107 高普考普通考試 電子工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題考驗三相平衡交流電路之分析，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 單相等效電路（Per-Phase Analysis）：在對稱正相序（abc 相序）且三相負載平衡的 Y-Y 系統中，中性線電流為零（$I_n = 0$），各相電路彼此解耦獨立，故可取其中一相（通常為 a 相）建立單相等效電路進行求解。
2. 線電壓與相電壓關係：

• Y 接系統之線路電流即為相電流（$I_L = I_\phi$）。
• 正相序下，負載端的線對線電壓大小為相電壓大小的 $\sqrt{3}$ 倍，且相位超前對應相電壓 $30^\circ$： $\hat{V}_{AB} = \sqrt{3}\hat{V}_{AN}\angle 30^\circ$ $\hat{V}_{BC} = \hat{V}_{AB}\angle -120^\circ$

3. 三相交流功率公式：

• 總實功率（平均功率）：$P_T = 3 I_p^2 R_L = \sqrt{3}V_L I_L \cos\theta$
• 總虛功率：$Q_T = 3 I_p^2 X_L = \sqrt{3}V_L I_L \sin\theta$
• 總視在功率：$S_T = 3 I_p^2 |Z_L| = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2} = \sqrt{3}V_L I_L$
• 功率因數：$\text{PF} = \cos\theta = \frac{P_T}{S_T} = \frac{R_L}{|Z_L|}$（感性負載為落後，Lagging）

解題方法

原卷圖（一）為標準 Y-Y 連接三相平衡電路，電路規格為：

• 三相平衡 Y 接電源：$\hat{V}_a = 200\angle 0^\circ\text{ V}$，$\hat{V}_b = 200\angle -120^\circ\text{ V}$，$\hat{V}_c = 200\angle 120^\circ\text{ V}$（有效值）
• 每相線路阻抗：$Z_{\text{line}} = 1 + j2\ \Omega$
• 三相平衡 Y 接負載每相阻抗：$Z_L = 19 + j13\ \Omega$

（一）求三相負載的線對線電壓 $\hat{V}_{AB}$ 及 $\hat{V}_{BC}$

步驟 1：求 a 相單相等效電路之總阻抗與線路電流 a 相單相總阻抗為線路阻抗與負載阻抗之串聯： $Z_\phi = Z_{\text{line}} + Z_L = (1 + j2) + (19 + j13) = 20 + j15\ \Omega$ 轉化為極座標形式： $|Z_\phi| = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\ \Omega$ $\theta_\phi = \arctan\left(\frac{15}{20}\right) \approx 36.87^\circ$ $Z_\phi = 25\angle 36.87^\circ\ \Omega$

a 相線路電流 $\hat{I}_{aA}$ 為： $\hat{I}_{aA} = \frac{\hat{V}_a}{Z_\phi} = \frac{200\angle 0^\circ}{25\angle 36.87^\circ} = 8\angle -36.87^\circ\text{ A} = (6.4 - j4.8)\text{ A}$

步驟 2：求負載端 A 相相電壓 $\hat{V}_{AN}$ 由負載端阻抗與相電流相乘（或自電源電壓扣除線路壓降）： $\hat{V}_{AN} = \hat{V}_a - \hat{I}_{aA} Z_{\text{line}} = 200 - (6.4 - j4.8)(1 + j2) = 200 - (16 + j8) = 184 - j8\text{ V}$ 亦可由 $\hat{V}_{AN} = \hat{I}_{aA} Z_L = (6.4 - j4.8)(19 + j13) = 184 - j8\text{ V}$ 求得。

計算 $\hat{V}_{AN}$ 之大小與相角： $|\hat{V}_{AN}| = \sqrt{184^2 + (-8)^2} = \sqrt{33856 + 64} = \sqrt{33920} \approx 184.17\text{ V}$ $\theta_{AN} = \arctan\left(\frac{-8}{184}\right) \approx -2.49^\circ$ $\hat{V}_{AN} \approx 184.17\angle -2.49^\circ\text{ V}$

步驟 3：求負載端線對線電壓 $\hat{V}_{AB}$ 與 $\hat{V}_{BC}$ 依正相序平衡系統性質，線電壓大小為相電壓之 $\sqrt{3}$ 倍，且相位超前 $30^\circ$： $|\hat{V}_{AB}| = \sqrt{3} \times \sqrt{33920} = \sqrt{101760} \approx 319.00\text{ V}$

核心觀念

本題考查直流 RC 暫態電路之響應分析、等效電容化簡、電容串並聯之分壓與儲能計算，核心觀念與公式如下：

1. 電容串並聯等效電容量：

• 並聯電容直接相加： $C_p = C_2 + C_3$
• 串聯電容採倒數相加（兩電容串聯為「相乘除以相加」）： $C_{eq} = \frac{C_1 \cdot C_p}{C_1 + C_p}$

2. 一階 RC 電路暫態響應三要素公式：

• 電路之時間常數 $\tau$： $\tau = R_{th} \cdot C_{eq}$
• 任意物理量 $x(t)$（電壓或電流）的時間函數： $x(t) = x(\infty) + \left[ x(0^+) - x(\infty) \right] e^{-\frac{t}{\tau}} \quad (t \ge 0)$
• 電容電壓不能瞬間改變（連續性定理）：若 $t=0^-$ 時電容未充電，則 $v_C(0^+) = v_C(0^-) = 0\ \mathrm{V}$（瞬間視為短路）。
• 穩態時（$t \to \infty$）：直流激勵下電容充飽電，電流為零，電容視為開路。

3. 電容儲存能量公式： $W_C = \frac{1}{2} C V_C^2$

解題方法

圖（二）電路由直流電壓源 $E_1$ 經開關 $S_1$ 與電阻 $R_1$ 串聯後，連接至電容網路（電容 $C_2$ 與 $C_3$ 並聯，再與電容 $C_1$ 串聯）。$i_1(t)$ 為流經電阻 $R_1$ 之主迴路充電電流，$v_1(t)$ 為電容 $C_1$ 兩端之端電壓。

步驟一：求電容網路之等效電容 $C_{eq}$

$C_2$ 與 $C_3$ 為並聯連接： $C_{23} = C_2 + C_3 = 40\ \mu\mathrm{F} + 20\ \mu\mathrm{F} = 60\ \mu\mathrm{F}$

$C_{23}$ 與 $C_1$ 串聯，故總等效電容 $C_{eq}$ 為： $C_{eq} = \frac{C_1 \cdot C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{30\ \mu\mathrm{F} \times 60\ \mu\mathrm{F}}{30\ \mu\mathrm{F} + 60\ \mu\mathrm{F}} = \frac{1800}{90}\ \mu\mathrm{F} = 20\ \mu\mathrm{F}$

步驟二：求電路之時間常數 $\tau$

戴維寧等效電阻為 $R_{th} = R_1 = 20\ \mathrm{k\Omega}$，電路之充電時間常數為： $\tau = R_1 \cdot C_{eq} = (20 \times 10^3\ \Omega) \times (20 \times 10^{-6}\ \mathrm{F}) = 0.4\ \mathrm{s}$ 其倒數為： $\frac{1}{\tau} = \frac{1}{0.4} = 2.5\ \mathrm{s^{-1}}$

（一）求電流 $i_1(t)$ 與電壓 $v_1(t)$ 的時間函數

1. 求解電流函數 $i_1(t)$：

• 在 $t = 0^+$ 瞬間，所有電容之初始電壓為零，等效短路，此時整個電源電壓均落在電阻 $R_1$ 上： $i_1(0^+) = \frac{E_1}{R_1} = \frac{60\ \mathrm{V}}{20\ \mathrm{k\Omega}} = 3\ \mathrm{mA}$
• 當 $t \to \infty$ 達穩態時，電容充飽電視為開路，電路無電流流動： $i_1(\infty) = 0\ \mathrm{A}$
• 代入一階暫態公式： $i_1(t) = i_1(\infty) + \left[ i_1(0^+) - i_1(\infty) \right] e^{-\frac{t}{\tau}} = 3 e^{-2.5t}\ \mathrm{mA} \quad (t \ge 0)$ （或寫作 $3 \times 10^{-3} e^{-2.5t}\ \mathrm{A}$）

2. 求解電壓函數 $v_1(t)$（電容 $C_1$ 兩端電壓）：

• 初始值：由題目條件，初始電壓為零： $v_1(0^+) = 0\ \mathrm{V}$
• 穩態值：穩態時等效電容 $C_{eq}$ 承擔全部電源電壓 $E_1 = 60\ \mathrm{V}$。串聯電容電壓與電容量成反比（分壓定理）：

核心觀念

本題屬於直流不平衡電橋電路分析，主要考查以下基本電學定律與電路分析工具：

1. 基爾霍夫電流定律（KCL）：電路中任一節點之流出電流總和等於流入電流總和，即 $\sum I_{\text{out}} = \sum I_{\text{in}}$。
2. 歐姆定律（Ohm's Law）：電阻元件兩端電位差與流經電流之關係為 $V = IR$，支路電流表示為 $I = \frac{\Delta V}{R}$。
3. 節點電壓法（Nodal Analysis）：選定參考接地節點後，針對各獨立節點依 KCL 列出節點方程式，聯立求得各點電位。
4. $\Delta-\text{Y}$（三角形－星形）阻抗轉換定理：將包含電橋橫向電阻的迴路等效化簡為串並聯網路，大幅減少運算量。

解題方法

選取電路最下方的共用導線為參考節點（接地點，電位為 $0\ \mathrm{V}$）。 定義電路之各節點電位：

• 直流電源 $E_1 = 100\ \mathrm{V}$ 經過上方 $4\ \Omega$ 電阻後，到達上方橫向主導線，令此節點電位為 $V_A$。
• 左側上下兩顆 $20\ \Omega$ 電阻之間節點對地電壓即為題目標示之 $V_1$。
• 右側 $30\ \Omega$ 與 $15\ \Omega$ 電阻之間節點對地電壓即為題目標示之 $V_2$。

（一）求電壓 $V_1$ 及 $V_2$

對節點 $V_A$、$V_1$、$V_2$ 分別列出 KCL 節點方程式：

1. 節點 $V_A$（各支路流出電流和為零）： $\frac{V_A - 100}{4} + \frac{V_A - V_1}{20} + \frac{V_A - V_2}{30} = 0$ 全式同乘以公倍數 $60$： $15(V_A - 100) + 3(V_A - V_1) + 2(V_A - V_2) = 0$ $20V_A - 3V_1 - 2V_2 = 1500 \quad \text{--- (式 1)}$

2. 節點 $V_1$（各支路流出電流和為零）： $\frac{V_1 - V_A}{20} + \frac{V_1}{20} + \frac{V_1 - V_2}{50} = 0$ 全式同乘以公倍數 $100$： $5(V_1 - V_A) + 5V_1 + 2(V_1 - V_2) = 0$ $-5V_A + 12V_1 - 2V_2 = 0 \quad \text{--- (式 2)}$

3. 節點 $V_2$（各支路流出電流和為零）： $\frac{V_2 - V_A}{30} + \frac{V_2}{15} + \frac{V_2 - V_1}{50} = 0$ 全式同乘以公倍數 $150$： $5(V_2 - V_A) + 10V_2 + 3(V_2 - V_1) = 0$ $-5V_A - 3V_1 + 18V_2 = 0 \quad \text{--- (式 3)}$

聯立求解： 由 (式 2) 與 (式 3) 可知均包含項 $-5V_A$，令兩式相等： $12V_1 - 2V_2 = -3V_1 + 18V_2$ $15V_1 = 20V_2 \implies V_1 = \frac{4}{3}V_2$

將 $V_1 = \frac{4}{3}V_2$ 代入 (式 2)： $5V_A = 12\left(\frac{4}{3}V_2\right) - 2V_2 = 16V_2 - 2V_2 = 14V_2 \implies V_A = \frac{14}{5}V_2 = 2.8V_2$

將 $V_1$ 與 $V_A$ 代入 (式 1)： $20(2.8V_2) - 3\left(\frac{4}{3}V_2\right) - 2V_2 = 1500$ $56V_2 - 4V_2 - 2V_2 = 1500$ $50V_2 = 1500 \implies V_2 = 30\ \mathrm{V}$

進一步求得其餘節點電壓： $V_1 = \frac{4}{3} \times 30 = 40\ \mathrm{V}$ $V_A = 2.8 \times 30 = 84\ \mathrm{V}$

（二）求電流 $I_1$ 及 $I_2$

核心觀念

本題評量交流穩態電路分析中的負載阻抗計算、相量運算，以及串聯與並聯等效電路轉換。核心公式與觀念如下：

1. 相量法（Phasor Method）與歐姆定律： 將正弦時域信號轉為最大值（或有效值）相量： $v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta_v) \iff \mathbf{V} = V_m \angle \theta_v$ $i(t) = I_m \sin(\omega t + \theta_i) \iff \mathbf{I} = I_m \angle \theta_i$ 等效總阻抗定義為： $\mathbf{Z} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} = |\mathbf{Z}|\angle \theta$
2. 串聯等效電路： $\mathbf{Z}_s = R_s + jX_{L,s} = |\mathbf{Z}|\cos\theta + j|\mathbf{Z}|\sin\theta$ 電感抗與電感值之關係： $X_{L,s} = \omega L_s \implies L_s = \frac{X_{L,s}}{\omega}$
3. 並聯等效電路（導納法）： 利用總導納 $\mathbf{Y}$ 分離實部（電導 $G$）與虛部（電納 $B$）： $\mathbf{Y} = \frac{1}{\mathbf{Z}} = G - jB_L = \frac{1}{R_p} - j\frac{1}{X_{L,p}}$ 電感抗與電感值之關係： $X_{L,p} = \omega L_p \implies L_p = \frac{X_{L,p}}{\omega}$

解題方法

由題目給定之電壓與電流時域表示式： $v_L(t) = 200\sin(377t)\ \mathrm{V}$ $i_L(t) = 20\sin(377t - 60^\circ)\ \mathrm{A}$

得知角頻率 $\omega = 377\ \mathrm{rad/s}$。以最大值相量表示： $\mathbf{V}_L = 200\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$ $\mathbf{I}_L = 20\angle -60^\circ\ \mathrm{A}$

負載總阻抗 $\mathbf{Z}$ 為： $\mathbf{Z} = \frac{\mathbf{V}_L}{\mathbf{I}_L} = \frac{200\angle 0^\circ}{20\angle -60^\circ} = 10\angle 60^\circ\ \Omega$

（一）串聯等效電路

將極座標形式轉換為直角座標形式： $\mathbf{Z}_s = 10\angle 60^\circ = 10\cos 60^\circ + j 10\sin 60^\circ = 5 + j 5\sqrt{3}\ \Omega$

對應串聯模型 $\mathbf{Z}_s = R_s + jX_{L,s}$：

1. 電阻值 $R_s$： $R_s = 5\ \Omega$
2. 電感抗 $X_{L,s}$ 與電感值 $L_s$： $X_{L,s} = 5\sqrt{3}\ \Omega \approx 8.66\ \Omega$

核心觀念

本題主要測驗電機與電信工程領域中最基礎且關鍵的兩大概念：電阻的溫度效應與正弦交流電路的功率與能量計算。所涉及的核心觀念與公式如下：

1. 電阻的溫度係數（Temperature Coefficient of Resistance）： 金屬導體的電阻值隨溫度升高而增加，其關係式為： $R_2 = R_1 [1 + \alpha_1(T_2 - T_1)]$ 其中 $\alpha_1$ 為溫度在 $T_1$ 時的電阻溫度係數。

2. 正弦交流電的有效值（RMS Value）： 正弦波電流 $i(t) = I_m \sin(\omega t)$ 之有效值 $I_{\mathrm{rms}}$ 定義為其最大值（峰值）$I_m$ 的 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍： $I_{\mathrm{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

3. 交流純電阻之歐姆定律與電壓有效值： 純電阻電路中，電壓與電流同相位，端電壓有效值與電流有效值滿足歐姆定律： $V_{\mathrm{rms}} = I_{\mathrm{rms}} \times R$

4. 純電阻之消耗功率（平均功率）： 交流電路中電阻所消耗的實功率（平均功率）為： $P = I_{\mathrm{rms}}^2 R = \frac{V_{\mathrm{rms}}^2}{R} = \frac{1}{2} I_m^2 R$

5. 電能（能量消耗）計算： 在恆定功率或交流穩定狀態下，時間 $t$ 內所消耗的總能量 $W$ 為： $W = P \times t$ 依國際標準制（SI制），時間單位需轉換為秒（$\mathrm{s}$），所得能量單位為焦耳（$\mathrm{J}$）。若換算為電工常用度數，則以千瓦·小時（$\mathrm{kWh}$）表示。

解題方法

（一）計算 $80^\circ\mathrm{C}$ 時的電阻值及電阻器端電壓有效值

1. 計算 $80^\circ\mathrm{C}$ 時之電阻值 $R_{80}$： 已知基準溫度 $T_1 = 20^\circ\mathrm{C}$，基準電阻 $R_{20} = 10\ \Omega$，電阻溫度係數 $\alpha_{20} = 0.00393\ (^\circ\mathrm{C})^{-1}$。 目標溫度 $T_2 = 80^\circ\mathrm{C}$，溫度差 $\Delta T = T_2 - T_1 = 80 - 20 = 60^\circ\mathrm{C}$。 代入溫度效應公式： $R_{80} = R_{20}[1 + \alpha_{20}(T_2 - T_1)]$ $R_{80} = 10 \times [1 + 0.00393 \times (80 - 20)]$ $R_{80} = 10 \times [1 + 0.2358] = 10 \times 1.2358 = 12.358\ \Omega$

2. 計算電流有效值 $I_{\mathrm{rms}}$： 流經電阻器之瞬時電流為 $i(t) = 10\sin 377t\ \mathrm{A}$，可知其峰值 $I_m = 10\ \mathrm{A}$。 電流有效值為： $I_{\mathrm{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\ \mathrm{A} \approx 7.071\ \mathrm{A}$

3. 計算端電壓有效值 $V_{\mathrm{rms}}$： 依據純電阻電路之歐姆定律：