}$

因此外圈負荷為

核心觀念

兩彈簧串聯時，兩者承受相同的軸向力。彈簧的變形量則依虎克定律決定：

$F=kx$

其中 $F$ 為彈簧受力、$k$ 為彈簧常數、$x$ 為變形量。因此，同一受力下，彈簧常數較小者變形量較大。

解題方法

串聯彈簧中，兩彈簧沿同一直線連接，連接處須滿足力平衡；在忽略彈簧質量並假設靜力平衡時，兩彈簧承受相同的力：

$F_1=F_2=F$

由虎克定律，各彈簧的變形量為：

$x_1=\frac{F}{k_1},\qquad x_2=\frac{F}{k_2}$

因此，兩彈簧受力相同，但變形量會依各自的彈簧常數而異。

選項分析

核心觀念

彈簧遵守虎克定律 $F=kx$，其中 $F$ 為彈簧受力、$k$ 為彈簧常數、$x$ 為變形量。兩個相同彈簧的串聯與並聯，等效彈簧常數不同：

• 並聯：兩彈簧變形量相同，承受的力相加，故等效彈簧常數為 $2k$。
• 串聯：兩彈簧承受相同的力，總變形量相加，故等效彈簧常數為 $k/2$。

解題方法

令每個彈簧的彈簧常數為 $k$，外力為 $F$。

兩彈簧並聯時，等效彈簧常數為 $2k$，變形量為

兩彈簧串聯時，等效彈簧常數為 $k/2$，變形量為

因此，並聯變形量與串聯變形量之比為

核心觀念

本題考螺旋壓縮彈簧受軸向負載時，彈簧線本身承受的主要應力。彈簧線沿螺旋方向繞成線圈，軸向負載會使彈簧線受到扭矩，因此主要產生扭轉剪應力。

解題方法

把彈簧線想成繞在線圈上的細圓桿。軸向負載 $F$ 作用於彈簧時，在彈簧線截面造成的扭矩約為

其中 $D$ 為彈簧線圈平均直徑。圓軸承受扭矩時，截面主要承受剪應力；實心圓線的最大扭轉剪應力可寫為

其中 $d$ 為彈簧線直徑。因此，彈簧線主要承受的是扭轉剪應力。

選項分析

核心觀念

本題考 Grashof 四連桿機構的分類。令四連桿長度由短至長分別為 $s、p、q、l$；符合 Grashof 定理的條件為：

固定不同的桿件，機構的運動型態也會不同：

• 最短桿固定：雙曲柄機構，與固定桿相鄰的兩桿都能連續轉 $360^\circ$。
• 最短桿與固定桿相對：雙搖桿機構，兩側活動桿都往復擺動。
• 最短桿與固定桿相鄰：曲柄搖桿機構，最短桿可連續轉動，另一側活動桿往復擺動。

圖中底部為固定連桿，左右兩桿分別標示為輸入曲柄與輸出曲柄，上方為連接連桿。

解題方法

依序假設各選項所述的桿件為最短桿，再看它相對於固定桿的位置。最短桿若與固定桿相鄰，該最短桿可作曲柄連續旋轉；另一側桿則作搖桿往復擺動。連接桿件在此類機構中會隨曲柄轉動而改變角度，呈現往復的角度擺動。

選項分析

核心觀念

平行鍵傳遞扭矩時，鍵與軸、輪轂之間的接觸面會受到切向力。鍵的剪切面積為鍵寬乘鍵長，即 $WL$；鍵的平均剪應力為

軸上扭矩 $T$ 與切向力 $F$ 的關係為 $T=F\frac{D}{2}$，因而 $F=\frac{2T}{D}$。

解題方法

鍵所承受的剪應力不得超過容許最大剪應力 $s$：

代入 $F=\frac{2T}{D}$：

整理得

因此，所需最小鍵長為 $\frac{2T}{sDW}$。

選項分析

核心觀念

本題考查鉚釘的種類、材料及接合方式。鉚釘是永久性機械接合元件，接合時將鉚釘穿過工件孔，再使鉚釘端部變形形成鉚頭，把工件固定在一起；常見材料包括鋼與鋁。

解題方法

逐一判斷各選項是否符合鉚釘的構造與接合原理：鉚釘沒有螺紋，接合時靠端部塑性變形固定；拆卸通常會破壞鉚釘；接合方式是鉚接而非熔接。因此，符合鉚釘一般材料特性的選項為正確答案。

選項分析

核心觀念

本題考平面連桿機構的自由度。六連桿機構的「六」包含固定架在內；圖中的轉動副、滑動副都是低對偶。平面機構自由度可用 Kutzbach 公式計算：

其中 $n$ 是構件總數，$J_1$ 是低對偶數，$J_2$ 是高對偶數。圖中的銷與滑槽以滑塊等效模型計數，因此機構中沒有需要另外計入的高對偶。

解題方法

依圖計數，構件總數 $n=6$，包含固定架；低對偶數 $J_1=7$，高對偶數 $J_2=0$。代入公式：

因此，此機構有一個自由度：指定一個輸入構件的位置或轉角後，其餘構件的位置便受機構約束而確定。

選項分析

核心觀念

瞬心是平面相對運動中，兩個構件在某一瞬間相對速度為零的點。此點的絕對速度不一定為零；只有當其中一個構件是固定構件時，該瞬心才同時是另一構件線速度為零的點。

兩構件若以旋轉接頭直接相連，接頭處兩構件的速度相同，因此相對速度為零，該接頭就是兩構件的瞬心。

平面機構中，若有 $n$ 個構件，包含固定構件，瞬心總數為：

解題方法

逐項核對瞬心的定義，再用瞬心數量公式檢查四連桿與五連桿機構。題目所稱的連桿數包含固定構件。

選項分析

(A) 錯誤。 瞬心的定義是兩構件在該點的相對速度為零，不是兩構件在該點的線速度都為零。若兩構件都在運動，瞬心的絕對速度可以不為零；只有一方是固定構件時，該點對另一構件的線速度才為零。