108 年鐵路特考高員三級電力工程考古題與詳解

Question 1

下圖為一儀表放大器電路，圖中均為理想的運算放大器。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）假設 $v_{I1}=v_{cm}-0.5v_d$ 、 $v_{I2}=v_{cm}+0.5v_d$ 、 $R'_4=R_4$ ，請以差模電壓 $v_d$ 、共模電壓 $v_{cm}$ 及電阻 $R_1\sim R_4$ 來表示端點電壓 $v_{O1}$ 、 $v_{O2}$ 及 $v_O$ 為多少？（10 分）

（二）假設圖中電阻值大小為 $R_1=10\,\mathrm{k\Omega}$ 、 $R_2=50\,\mathrm{k\Omega}$ 、 $R_3=30\,\mathrm{k\Omega}$ 、 $R_4=90\,\mathrm{k\Omega}$ ，但 $R'_4=93\,\mathrm{k\Omega}$ 。請計算在輸出端 $v_O$ 之共模拒比為多少？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考兩級儀表放大器的分析，以及共模拒比（CMRR）的計算。理想運算放大器在線性負回授下滿足 $v_+=v_-$ ，且輸入端電流為零。

共模拒比定義為差模增益與共模增益的比值：

\mathrm{CMRR}=\left|\frac{A_d}{A_{cm}}\right|

其中 $A_d=v_O/v_d$ （令 $v_{cm}=0$ ）， $A_{cm}=v_O/v_{cm}$ （令 $v_d=0$ ）。

解題方法

（一）求 $v_{O1}$ 、 $v_{O2}$ 與 $v_O$

第一級中，兩個反相端電壓分別等於同相端電壓 $v_{I1}$ 、 $v_{I2}$ 。對上方反相端套用 KCL：

\frac{v_{I1}-v_{O1}}{R_2}+\frac{v_{I1}-v_{I2}}{R_1}=0

因此

v_{O1}=v_{I1}+\frac{R_2}{R_1}(v_{I1}-v_{I2})

同理，下方反相端可得

v_{O2}=v_{I2}+\frac{R_2}{R_1}(v_{I2}-v_{I1})

由題目給定 $v_{I1}=v_{cm}-0.5v_d$ 、 $v_{I2}=v_{cm}+0.5v_d$ ，得到

v_{O1}=v_{cm}-\left(\frac{1}{2}+\frac{R_2}{R_1}\right)v_d

v_{O2}=v_{cm}+\left(\frac{1}{2}+\frac{R_2}{R_1}\right)v_d

第三級為差動放大器。當 $R'_4=R_4$ 時，非反相端電壓為

v_+=\frac{R_4}{R_3+R_4}v_{O2}

反相端套用 KCL，可得

v_O=\left(1+\frac{R_4}{R_3}\right)v_+-\frac{R_4}{R_3}v_{O1}

代入 $v_+$ 並化簡：

v_O=\frac{R_4}{R_3}(v_{O2}-v_{O1}) =\frac{R_4}{R_3}\left(1+\frac{2R_2}{R_1}\right)v_d

因此輸出不含共模項。

（二）計算輸出端 CMRR

令

Question 2

圖中二極體以分段線性模型分析，假設二極體導通時導通電壓 $V\gamma=0.6\,\mathrm{V}$、內阻為 $0\,\Omega$，截止時電流為 $0\,\mathrm{A}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （一）當輸入電壓 $VI$ 為 $2\,\mathrm{V}$，輸出電壓 $VO$ 值為多少？（5 分） （二）當輸入電壓 $VI$ 為 $5\,\mathrm{V}$，輸出電壓 $VO$ 值為多少？（5 分） （三）假設輸入電壓 $VI$ 在 $0\,\mathrm{V}$ 至 $10\,\mathrm{V}$ 間，請畫出輸出電壓 $VO$ 與輸入電壓 $VI$ 之關係圖，並註明二極體 $D1$、$D2$ 之工作狀態為導通或截止。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考二極體的分段線性模型與分段輸出特性。二極體導通時，陽極電壓比陰極電壓高 $0.6\,\mathrm{V}$ ；截止時電流為 $0$ 。依圖中方向， $D_1$ 的陽極接輸出端、陰極經 $R_1$ 接輸入端； $D_2$ 的陽極接 $+5\,\mathrm{V}$ 、陰極接輸出端。

解題方法

分別假設二極體導通或截止，套用導通壓降與電路的電流關係，再檢查各狀態是否成立。

（一） $V_I=2\,\mathrm{V}$

$D_2$ 導通時，輸出端被箝位在

V_O=5-0.6=4.4\,\mathrm{V}

此時 $D_1$ 也導通， $R_1$ 右側電壓為 $4.4-0.6=3.8\,\mathrm{V}$ 。經 $R_1$ 流向輸入端的電流為

I_{D1}=\frac{3.8-2}{0.4\,\mathrm{k}\Omega}=4.5\,\mathrm{mA}

由 $+10\,\mathrm{V}$ 經 $R_2$ 流入輸出端的電流為

I_{R2}=\frac{10-4.4}{5.6\,\mathrm{k}\Omega}=1\,\mathrm{mA}

剩餘電流由 $D_2$ 提供，方向符合 $D_2$ 導通。因此狀態成立， $V_O=4.4\,\mathrm{V}$ 。

（二） $V_I=5\,\mathrm{V}$

此時 $D_2$ 截止， $D_1$ 導通。 $D_1$ 陰極電壓為 $V_I+0.6=5.6\,\mathrm{V}$ 。由 $R_1$ 、 $R_2$ 的電流相等：

\frac{10-V_O}{5.6\,\mathrm{k}\Omega} = \frac{V_O-5.6}{0.4\,\mathrm{k}\Omega}

解得

V_O=\frac{7.36+5.6V_I}{6} =\frac{7.36+5.6(5)}{6} \approx 5.89\,\mathrm{V}

因 $V_O>4.4\,\mathrm{V}$ ， $D_2$ 確實截止。

（三） $V_I$ 與 $V_O$ 的關係

低輸入時， $D_1$ 、 $D_2$ 均導通， $V_O=4.4\,\mathrm{V}$ 。此段切換點由 $D_2$ 電流降至零求得： $R_2$ 電流為 $1\,\mathrm{mA}$ ，因此 $R_1$ 電流也為

Question 3

下圖為一 MOSFET 放大器電路，假設電路參數為 $V{DD}=12\,\mathrm{V}$、$RL=10\,\mathrm{k\Omega}$、$RS=0.5\,\mathrm{k\Omega}$、$C{C1}=C{C2}=\infty$；電晶體參數為 $V{TN}=2\,\mathrm{V}$、$Kn=0.5\,\mathrm{mA/V^2}$、$\lambda=0$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （一）令放大器之輸入阻抗為 $R{in}=200\,\mathrm{k\Omega}$，電晶體直流電流大小為 $I{DQ}=2\,\mathrm{mA}$ 且電晶體直流電壓值大小為 $V{DSQ}=5\,\mathrm{V}$，請設計電阻 $R1$、$R2$ 與 $RD$ 值分別為多少？（10 分） （二）計算此放大器之小訊號電壓增益 $Av=vo/vi$ 為多少？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

這題考查分壓偏壓 MOSFET 共源放大器的直流工作點設計，以及含源極電阻與負載的小訊號電壓增益。

採用題目所給 $K_n$ 的平方律定義：

I_D=K_n(V_{GS}-V_{TN})^2

因此跨導為：

g_m=2K_n(V_{GS}-V_{TN})

解題方法

（一）設計 $R_1$ 、 $R_2$ 與 $R_D$

直流時耦合電容開路，源極電壓為：

V_S=I_{DQ}R_S=(2\,\mathrm{mA})(0.5\,\mathrm{k\Omega})=1\,\mathrm{V}

由 $V_{DSQ}=5\,\mathrm{V}$ 得汲極電壓：

V_D=V_S+V_{DSQ}=1+5=6\,\mathrm{V}

因此：

R_D=\frac{V_{DD}-V_D}{I_{DQ}} =\frac{12-6}{2\,\mathrm{mA}} =3\,\mathrm{k\Omega}

由平方律求過驅電壓：

V_{OV}=V_{GS}-V_{TN} =\sqrt{\frac{I_{DQ}}{K_n}} =\sqrt{\frac{2\,\mathrm{mA}}{0.5\,\mathrm{mA/V^2}}} =2\,\mathrm{V}

所以：

V_{GS}=V_{TN}+V_{OV}=2+2=4\,\mathrm{V}

V_G=V_S+V_{GS}=1+4=5\,\mathrm{V}

$R_1$ 、 $R_2$ 的分壓需提供 $V_G=5\,\mathrm{V}$ ，且 MOSFET 閘極直流電流近似為零，故：

\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{V_G}{V_{DD}}=\frac{5}{12}

整理得 $R_1:R_2=7:5$ 。再利用輸入電阻條件：

R_{in}=R_1\parallel R_2=200\,\mathrm{k\Omega}

令 $R_1=7x,\ R_2=5x$ ，則：

Question 4

下圖為一 BJT 放大器電路，假設電路參數為 $V{CC}=12\,\mathrm{V}$、$RC=5\,\mathrm{k\Omega}$、$R1\parallel R2=10\,\mathrm{k\Omega}$、$RS=1\,\mathrm{k\Omega}$；電晶體參數為 $I{CQ}=1\,\mathrm{mA}$、$\beta=100$、導通電壓 $V{BE}=0.7\,\mathrm{V}$、熱電壓 $VT=26\,\mathrm{mV}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （一）假設電容 $CC=1\,\mu\mathrm{F}$，請問與 $CC$ 有關的轉折點頻率為多少？（10 分） （二）假設電晶體內部電容 $C\pi=10\,\mathrm{pF}$、$C\mu=1\,\mathrm{pF}$，請問高頻的轉折點頻率為多少？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

這題考耦合電容造成的低頻轉折點，以及電晶體內部電容造成的高頻轉折點。

小訊號參數為

g_m=\frac{I_{CQ}}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta}{g_m}=\frac{\beta V_T}{I_{CQ}}

低頻部分，耦合電容 $C_C$ 兩端看到的等效電阻為左右兩側電阻相加。高頻部分則以開路時間常數法估算轉折頻率，分別計算 $C_\pi$ 、 $C_\mu$ 所看到的電阻。

（一）與 $C_C$ 有關的轉折頻率

電晶體小訊號輸入電阻為

r_\pi=\frac{\beta V_T}{I_{CQ}} =\frac{100(26\,\mathrm{mV})}{1\,\mathrm{mA}} =2.6\,\mathrm{k\Omega}

從 $C_C$ 右側看入，偏壓電阻與 $r_\pi$ 並聯：

R_{\text{右}}=(R_1\parallel R_2)\parallel r_\pi =10\,\mathrm{k\Omega}\parallel2.6\,\mathrm{k\Omega} =2.063\,\mathrm{k\Omega}

因此，電容兩端看到的等效電阻為

R_{C_C}=R_S+R_{\text{右}} =1+2.063 =3.063\,\mathrm{k\Omega}

轉折頻率為

f_{C_C}=\frac{1}{2\pi R_{C_C}C_C} =\frac{1}{2\pi(3.063\,\mathrm{k\Omega})(1\,\mu\mathrm{F})} \approx 51.9\,\mathrm{Hz}

（二）高頻轉折頻率

高頻分析時， $C_C$ 視為短路，電源 $V_{CC}$ 為交流接地。先算

Question 5

下圖為 CMOS 邏輯閘電路，請回答下列問題。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請以邏輯輸入 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 表示邏輯輸出 $Y$ 。（10 分）

（二）承上，請畫出對應的 PMOS 邏輯電路。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

CMOS 邏輯閘由互補的上拉網路（PMOS）與下拉網路（NMOS）組成。NMOS 在閘極輸入為 $1$ 時導通；PMOS 在閘極輸入為 $0$ 時導通。下拉網路導通時，輸出 $Y=0$ ；上拉網路導通時，輸出 $Y=1$ 。

解題方法

由圖可讀出，下拉 NMOS 網路是：

$A$ 與後段網路串聯；
後段網路包含兩條並聯支路： $B$ 與 $D$ 串聯，以及 $C$ 與 $E$ 串聯。

因此，下拉網路的導通條件為

A(BD+CE)=1

這是輸出為低電位的條件，所以輸出邏輯為

Y=\overline{A(BD+CE)}

利用德摩根定理，也可寫成

Y=\overline{A}+\overline{(BD+CE)} =\overline{A}+(\overline{B}+\overline{D})(\overline{C}+\overline{E})

對應的 PMOS 邏輯電路

PMOS 上拉網路是 NMOS 下拉網路的串並聯對偶：NMOS 的串聯改為 PMOS 並聯，NMOS 的並聯改為 PMOS 串聯。因此，PMOS 網路由兩個並聯部分組成：

108 鐵路特考高員三級電力工程電子學考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

解題方法

第二題20 分

核心觀念

解題方法

（一） $V_I=2\,\mathrm{V}$

（二） $V_I=5\,\mathrm{V}$

（三） $V_I$ 與 $V_O$ 的關係

第三題20 分

核心觀念

解題方法

（一）設計 $R_1$ 、 $R_2$ 與 $R_D$

第四題20 分

核心觀念

（一）與 $C_C$ 有關的轉折頻率

（二）高頻轉折頻率

第五題20 分

核心觀念

解題方法

對應的 PMOS 邏輯電路

其他考古題

電力工程《電子學》其他年度

108 年鐵路特考高員三級・其他類科的《電子學》

108 鐵路特考高員三級 電力工程 電子學 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

解題方法

第 二 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）VI=2 VV_I=2\,\mathrm{V}VI​=2V

（二）VI=5 VV_I=5\,\mathrm{V}VI​=5V

（三）VIV_IVI​ 與 VOV_OVO​ 的關係

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）設計 R1R_1R1​、R2R_2R2​ 與 RDR_DRD​

第 四 題20 分

核心觀念

（一）與 CCC_CCC​ 有關的轉折頻率

（二）高頻轉折頻率

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法

對應的 PMOS 邏輯電路

其他考古題

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第一題20 分

第二題20 分

（一） $V_I=2\,\mathrm{V}$

（二） $V_I=5\,\mathrm{V}$

（三） $V_I$ 與 $V_O$ 的關係

第三題20 分

（一）設計 $R_1$ 、 $R_2$ 與 $R_D$

第四題20 分

（一）與 $C_C$ 有關的轉折頻率

第五題20 分