112 鐵路特考員級 建築工程 工程力學概要 考古題詳解

112 年・鐵路特考・員級・建築工程
試題代碼 工程力學概要

第 一 題25 分

圖一之梁受到三集中力之平面力系作用，將此平面力系化為在 BB 點之等效合力（equivalent force）F⃗R\vec{F}_R 及力矩 MBM_B，求 F⃗R\vec{F}_R 及 MBM_B 之大小及方向。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

平面力系可等效為：

  1. 作用於 BB 點的合力 F⃗R=∑F⃗\vec F_R=\sum \vec F

  2. 作用於 BB 點的合力矩 MB=∑MBM_B=\sum M_B

取水平向右為 +x+x 軸、鉛直向上為 +y+y 軸，逆時針力矩為正。

由圖可知，梁上三力的位置為：

  • 10 kN10\text{ kN}：距 AA 點 2 m2\text{ m}，距 BB 點 6 m6\text{ m}
  • 6 kN6\text{ kN}：距 BB 點 2 m2\text{ m}
  • 8 kN8\text{ kN}：作用於 BB 點

解題方法

一、分解各集中力

10 kN10\text{ kN} 力

圖示方向三角形為水平 44、鉛直 33、斜邊 55，因此：

F1x=−10(45)=−8 kNF_{1x}=-10\left(\frac{4}{5}\right)=-8\text{ kN} F1y=−10(35)=−6 kNF_{1y}=-10\left(\frac{3}{5}\right)=-6\text{ kN}

6 kN6\text{ kN} 力

此力與鉛直線夾角為 30∘30^\circ，方向向右下：

F2x=6sin⁡30∘=3 kNF_{2x}=6\sin30^\circ=3\text{ kN} F2y=−6cos⁡30∘=−5.196 kNF_{2y}=-6\cos30^\circ=-5.196\text{ kN}

8 kN8\text{ kN} 力

F3x=0,F3y=−8 kNF_{3x}=0,\qquad F_{3y}=-8\text{ kN}

二、求作用於 BB 點的等效合力

水平方向：

FRx=−8+3+0=−5 kNF_{Rx}=-8+3+0=-5\text{ kN}

鉛直方向：

FRy=−6−5.196−8=−19.196 kNF_{Ry}=-6-5.196-8=-19.196\text{ kN}

故：

F⃗R=(−5 i−19.196 j) kN\boxed{\vec F_R=(-5\,\mathbf i-19.196\,\mathbf j)\text{ kN}}

合力大小為：

FR=FRx2+FRy2F_R=\sqrt{F_{Rx}^2+F_{Ry}^2} FR=(−5)2+(−19.196)2=19.84 kNF_R=\sqrt{(-5)^2+(-19.196)^2} =19.84\text{ kN}

合力方向為向左下。若以鉛直向下方向為基準：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

圖二之桁架 ABCDABCD 用來懸吊重為 80 kg80\,\mathrm{kg} 之圓柱。繩索跨過半徑為 100 mm100\,\mathrm{mm} 之無摩擦滑輪 BB 及滑輪 CC 將圓柱懸吊起來。略去桁架、繩索及滑輪的重量，求 AA 點及 DD 點水平及垂直反力：AxA_x、AyA_y、DxD_x、DyD_y。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查：

  1. 無摩擦滑輪的繩張力相等。
  2. 圓柱靜止懸吊，因此繩張力為圓柱重量。
  3. 桁架各構件的靜力平衡： ∑Fx=0,∑Fy=0,∑M=0\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0
  4. 斜桿 CDCD 為構件，繩索端點固定於斜桿與 BB 點鉛直線的交點。

取向右、向上為正，並以 g=9.81 m/s2g=9.81\,\mathrm{m/s^2}。

圓柱重量為

W=mg=80(9.81)=784.8 NW=mg=80(9.81)=784.8\,\mathrm{N}

因滑輪無摩擦，繩張力

T=W=784.8 N=0.7848 kNT=W=784.8\,\mathrm{N}=0.7848\,\mathrm{kN}

解題方法

一、繩索對滑輪的作用力

在 BB 點，繩索兩段方向分別為水平向右及鉛直向下，因此滑輪所受繩索作用力為：

  • 水平向右：TT
  • 鉛直向下：TT

在 CC 點，繩索兩段方向分別為水平向左及鉛直向下，因此滑輪所受作用力為：

  • 水平向左：TT
  • 鉛直向下：TT

繩索另一端固定於斜桿 CDCD 上，固定點受繩索向上的拉力 TT。

由圖得：

  • AB=0.8 mAB=0.8\,\mathrm{m}
  • BC=0.8 mBC=0.8\,\mathrm{m}
  • AC=1.6 mAC=1.6\,\mathrm{m}
  • AD=1.2 mAD=1.2\,\mathrm{m}
  • 繩索固定點位於 BB 點正下方，因此距 DD 點水平距離為 0.8 m0.8\,\mathrm{m}。

二、分析水平桿 ACAC

設斜桿在 CC 點對水平桿的作用力為 Cx,CyC_x,C_y。

對水平桿 ACAC 取 AA 點力矩：

∑MA=0\sum M_A=0 Cy(1.6)−T(0.8)−T(1.6)=0C_y(1.6)-T(0.8)-T(1.6)=0

因此

1.6Cy=2.4T1.6C_y=2.4T Cy=1.5TC_y=1.5T

再由垂直力平衡：

Ay+Cy−T−T=0A_y+C_y-T-T=0 Ay+1.5T−2T=0A_y+1.5T-2T=0 Ay=0.5TA_y=0.5T

水平力平衡：

Ax+Cx+T−T=0A_x+C_x+T-T=0 Ax=−CxA_x=-C_x

三、分析斜桿 CDCD

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題15 分

圖三之梁 ABCDABCD 受到分布載重作用：

（一）求最大彎矩 Mmax⁡M_{\max} 及其位置。（15 分）

（二）若 (VB)右(V_B)_{\text{右}} 為緊鄰 BB 點右邊的剪力；(VC)左(V_C)_{\text{左}} 為緊鄰 CC 點左邊的剪力，求 (VC)左−(VB)右(V_C)_{\text{左}}-(V_B)_{\text{右}} 之值。（5 分）

（三）在 EE 點（距 AA 點 1 m1\,\mathrm{m}），剪力圖上的斜率 ==？彎矩圖上的斜率 ==？（5 分）

分布載重由 AA 點之 00 線性增加至 DD 點之 8000 N/m8000\,\mathrm{N/m}；AB=0.6 mAB=0.6\,\mathrm{m}、BC=2.4 mBC=2.4\,\mathrm{m}、CD=0.6 mCD=0.6\,\mathrm{m}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查：

  • 線性變化三角形分布載重之合力與作用位置。
  • 簡支梁支承反力。
  • 剪力圖與彎矩圖的關係：

dVdx=−w(x),dMdx=V(x)\frac{dV}{dx}=-w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V(x)

取向下分布載重為正值，彎矩採「下凹、跨中下側受拉」為正。

梁長為

AD=0.6+2.4+0.6=3.6 mAD=0.6+2.4+0.6=3.6\ \text{m}

令 xx 自 AA 點向右量測，則分布載重為

w(x)=80003.6x=200009x N/mw(x)=\frac{8000}{3.6}x=\frac{20000}{9}x\ \text{N/m}

解題方法

一、求支承反力

三角形分布載重之總合力為

W=12(3.6)(8000)=14400 NW=\frac{1}{2}(3.6)(8000)=14400\ \text{N}

其作用位置位於大端 DD 左側 1/31/3 梁長，亦即距離 AA：

xW=23(3.6)=2.4 mx_W=\frac{2}{3}(3.6)=2.4\ \text{m}

設 B、CB、C 點反力分別為 RB、RCR_B、R_C。

對 BB 點取力矩：

RC(2.4)−14400(2.4−0.6)=0R_C(2.4)-14400(2.4-0.6)=0

RC=14400(1.8)2.4=10800 NR_C=\frac{14400(1.8)}{2.4}=10800\ \text{N}

由垂直力平衡：

RB+RC=14400R_B+R_C=14400

RB=3600 NR_B=3600\ \text{N}

二、建立剪力函數

1. AA 至 BB 區間：0≤x≤0.60\leq x\leq0.6

左側載重合力為

∫0xw(s) ds=∫0x200009s ds=100009x2\int_0^x w(s)\,ds =\int_0^x\frac{20000}{9}s\,ds =\frac{10000}{9}x^2

因此

V(x)=−100009x2V(x)=-\frac{10000}{9}x^2

在 BB 點左側：

VB左=−100009(0.6)2=−400 NV_{B左}=-\frac{10000}{9}(0.6)^2=-400\ \text{N}

經過 BB 點後，剪力增加 RB=3600 NR_B=3600\ \text{N}：

(VB)右=−400+3600=3200 N\boxed{(V_B)_{\text{右}}=-400+3600=3200\ \text{N}}

2. BB 至 CC 區間：0.6≤x≤3.00.6\leq x\leq3.0

V(x)=3200−100009(x2−0.62)V(x)=3200-\frac{10000}{9}\left(x^2-0.6^2\right)

在 CC 點左側：

(VC)左=3200−100009(32−0.62)=3200−9600=−6400 N\begin{aligned} (V_C)_{\text{左}} &=3200-\frac{10000}{9}(3^2-0.6^2)\\ &=3200-9600\\ &=-6400\ \text{N} \end{aligned}

（一）最大彎矩及其位置

彎矩最大或最小的位置，發生在剪力為零處。

在 BB 至 CC 區間令 V(x)=0V(x)=0：

3200−100009(x2−0.36)=03200-\frac{10000}{9}(x^2-0.36)=0

x2−0.36=2.88x^2-0.36=2.88

x2=3.24x^2=3.24

x=1.8 mx=1.8\ \text{m}

因此最大彎矩位置距離 AA 點：

x=1.8 m\boxed{x=1.8\ \text{m}}

計算 x=1.8x=1.8 m 處彎矩

AA 點為自由端，故

MA=0M_A=0

在 BB 點：

MB=−∫00.6w(s)(0.6−s) ds=−80 N⋅mM_B=-\int_0^{0.6}w(s)(0.6-s)\,ds=-80\ \text{N}\cdot\text{m}

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

長度 L=1 mL=1\,\mathrm{m} 之 II 型截面簡支梁，承受均佈載重 q=40 N/mq=40\,\mathrm{N/m} 之作用，如圖四（a）及圖四（b）所示。求在 AA-AA 截面上之最大剪應力 τmax⁡\tau_{\max} 大小，及 AA-AA 截面 BB 點之水平剪應力 τB\tau_B 大小。

截面及載重資料如下：

h=500 mmh=500\,\mathrm{mm}

h1=440 mmh_1=440\,\mathrm{mm}

tw=30 mmt_w=30\,\mathrm{mm}

b=240 mmb=240\,\mathrm{mm}

a=80 mma=80\,\mathrm{mm}

AA-AA 截面位於距右側支承 L/4L/4 處。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查簡支梁之剪力及梁截面剪應力公式：

  1. 均佈載重下的支承反力。
  2. AA-AA 截面之剪力 VV。
  3. 梁截面剪應力公式
τ=VQIb\tau=\frac{VQ}{Ib}

其中：

  • VV：截面剪力
  • QQ：考慮面積對中性軸的一次矩
  • II：全截面對中性軸之慣性矩
  • bb：該位置截面之寬度

II 型截面的最大剪應力發生於中性軸處，且位於腹板內；下翼板之水平剪應力則使用翼板厚度作為公式中的 bb。

一、求 AA-AA 截面剪力

梁長度為 L=1 mL=1\,\mathrm{m}，均佈載重為 q=40 N/mq=40\,\mathrm{N/m}。

總載重：

W=qL=40(1)=40 NW=qL=40(1)=40\,\mathrm{N}

由於載重及梁跨對稱，兩端支承反力為：

RA=RD=qL2=20 NR_A=R_D=\frac{qL}{2}=20\,\mathrm{N}

AA-AA 截面位於距右側支承 L/4L/4 處，因此距左側支承為：

x=L−L4=3L4=0.75 mx=L-\frac{L}{4}=\frac{3L}{4}=0.75\,\mathrm{m}

截面左側之剪力：

V=RA−qxV=R_A-qx V=20−40(0.75)=−10 NV=20-40(0.75)=-10\,\mathrm{N}

因此剪力大小為：

∣V∣=10 N|V|=10\,\mathrm{N}

負號只代表剪力方向，計算剪應力大小時取 10 N10\,\mathrm{N}。

二、截面幾何性質

已知：

h=500 mm,h1=440 mmh=500\,\mathrm{mm},\qquad h_1=440\,\mathrm{mm}

故上下翼板厚度為：

tf=h−h12=500−4402=30 mmt_f=\frac{h-h_1}{2} =\frac{500-440}{2} =30\,\mathrm{mm}

且：

tw=30 mm,b=240 mmt_w=30\,\mathrm{mm},\qquad b=240\,\mathrm{mm}

由截面上下對稱，中性軸位於截面高度中央。

1. 全截面对中性軸之慣性矩

上下翼板：

If=2[btf312+btf(h2−tf2)2]I_f =2\left[ \frac{bt_f^3}{12} +bt_f\left(\frac{h}{2}-\frac{t_f}{2}\right)^2 \right]

其中：

h2−tf2=250−15=235 mm\frac{h}{2}-\frac{t_f}{2} =250-15=235\,\mathrm{mm}

腹板：

Iw=twh1312I_w=\frac{t_wh_1^3}{12}

因此：

I=2[240(30)312+240(30)(235)2]+30(440)312I =2\left[ \frac{240(30)^3}{12} +240(30)(235)^2 \right] +\frac{30(440)^3}{12} I=1.01036×109 mm4I=1.01036\times10^9\,\mathrm{mm^4}

三、AA-AA 截面最大剪應力

最大剪應力位於中性軸處的腹板內，因此：

b=tw=30 mmb=t_w=30\,\mathrm{mm}

取中性軸以上的面積計算一次矩 QQ。

1. 中性軸以上翼板

Af=btf=240(30)=7200 mm2A_f=bt_f=240(30)=7200\,\mathrm{mm^2}

翼板形心至中性軸距離：

yˉf=235 mm\bar y_f=235\,\mathrm{mm} Qf=Afyˉf=7200(235)=1.692×106 mm3Q_f=A_f\bar y_f =7200(235) =1.692\times10^6\,\mathrm{mm^3}

2. 中性軸以上腹板

中性軸以上腹板高度為：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

建築工程《工程力學概要》其他年度

109108