109 鐵路特考高員三級 電子工程 半導體工程 考古題詳解

核心觀念

本題考查半導體摻雜後的載子與離子電荷平衡。補償半導體是同時摻入施體與受體雜質的半導體：施體提供電子，受體接受電子；兩種雜質的電性作用相互抵銷一部分。淨摻雜性質由施體與受體的濃度差決定。

解題方法：補償半導體的電中性

以 $n$ 型補償半導體為例，若施體濃度 $N_D$ 大於受體濃度 $N_A$，在雜質完全游離時，施體成為帶正電的 $D^+$，受體成為帶負電的 $A^-$。此外，導帶電子帶負電，電洞帶正電。

電中性表示半導體整體的正電荷總量等於負電荷總量。若以單位體積的數量表示，正電荷來源為電洞與游離施體，負電荷來源為電子與游離受體，因此：

移項可寫成常用的電中性方程式：

若施體、受體完全游離，則 $N_D^+=N_D$、$N_A^-=N_A$，故：

核心觀念

電子等效質量是用來描述晶體中的電子在外力作用下，因能帶結構而呈現的加速度反應。晶體中的電子受到週期性晶格電位影響，其運動不像自由空間中的電子只由自由電子質量 $m_0$ 決定；等效質量則把晶格對電子運動的影響納入，讓電子在能帶附近可用類似牛頓力學的方式描述。

等效質量不是電子的靜止質量改變，而是由能帶 $E$ 對波向量 $k$ 的曲率所決定。能帶越彎曲，等效質量越小；能帶越平坦，等效質量越大。

解題方法

在 $E$-$k$ 圖上，電子的群速度由能量對波向量的一階導數決定：

其中 $\hbar$ 是約化普朗克常數。電子受到外力 $F$ 時，半經典運動方程為：

對群速度取時間微分：

代入 $\frac{dk}{dt}=\frac{F}{\hbar}$，得到：

核心觀念

本題考「雙極性傳輸」（ambipolar transport）：在 $p$ 型半導體中，少數載子電子的空間分布會造成電荷分離趨勢，並誘發電場，使電子與多數載子電洞耦合傳輸。低階注入下，過量電子與過量電洞濃度相等，即 $\delta p=\delta n$；若半導體維持準電中性，兩種載子便須共同移動。

解題方法與方程式

先寫出一維電子、電洞的連續方程，再利用低階注入與準電中性條件消去電場及電洞變數，可得過量電子濃度的雙極性傳輸方程式：

其中 $E$ 為外加或區域電場，$G(x,t)$ 為單位體積、單位時間內產生的過量電子率；若題目不考慮外加電場與外部產生，則令 $E=0$、$G=0$，化為

$p$ 型材料中，平衡電子濃度為 $n_0$，平衡電洞濃度為 $p_0$。雙極性擴散係數與遷移率為

在低階注入的 $p$ 型半導體中，$p_0\gg n_0$，所以

若電子與電洞透過同一復合過程消失，且其過量濃度相等，則有效壽命 $\tau_a$ 可寫成 $\tau_n$；較一般的雙極性方程式則保留 $\tau_a$ 表示有效復合壽命。

物理意義

核心觀念

金屬與 $n$ 型半導體接觸後，電子會在兩者間移動，直到達到熱平衡、費米能階對齊。接觸後半導體表面形成空乏區或累積區，能帶隨之彎曲；其方向與大小決定載子是否容易跨越界面，因而形成整流接觸或歐姆接觸。

令金屬功函數為 $q\Phi_m$，半導體功函數為 $q\Phi_s$，電子親和力為 $q\chi$，$E_C$、$E_F$、$E_V$ 分別為導帶底、費米能階與價帶頂。以下採理想 Schottky–Mott 模型，忽略界面態與費米能階釘扎。

解題方法

先比較金屬與半導體的功函數，判斷熱平衡時電子的移動方向及半導體能帶彎曲方向；再由能帶差計算電子障壁高度：

其中 $\Phi_{Bn}$ 以電子伏特表示。對 $n$ 型半導體而言，若表面形成耗盡層且電子須克服明顯障壁，接面呈整流性；若表面呈累積，或障壁窄到電子可藉穿隧通過，則接面呈歐姆性。

（一）整流接觸

形成條件

金屬功函數大於 $n$ 型半導體功函數時，接觸後電子由半導體流向金屬，半導體表面留下帶正電的離化施體，形成空乏區。半導體能帶在界面附近向上彎曲，形成電子的 Schottky 障壁。

在理想模型中，整流接觸的典型條件為：

且電子障壁高度為正且足以抑制電子通過：

若半導體摻雜濃度不高，空乏層較寬，電子不易穿隧，接面具有整流特性。正向偏壓可降低半導體到金屬方向的有效障壁，使電流增加；反向偏壓則使障壁或空乏區效應增強，電流較小。

能帶圖

下圖為熱平衡時的示意圖，界面在左、半導體本體在右；$E_F$ 為平坦的共同費米能階，能帶在半導體表面向上彎曲。

能量 ↑
 金屬 n 型半導體
 表面 本體
E_C ─────────
 ╭──────╯
 ╭───╯
E_F ─────────────────────────┼──────────────────
 │
E_V ─────────
 └──────────────────→ 位置
 接面

判讀重點

核心觀念

本題考查均勻摻雜、長基區矽 $pn$ 接面的逆向飽和電流密度，以及理想二極體方程式。採用低階注入、穩態，並忽略耗盡區復合與串聯電阻的理想模型：

其中 $L_n$ 是電子在 $p$ 側的擴散長度，$L_p$ 是電洞在 $n$ 側的擴散長度：

解題方法

先由擴散係數與生命週期求出兩側少數載子的擴散長度，再代入 $J_s$ 公式。順向電流則以二極體方程式計算。題目給的波茲曼常數 $k$ 使用 $\mathrm{eV/K}$，因此指數可寫成 $V_a/(kT)$；若使用焦耳制的波茲曼常數，則寫成 $qV_a/(k_BT)$。

（一）逆向飽和電流密度

代入飽和電流密度公式：

核心觀念

題目考查 MOSFET 在線性區（非飽和區）的汲極電流公式，以及如何利用兩組閘極電壓與電流資料求出電子遷移率 $\mu_n$ 和臨界電壓 $V_T$。

長通道 MOSFET 在線性區的電流為

其中 $W/L$ 為閘極寬長比。兩組資料的 $V_{DS}$ 相同，因此相減可消去公式中的 $V_T$ 與 $V_{DS}^2/2$ 項，先求 $\mu_n$，再代回求 $V_T$。

解題方法

題目給定

且 $V_{DS}=0.1\ \mathrm{V}$。在兩組量測條件下，$V_{GS}$ 相差 $1.0\ \mathrm{V}$，汲極電流相差

將線性區公式對兩組資料相減：

因此

乾式蝕刻利用電漿中的反應性物種與離子移除材料。蝕刻方向性取決於化學反應與離子轟擊的作用：反應性自由基可向各方向擴散，造成側向蝕刻；帶電離子則受電場加速，主要垂直轟擊晶圓表面，增加垂直蝕刻速率。

因此，乾式蝕刻通常具有非等向性，尤其在離子轟擊占主導時，可形成較垂直的側壁。方向性會隨蝕刻設備與製程條件改變；若化學反應占主導，側向蝕刻也可能增加。

（二）最薄光阻厚度

核心觀念

蝕刻選擇比定義為兩種材料的蝕刻速率比。本題「鋁對光阻之蝕刻選擇比為 3」表示：

也就是鋁每蝕刻一單位厚度，光阻同時約蝕刻 $\frac{1}{3}$ 單位厚度。為保護鋁圖案上表面，光阻在整段蝕刻後仍須有足夠厚度覆蓋鋁層。

解題方法

鋁膜厚度為 $1\ \mu\mathrm{m}$，過度蝕刻為 $30\%$，所以等效鋁蝕刻總厚度為：