115 高普考普通考試 土木工程 材料力學與結構學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查軸向受力桿件的：

• 內力判定
• 正應力公式 $\sigma=\frac{N}{A}$
• 軸向變形公式 $\delta=\frac{NL}{AE}$

其中：

• $N$：桿件內軸力
• $A=600\ \mathrm{mm^2}$
• $E=210\ \mathrm{GPa}=210000\ \mathrm{N/mm^2}$
• $AB=3\ \mathrm{m}=3000\ \mathrm{mm}$
• $BC=3\ \mathrm{m}=3000\ \mathrm{mm}$

圖中 $B$ 點受 $20\ \mathrm{kN}$ 向右力，$C$ 點受 $50\ \mathrm{kN}$ 向右力。

解題方法

採用「逐段取剖面」判定內力。由於所有外力均沿桿軸方向作用，桿件只承受軸向力。

（一）最大正應力

1. 求各段內力

對 $AB$ 段任一剖面取右側自由體：

右側包含 $B$ 點與 $C$ 點的外力，因此

$$N_{AB}=20+50=70\ \mathrm{kN}$$

為拉力。

對 $BC$ 段任一剖面取右側自由體：

右側僅包含 $C$ 點的外力，因此

$$N_{BC}=50\ \mathrm{kN}$$

亦為拉力。

2. 計算各段正應力

$AB$ 段：

$$\sigma_{AB} =\frac{70\times10^3}{600} =116.67\ \mathrm{N/mm^2} =116.67\ \mathrm{MPa}$$

$BC$ 段：

$$\sigma_{BC} =\frac{50\times10^3}{600} =83.33\ \mathrm{MPa}$$

因此最大正應力發生於 $AB$ 段。

（二）$C$ 點水平位移

核心觀念

本題考查：

• 簡支梁承受全跨均布載重時的支承反力。
• 最大彎矩位置及大小。
• 梁的彎曲正應力公式：

$$\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}c}{I}$$

均布載重為 $w=10\ \mathrm{kN/m}$，梁長為 $L=5\ \mathrm{m}$。

---

解題方法

（一）梁中之斷面最大彎矩

全跨均布載重作用於對稱簡支梁，因此兩端支承反力相等：

$$R_A=R_B=\frac{wL}{2} =\frac{10\times 5}{2} =25\ \mathrm{kN}$$

簡支梁承受全跨均布載重時，最大彎矩發生於跨中：

$$M_{\max}=\frac{wL^2}{8}$$

代入數值：

$$M_{\max} =\frac{10(5)^2}{8} =31.25\ \mathrm{kN\cdot m}$$

彎矩方向為跨中下凹的正彎矩，亦稱下緣受拉、上緣受壓的下垂彎矩：

$$\boxed{M_{\max}=31.25\ \mathrm{kN\cdot m}}$$

位置在梁跨中，距離 A、B 支承各 $2.5\ \mathrm{m}$。

---

（二）梁中之斷面最大正應力

梁斷面為邊長 $50\ \mathrm{cm}=0.5\ \mathrm{m}$ 的正方形。

其中性軸至最外緣距離為：

$$c=\frac{h}{2}=\frac{0.5}{2}=0.25\ \mathrm{m}$$

正方形斷面對中性軸的慣性矩為：

$$I=\frac{bh^3}{12} =\frac{(0.5)(0.5)^3}{12} =0.0052083\ \mathrm{m^4}$$

最大彎曲正應力：

$$\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}c}{I}$$

核心觀念

本題考查平面桁架之：

• 支承反力計算；
• 節點法（Method of Joints）；
• 二力桿件內力判定；
• 拉力、壓力之符號與方向。

桁架各桿件視為兩端鉸接之二力桿件，因此桿件內力只有軸力，方向沿桿件中心線。計算時可先假設各桿件均受拉，若求得內力為負值，即表示該桿件實際受壓。

由圖可取各節點座標：

$$a(0,0),\quad b(2,0),\quad c(4,0),\quad d(6,0)$$ $$e(2,2),\quad f(4,4),\quad g(6,4)$$

斜桿 $ef$、$fd$ 的水平差為 $2\ \mathrm{m}$、垂直差為 $4\ \mathrm{m}$，故其方向三角形為：

$$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$$

因此斜桿方向餘弦為：

$$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad \sin\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$$

斜桿 $ae$、$ef$ 的水平差與垂直差相等，故其方向角為 $45^\circ$。

---

（一）支承反力

1. 支承型式與未知反力

$a$ 點為鉸支承，具有水平及垂直反力：

$$A_x,\quad A_y$$

$c$ 點為滾支承，只有垂直反力：

$$C_y$$

$d$ 點受向下集中力 $10\ \mathrm{kN}$。

2. 整體平衡

水平方向：

$$\sum F_x=0$$ $$A_x=0$$

以 $a$ 點取力矩：

$$\sum M_a=0$$ $$C_y(4)-10(6)=0$$ $$C_y=15\ \mathrm{kN}$$

垂直方向：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+C_y-10=0$$ $$A_y+15-10=0$$ $$A_y=-5\ \mathrm{kN}$$

負號表示 $a$ 點反力方向與假設向上相反，即向下。

---

（二）各桿件內力

桿件包括：

$$ab,\ bc,\ cd,\ ae,\ eb,\ ec,\ ef,\ fc,\ fd,\ fg,\ gd$$

以下均先假設桿件受拉。

1. $g$ 點

$g$ 點只有兩個不共線桿件 $fg$、$gd$，且無外力作用，因此為零力節點：

$$N_{fg}=0,\qquad N_{gd}=0$$

2. $d$ 點

$d$ 點受向下 $10\ \mathrm{kN}$，並連接 $cd$、$fd$、$gd$。

由於 $N_{gd}=0$，取 $d$ 點平衡：

水平方向：

$$-N_{cd}-\frac{1}{\sqrt5}N_{fd}=0$$

垂直方向：

$$\frac{2}{\sqrt5}N_{fd}-10=0$$

因此：

$$N_{fd}=5\sqrt5\ \mathrm{kN}$$

為正，故 $fd$ 桿受拉。

代回水平方程式：

$$N_{cd}=-5\ \mathrm{kN}$$

故 $cd$ 桿受壓。

3. $f$ 點

$f$ 點連接 $ef$、$fc$、$fd$、$fg$，且 $N_{fg}=0$。

水平方向：

$$-\frac{1}{\sqrt2}N_{ef} +\frac{1}{\sqrt5}N_{fd}=0$$

代入 $N_{fd}=5\sqrt5$：

$$-\frac{1}{\sqrt2}N_{ef}+5=0$$ $$N_{ef}=5\sqrt2\ \mathrm{kN}$$

故 $ef$ 桿受拉。

垂直方向：

$$-\frac{1}{\sqrt2}N_{ef} -N_{fc} -\frac{2}{\sqrt5}N_{fd}=0$$ $$-5-N_{fc}-10=0$$ $$N_{fc}=-15\ \mathrm{kN}$$

故 $fc$ 桿受壓。

4. $c$ 點

核心觀念

本題考查：

• 固定端可提供水平反力、垂直反力及固定端彎矩。
• 滾支承僅提供垂直反力。
• 內鉸點不能傳遞彎矩，因此 $M_B=0$。
• 以內鉸點 $B$ 將梁分成 $AB$ 與 $BC$ 兩個自由體，各段分別列平衡方程式。
• 剪力圖中，集中力會造成剪力跳躍；彎矩圖斜率等於剪力，內鉸點彎矩必為零。

由圖得：

$$AB=4\text{ m},\qquad BD=2\text{ m},\qquad DC=2\text{ m}$$

集中荷載：

$$P=10\text{ kN}$$

---

（一）各支承反力

1. 分析右段 $BC$

右段在 $B$ 為內鉸，故：

$$M_B=0$$

設 $C$ 點滾支承反力為 $C_y$，方向先假設向上。

對 $B$ 點取力矩：

$$\sum M_B=0$$ $$C_y(4)-10(2)=0$$

因此：

$$C_y=5\text{ kN}$$

方向為向上。

再對右段列垂直力平衡。設右段內鉸力為 $B_y^{(右)}$：

$$\sum F_y=0$$ $$B_y^{(右)}+5-10=0$$ $$B_y^{(右)}=5\text{ kN}$$

右段在 $B$ 受到向上的 $5\text{ kN}$；依作用力與反作用力，左段在 $B$ 受到向下的 $5\text{ kN}$。

---

2. 分析左段 $AB$

設固定端 $A$ 的反力為 $A_x、A_y$，固定端反力矩為 $M_A$。

因所有外力均為垂直力：

$$A_x=0$$

對左段列垂直力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y-5=0$$ $$A_y=5\text{ kN}$$

方向為向上。

對 $A$ 點取力矩：

$$\sum M_A=0$$

外力 $5\text{ kN}$ 作用於 $B$，使 $A$ 點產生順時針力矩：

$$M_A-5(4)=0$$ $$M_A=20\text{ kN}\cdot\text{m}$$

方向為逆時針。

---

支承反力結果

$$\boxed{A_x=0}$$ $$\boxed{A_y=5\text{ kN}\ \text{向上}}$$ $$\boxed{M_A=20\text{ kN}\cdot\text{m}\ \text{逆時針}}$$ $$\boxed{C_y=5\text{ kN}\ \text{向上}}$$

內鉸點 $B$ 的傳遞剪力大小為：

$$\boxed{B_y=5\text{ kN}}$$

左段受向下 $5\text{ kN}$，右段受向上 $5\text{ kN}$；內鉸點不傳遞彎矩：

$$\boxed{M_B=0}$$

---

（二）剪力圖

採用「向上反力使剪力增加、向下集中力使剪力減少」的正號約定。

1. $A$ 至 $D$ 區段

由 $A$ 點反力 $5\text{ kN}$，至集中荷載 $D$ 前，剪力均為：

$$V=+5\text{ kN}$$

因此：

• $A$ 至 $B$：$V=+5\text{ kN}$
• $B$ 至 $D$：$V=+5\text{ kN}$

在 $B$ 點雖有內鉸，但沒有外加集中力，所以剪力圖不跳躍。

2. $D$ 點

$D$ 點有向下 $10\text{ kN}$ 集中力，因此剪力下降 $10\text{ kN}$：

$$V_{D^+}=5-10=-5\text{ kN}$$

3. $D$ 至 $C$ 區段

$$V=-5\text{ kN}$$

在 $C$ 點受到向上 $5\text{ kN}$ 支承反力：

$$V_{C^+}=-5+5=0$$

剪力圖關鍵值