109 高普考普通考試 電子工程 基本電學 考古題詳解

109 年・高普考・普通考試・電子工程
試題代碼 基本電學

第 一 題20 分

在 20∘C20^\circ\mathrm{C} 的環境下，假設有一均勻之鎳鉻線材，其線材兩端之量測電阻為 3.5 Ω3.5\,\Omega。其線材之截面積為圓形，直徑為 0.1 cm0.1\,\mathrm{cm}，線材長度為 10 m10\,\mathrm{m}。在此條件下，求此線材之電阻係數為多少 Ω-cm\Omega\text{-cm}？

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核心觀念

均勻線材的電阻與材料電阻係數、線長及截面積的關係為

R=ρLAR=\rho\frac{L}{A}

其中 RR 為電阻、ρ\rho 為電阻係數、LL 為線長、AA 為截面積。整理可得

ρ=RAL\rho=R\frac{A}{L}

本題要求以 Ω-cm\Omega\text{-cm} 表示電阻係數，因此長度須統一換算為 cm\mathrm{cm}。

解題方法

已知線材直徑 d=0.1 cmd=0.1\,\mathrm{cm}，其半徑為

r=d2=0.05 cmr=\frac{d}{2}=0.05\,\mathrm{cm}

圓形截面積為

A=πr2=π(0.05)2=0.0025π cm2A=\pi r^2=\pi(0.05)^2 =0.0025\pi\,\mathrm{cm^2}

線長換算為

L=10 m=1000 cmL=10\,\mathrm{m}=1000\,\mathrm{cm}
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第 二 題20 分

如圖一的電路，利用重疊定理計算 V1V_1、V2V_2、I1I_1 三組電源，分別對 R2R_2 電阻產生多少電流值，同時計算經過 R2R_2 之總電流 IABI_{AB} 之值。

假設 V1=10 VV_1=10\,\mathrm{V}、V2=10 VV_2=10\,\mathrm{V}、I1=3 AI_1=3\,\mathrm{A}、R1=R4=R5=5 ΩR_1=R_4=R_5=5\,\Omega、R2=R3=10 ΩR_2=R_3=10\,\Omega。

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核心觀念

本題考查重疊定理：在線性電路中，各獨立電源分別作用所產生的支路電流，作代數相加後，即為所有電源同時作用時的總電流。

計算某一電源的貢獻時，其他獨立電壓源以短路取代，獨立電流源以開路取代。以下將 IABI_{AB} 的正方向定為由 AA 流向 BB。由於 R2R_2 連接 A、BA、B，其電流為

IR2=VA−VBR2=VA−VB10I_{R_2}=\frac{V_A-V_B}{R_2}=\frac{V_A-V_B}{10}

解題方法

令節點 CC 為參考點，並注意 R2R_2、R3R_3 都接在 A、BA、B 之間；兩者電阻均為 10 Ω10\,\Omega，所以在節點方程式中，它們合計的電導相當於 5 Ω5\,\Omega。

1. 只保留電壓源 V1V_1

將 V2V_2 短路、將 I1I_1 開路。此時 R5R_5 支路斷路，不影響節點方程式；R4R_4 則接至參考點。

節點 A、BA、B 的方程式為

VA−VB5+VA−105=0\frac{V_A-V_B}{5}+\frac{V_A-10}{5}=0 VB−VA5+VB5=0\frac{V_B-V_A}{5}+\frac{V_B}{5}=0

由第二式得 VA=2VBV_A=2V_B；代入第一式可得

VA=203 V,VB=103 VV_A=\frac{20}{3}\,\mathrm{V},\qquad V_B=\frac{10}{3}\,\mathrm{V}

因此 V1V_1 對 R2R_2 的電流貢獻為

IR2,V1=VA−VB10=13 AI_{R_2,V_1}=\frac{V_A-V_B}{10} =\frac{1}{3}\,\mathrm{A}

方向為 A→BA\to B。

2. 只保留電壓源 V2V_2

將 V1V_1 短路、將 I1I_1 開路。此時 R1R_1 接至參考點，而 V2V_2 上端電位為 10 V10\,\mathrm{V}。

節點方程式為

VA−VB5+VA5=0\frac{V_A-V_B}{5}+\frac{V_A}{5}=0 VB−VA5+VB−105=0\frac{V_B-V_A}{5}+\frac{V_B-10}{5}=0

解得

VA=103 V,VB=203 VV_A=\frac{10}{3}\,\mathrm{V},\qquad V_B=\frac{20}{3}\,\mathrm{V}

因此

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第 三 題20 分

如圖二的電路，假設電容器之兩端電壓 VC(0)=0 VV_C(0)=0\,\mathrm{V}，在 t>0t>0 其電壓變化為

VC(t)=4(1−e−10t) VV_C(t)=4(1-e^{-10t})\,\mathrm{V}

另外 R1=R2=4 kΩR_1=R_2=4\,\mathrm{k}\Omega、R3=8 kΩR_3=8\,\mathrm{k}\Omega、R4=3 kΩR_4=3\,\mathrm{k}\Omega、V1=8 VV_1=8\,\mathrm{V}，請求出電容 CC 之電容值為多少 F\mathrm{F}？

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核心觀念

本題考查一階 RC 電路的時間常數。電容電壓的指數項可寫成 e−t/τe^{-t/\tau}，其中時間常數

τ=RthC\tau=R_{\mathrm{th}}C

RthR_{\mathrm{th}} 是從電容兩端看入電路的戴維寧等效電阻。求等效電阻時，將獨立電壓源以短路取代。

解題方法

題目給定

VC(t)=4(1−e−10t) VV_C(t)=4(1-e^{-10t})\ \mathrm{V}

與標準充電形式 VC(t)=VC(∞)(1−e−t/τ)V_C(t)=V_C(\infty)(1-e^{-t/\tau}) 比較，可得

1τ=10 s−1,τ=0.1 s\frac{1}{\tau}=10\ \mathrm{s^{-1}}, \qquad \tau=0.1\ \mathrm{s}

接著求電容所見的等效電阻。將 V1V_1 短路後，從電容往左看：

  • R1R_1 與 R2R_2 串聯，合計 4+4=8 kΩ4+4=8\ \mathrm{k}\Omega。
  • 此串聯支路與 R3=8 kΩR_3=8\ \mathrm{k}\Omega 並聯。
  • R4R_4 與上述並聯等效電阻串聯。

因此

Rth=R4+[R3∥(R1+R2)]R_{\mathrm{th}} =R_4+\bigl[R_3\parallel(R_1+R_2)\bigr]
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第 四 題20 分

如圖三的電路，假設 V=0 VV=0\,\mathrm{V}、i(0)=4 Ai(0)=4\,\mathrm{A}，i(t)i(t) 隨時間的變化值為

i(t)=4e−5t Ai(t)=4e^{-5t}\,\mathrm{A}

假設電感之線圈匝數 N=100N=100、線圈之截面積 A=0.01 m2A=0.01\,\mathrm{m}^2、磁路之平均長度 l=0.05 ml=0.05\,\mathrm{m}，請求出電感器之中心材料之導磁係數 μr\mu_r？

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核心觀念

串聯 RLRL 電路在電壓源為零時，電流的自然響應為

i(t)=i(0)e−RLti(t)=i(0)e^{-\frac{R}{L}t}

因此，指數中的係數只能決定電阻與電感的比值 R/LR/L。電感器的電感則由磁路材料的相對導磁係數決定：

L=μ0μrN2AlL=\frac{\mu_0\mu_rN^2A}{l}

解題方法

由題目給定的 i(t)=4e−5t Ai(t)=4e^{-5t}\,\mathrm{A}，與自然響應式比較，可得

RL=5 s−1\frac{R}{L}=5\ \mathrm{s}^{-1}

亦即 R=5LR=5L。

代入線圈參數及 μ0=4π×10−7 H/m\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}：

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第 五 題20 分

如圖四的電路，假設

Z˙1=10∠90∘ Ω\dot{Z}_1=10\angle90^\circ\,\Omega、Z˙2=10∠90∘ Ω\dot{Z}_2=10\angle90^\circ\,\Omega、Z˙3=10∠0∘ Ω\dot{Z}_3=10\angle0^\circ\,\Omega、Z˙4=10∠0∘ Ω\dot{Z}_4=10\angle0^\circ\,\Omega、Z˙5=10∠−90∘ Ω\dot{Z}_5=10\angle-90^\circ\,\Omega、V˙=20∠0∘ V\dot{V}=20\angle0^\circ\,\mathrm{V}，

請計算經過 Z˙3\dot{Z}_3 之電流 I˙=?\dot{I}=?

備註：Z˙n\dot{Z}_n，n=1,2,3,…n=1,2,3,\ldots 為相量型式之阻抗；I˙\dot{I} 為相量型式之電流；V˙\dot{V} 為相量型式之電壓。

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核心觀念

本題考相量阻抗下的交流電路分析。將阻抗改寫為複數後，以節點電壓法列 KCL，再用 I˙=V˙/Z˙\dot I=\dot V/\dot Z 求出流經 Z˙3\dot Z_3 的電流。

解題方法

以下端共點為參考地。令 V˙a\dot V_a 為 Z˙1\dot Z_1 與 Z˙2\dot Z_2 的連接點電壓，令 V˙b\dot V_b 為 Z˙2\dot Z_2、Z˙3\dot Z_3、Z˙4\dot Z_4、Z˙5\dot Z_5 的連接點電壓。電壓源上端為正，因此其上端電壓為 20∠0∘ V20\angle0^\circ\text{ V}。

先將各阻抗改寫為複數：

Z˙1=Z˙2=j10,Z˙3=Z˙4=10,Z˙5=−j10\dot Z_1=\dot Z_2=j10,\qquad \dot Z_3=\dot Z_4=10,\qquad \dot Z_5=-j10

在節點 aa 寫 KCL：

V˙aj10+V˙a−V˙bj10=0⟹V˙a=V˙b2\frac{\dot V_a}{j10}+\frac{\dot V_a-\dot V_b}{j10}=0 \quad\Longrightarrow\quad \dot V_a=\frac{\dot V_b}{2}

在節點 bb 寫 KCL；Z˙3\dot Z_3 與 Z˙4\dot Z_4 都接至參考地，Z˙5\dot Z_5 則接至電壓源上端：

V˙b−V˙aj10+V˙b10+V˙b10+V˙b−20−j10=0\frac{\dot V_b-\dot V_a}{j10} +\frac{\dot V_b}{10} +\frac{\dot V_b}{10} +\frac{\dot V_b-20}{-j10}=0
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