107 高普考普通考試 電力工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題為典型之「三相平衡交流電路」分析題，測驗考生對於三相電源相序特性、線電壓與相電壓向量關係、以及三相平衡負載功率計算之掌握程度。所運用之核心學理與公式如下：

1. 三相平衡電源與相序特性： 題目給定相電壓有效值 $V_{\mathrm{rms}} = 200\ \text{V}$，相量分別為： $\hat{V}_a = 200\angle 0^\circ\ \text{V},\quad \hat{V}_b = 200\angle -120^\circ\ \text{V},\quad \hat{V}_c = 200\angle 120^\circ\ \text{V}$ 相角依次滯後 $120^\circ$（$a \to b \to c$），確認為標準之正相序（$abc$ 相序）。

2. 線電壓與相電壓之相量關係： 三相 Y 型電源之線對線電壓（Line-to-Line Voltage）定義為相鄰兩相端點之電位差： $\hat{V}_{ab} = \hat{V}_a - \hat{V}_b,\quad \hat{V}_{bc} = \hat{V}_b - \hat{V}_c,\quad \hat{V}_{ca} = \hat{V}_c - \hat{V}_a$ 在正相序平衡系統中，線電壓大小為相電壓之 $\sqrt{3}$ 倍，且相位超前對應相電壓 $30^\circ$： $V_L = \sqrt{3}V_p,\quad \hat{V}_{ab} = \sqrt{3}\hat{V}_a\angle +30^\circ$

3. 三相平衡功率之計算公式： 設負載每相相電壓有效值為 $V_\phi$、相電流有效值為 $I_\phi$、線電壓有效值為 $V_L$、線電流有效值為 $I_L$，負載每相阻抗為 $\mathbf{Z} = R + jX = |\mathbf{Z}|\angle \theta$：

• 總視在功率（Total Apparent Power, $S$）： $S = \sqrt{3}V_L I_L = 3 V_\phi I_\phi = 3\frac{V_\phi^2}{|\mathbf{Z}|}$
• 總實功率（Total Real Power / Active Power, $P$）： $P = \sqrt{3}V_L I_L \cos\theta = 3 I_\phi^2 R = S \cos\theta$
• 功率因數（Power Factor, $\text{PF}$）： $\text{PF} = \cos\theta = \frac{R}{|\mathbf{Z}|} = \frac{P}{S}$ 若負載呈現電感性（$X > 0$），電流滯後電壓，功率因數為落後（Lagging）。

解題方法

本題題文字未包含圖（一）之圖形細節，缺少傳輸線阻抗值、負載端連接架構（Y 接或 $\Delta$ 接）及每相阻抗 $\mathbf{Z}_L$ 之標記；依公職考試命題慣例，設定傳輸線路為理想導線（阻抗為零），並以最典型之三相平衡 $\Delta$ 接負載（每相阻抗 $\mathbf{Z}_\Delta = 30 + j40\ \Omega = 50\angle 53.13^\circ\ \Omega$）進行標準推導與定案作答。

（一）求解三相負載的線對線電壓 $\hat{V}_{AB}$ 及 $\hat{V}_{BC}$

在傳輸線阻抗為零之條件下，負載端端點 $A, B, C$ 之電位直接等於電源端 $a, b, c$ 之電位，故負載端線對線電壓滿足： $\hat{V}_{AB} = \hat{V}_{ab} = \hat{V}_a - \hat{V}_b$ $\hat{V}_{BC} = \hat{V}_{bc} = \hat{V}_b - \hat{V}_c$

1. 計算 $\hat{V}_{AB}$： 將相電壓相量轉換為直角座標形式： $\hat{V}_a = 200\angle 0^\circ = 200 + j0\ \text{V}$ $\hat{V}_b = 200\angle -120^\circ = 200\left(\cos(-120^\circ) + j\sin(-120^\circ)\right) = -100 - j100\sqrt{3}\ \text{V}$ 代入兩相電位差相減： $\hat{V}_{AB} = (200 + j0) - (-100 - j100\sqrt{3}) = 300 + j100\sqrt{3}\ \text{V}$ 化為極座標形式： $|\hat{V}_{AB}| = \sqrt{300^2 + (100\sqrt{3})^2} = \sqrt{90000 + 30000} = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3}\ \text{V} \approx 346.41\ \text{V}$ $\angle \hat{V}_{AB} = \tan^{-1}\left(\frac{100\sqrt{3}}{300}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ$ 得： $\hat{V}_{AB} = 200\sqrt{3}\angle 30^\circ\ \text{V} \approx 346.41\angle 30^\circ\ \text{V}$

2. 計算 $\hat{V}_{BC}$： 將 $\hat{V}_c$ 轉換為直角座標形式： $\hat{V}_c = 200\angle 120^\circ = 200\left(\cos(120^\circ) + j\sin(120^\circ)\right) = -100 + j100\sqrt{3}\ \text{V}$ 兩相電位差相減： $\hat{V}_{BC} = (-100 - j100\sqrt{3}) - (-100 + j100\sqrt{3}) = -j200\sqrt{3}\ \text{V}$ 化為極座標形式： $\hat{V}_{BC} = 200\sqrt{3}\angle -90^\circ\ \text{V} \approx 346.41\angle -90^\circ\ \text{V}$

此小題結果由電源相量直接決定，完全獨立於負載阻抗數值。

核心觀念

本題屬於直流暫態電路（DC Transient Analysis）​中的一階 RC 充電電路分析，核心考核重點包含：

1. 電容串並聯等效電容量計算：

• 並聯電容：$C_{p} = C_a + C_b$
• 串聯電容：$C_{s} = \frac{C_a \cdot C_b}{C_a + C_b}$

2. 一階 RC 電路之時間常數（Time Constant）： $\tau = R_{th} \cdot C_{eq}$ 其中 $R_{th}$ 為電容網路兩端看進去之戴維寧等效電阻。
3. 電容暫態特性與三要素公式：

• 電容電壓不能瞬間改變（$v_C(0^+) = v_C(0^-)$），初態未充飽前相當於短路。
• 長時間後達直流穩態，電容充飽電相當於開路（$i_C(\infty) = 0$）。
• 任一響應變數 $x(t)$ 的時間函數可由一階三要素法求得： $x(t) = x(\infty) + [x(0^+) - x(\infty)] e^{-t/\tau}\quad (t \ge 0)$

4. 串聯電容分壓法則（與電容量成反比）： $V_k = E \cdot \frac{C_{eq}}{C_k}$
5. 電容器儲能公式： $W = \frac{1}{2} C V^2$

解題方法

依考卷原圖（二）電路配置：直流電源 $E_1$、開關 $S_1$、電阻 $R_1$ 與電容 $C_1$ 串聯，其後接上電容 $C_2$ 與 $C_3$ 的並聯支路。其中 $i_1(t)$ 為流經 $R_1$ 之主迴路電流，$v_1(t)$ 為電容 $C_1$ 兩端跨壓。

步驟一：簡化電容網路，求等效電容量 $C_{eq}$ 及時間常數 $\tau$

1. 並聯部分：電容 $C_2$ 與 $C_3$ 並聯，其等效電容 $C_{23}$ 為： $C_{23} = C_2 + C_3 = 40\ \mu\mathrm{F} + 20\ \mu\mathrm{F} = 60\ \mu\mathrm{F}$

2. 串聯部分：電容 $C_1$ 與 $C_{23}$ 串聯，電路總等效電容 $C_{eq}$ 為： $C_{eq} = \frac{C_1 \cdot C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{30\ \mu\mathrm{F} \times 60\ \mu\mathrm{F}}{30\ \mu\mathrm{F} + 60\ \mu\mathrm{F}} = \frac{1800}{90}\ \mu\mathrm{F} = 20\ \mu\mathrm{F}$

3. 計算電路時間常數 $\tau$： $\tau = R_1 \cdot C_{eq} = (20 \times 10^3\ \Omega) \times (20 \times 10^{-6}\ \mathrm{F}) = 0.4\ \mathrm{s}$ 其時間常數倒數為： $\frac{1}{\tau} = \frac{1}{0.4} = 2.5\ \mathrm{s}^{-1}$

（一）計算電流 $i_1(t)$ 及電壓 $v_1(t)$ 的時間函數

1. 初態分析（$t = 0^+$）：

• 題目設定所有電容初始電壓為零，即 $v_{C1}(0^-) = v_{C2}(0^-) = v_{C3}(0^-) = 0\ \mathrm{V}$。
• 因電容電壓連續性： $v_1(0^+) = v_{C1}(0^+) = 0\ \mathrm{V}$
• 電容相當於短路，電源電壓 $E_1$ 全部落於電阻 $R_1$ 兩端，初始電流為： $i_1(0^+) = \frac{E_1}{R_1} = \frac{60\ \mathrm{V}}{20\ \mathrm{k\Omega}} = 3\ \mathrm{mA} = 3 \times 10^{-3}\ \mathrm{A}$

2. 穩態分析（$t \to \infty$）：

• 達到直流穩態時，電容完全充飽相當於開路，主迴路無電流： $i_1(\infty) = 0\ \mathrm{A}$
• 此時電阻 $R_1$ 無壓降，總電容等效端電壓為 $E_1 = 60\ \mathrm{V}$。
• 串聯電容依電容量反比分壓，$C_1$ 兩端穩態電壓為： $v_1(\infty) = E_1 \times \frac{C_{23}}{C_1 + C_{23}} = 60 \times \frac{60\ \mu\mathrm{F}}{30\ \mu\mathrm{F} + 60\ \mu\mathrm{F}} = 60 \times \frac{2}{3} = 40\ \mathrm{V}$

3. 列出時間函數：

• 電流時間函數 $i_1(t)$： $i_1(t) = i_1(\infty) + [i_1(0^+) - i_1(\infty)] e^{-t/\tau} = 0 + (3 - 0) e^{-2.5t} = 3 e^{-2.5t}\ \mathrm{mA}\quad (t \ge 0)$

核心觀念

本題屬於直流電路中不平衡電橋（Unbalanced Bridge Circuit）​的典型計算題，主要考核以下電路學核心定理與分析方法：

1. 電橋平衡判別：電橋平衡之充要條件為對角臂電阻乘積相等。本題電橋四臂電阻對角乘積分別為 $20\ \Omega \times 15\ \Omega = 300\ \Omega^2$ 與 $30\ \Omega \times 20\ \Omega = 600\ \Omega^2$，兩者不相等，故電橋處於不平衡狀態，中間 $50\ \Omega$ 電阻不可直接視為開路或短路。
2. $\Delta\text{–}\mathrm{Y}$（三角接轉星接）等效變換：對於無法直接以串並聯簡化之橋式網狀電路，將 $\Delta$ 電阻網路轉換為等效 $\mathrm{Y}$ 接網路是求解總等效電阻最直觀且不易出錯的方法。
3. 歐姆定律（Ohm's Law）與克希荷夫電路定律（KCL、KVL）：用於轉換後電路的總電流、分流計算，以及回推原電路節點電位與支路電流。

解題方法

（一）求電壓 $V_1$ 及 $V_2$

1. 網路等效變換（$\Delta\text{–}\mathrm{Y}$ 轉換）： 觀察原電路上半部，由左上 $20\ \Omega$、右上 $30\ \Omega$ 及中間橫向 $50\ \Omega$ 電阻構成一個 $\Delta$ 形迴路。 將此 $\Delta$ 網路轉換為等效之 $\mathrm{Y}$ 形網路，定義 $\Delta$ 電阻總和為： $R_\Delta = 20\ \Omega + 30\ \Omega + 50\ \Omega = 100\ \Omega$ 轉換後接至頂端節點、左側節點、右側節點的三個等效電阻分別為： $R_A = \frac{20 \times 30}{R_\Delta} = \frac{600}{100} = 6\ \Omega \quad (\text{接頂部節點})$ $R_B = \frac{20 \times 50}{R_\Delta} = \frac{1000}{100} = 10\ \Omega \quad (\text{接左側節點})$ $R_C = \frac{30 \times 50}{R_\Delta} = \frac{1500}{100} = 15\ \Omega \quad (\text{接右側節點})$

2. 計算總等效電阻 $R_T$： 將 $\mathrm{Y}$ 型等效電阻接回電路後，電路轉化為單純的串並聯結構：

• 左支路下半串聯電阻：$R_{\text{左}} = R_B + 20\ \Omega = 10\ \Omega + 20\ \Omega = 30\ \Omega$
• 右支路下半串聯電阻：$R_{\text{右}} = R_C + 15\ \Omega = 15\ \Omega + 15\ \Omega = 30\ \Omega$
• 兩支路並聯等效電阻：$R_{\text{並}} = R_{\text{左}} \parallel R_{\text{右}} = 30\ \Omega \parallel 30\ \Omega = 15\ \Omega$
• 包含電源側串聯之 $4\ \Omega$ 電阻與 $R_A$，電路總電阻為： $R_T = 4\ \Omega + R_A + R_{\text{並}} = 4 + 6 + 15 = 25\ \Omega$

3. 計算總電流 $I_T$ 及各支路電流： 電源供應之總電流為： $I_T = \frac{E_1}{R_T} = \frac{100\ \mathrm{V}}{25\ \Omega} = 4\ \mathrm{A}$ 由於左、右兩支路電阻相等（均為 $30\ \Omega$），由分流定律可知電流平均分配： $I_{\text{左}} = I_{\text{右}} = \frac{I_T}{2} = \frac{4\ \mathrm{A}}{2} = 2\ \mathrm{A}$

4. 計算電壓 $V_1$ 及 $V_2$： 以電路底端（電源負極）為參考接地點（$0\ \mathrm{V}$）：

• $V_1$ 即為左下方 $20\ \Omega$ 電阻之端電壓： $V_1 = I_{\text{左}} \times 20\ \Omega = 2\ \mathrm{A} \times 20\ \Omega = 40\ \mathrm{V}$
• $V_2$ 即為右下方 $15\ \Omega$ 電阻之端電壓：

核心觀念

本題評量交流穩態電路分析中的負載阻抗計算、相量運算，以及串聯與並聯等效電路轉換。核心公式與觀念如下：

1. 相量法（Phasor Method）與歐姆定律： 將正弦時域信號轉為最大值（或有效值）相量： $v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta_v) \iff \mathbf{V} = V_m \angle \theta_v$ $i(t) = I_m \sin(\omega t + \theta_i) \iff \mathbf{I} = I_m \angle \theta_i$ 等效總阻抗定義為： $\mathbf{Z} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} = |\mathbf{Z}|\angle \theta$
2. 串聯等效電路： $\mathbf{Z}_s = R_s + jX_{L,s} = |\mathbf{Z}|\cos\theta + j|\mathbf{Z}|\sin\theta$ 電感抗與電感值之關係： $X_{L,s} = \omega L_s \implies L_s = \frac{X_{L,s}}{\omega}$
3. 並聯等效電路（導納法）： 利用總導納 $\mathbf{Y}$ 分離實部（電導 $G$）與虛部（電納 $B$）： $\mathbf{Y} = \frac{1}{\mathbf{Z}} = G - jB_L = \frac{1}{R_p} - j\frac{1}{X_{L,p}}$ 電感抗與電感值之關係： $X_{L,p} = \omega L_p \implies L_p = \frac{X_{L,p}}{\omega}$

解題方法

由題目給定之電壓與電流時域表示式： $v_L(t) = 200\sin(377t)\ \mathrm{V}$ $i_L(t) = 20\sin(377t - 60^\circ)\ \mathrm{A}$

得知角頻率 $\omega = 377\ \mathrm{rad/s}$。以最大值相量表示： $\mathbf{V}_L = 200\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$ $\mathbf{I}_L = 20\angle -60^\circ\ \mathrm{A}$

負載總阻抗 $\mathbf{Z}$ 為： $\mathbf{Z} = \frac{\mathbf{V}_L}{\mathbf{I}_L} = \frac{200\angle 0^\circ}{20\angle -60^\circ} = 10\angle 60^\circ\ \Omega$

（一）串聯等效電路

將極座標形式轉換為直角座標形式： $\mathbf{Z}_s = 10\angle 60^\circ = 10\cos 60^\circ + j 10\sin 60^\circ = 5 + j 5\sqrt{3}\ \Omega$

對應串聯模型 $\mathbf{Z}_s = R_s + jX_{L,s}$：

1. 電阻值 $R_s$： $R_s = 5\ \Omega$
2. 電感抗 $X_{L,s}$ 與電感值 $L_s$： $X_{L,s} = 5\sqrt{3}\ \Omega \approx 8.66\ \Omega$

核心觀念

本題主要測驗電機與電信工程領域中最基礎且關鍵的兩大概念：電阻的溫度效應與正弦交流電路的功率與能量計算。所涉及的核心觀念與公式如下：

1. 電阻的溫度係數（Temperature Coefficient of Resistance）： 金屬導體的電阻值隨溫度升高而增加，其關係式為： $R_2 = R_1 [1 + \alpha_1(T_2 - T_1)]$ 其中 $\alpha_1$ 為溫度在 $T_1$ 時的電阻溫度係數。

2. 正弦交流電的有效值（RMS Value）： 正弦波電流 $i(t) = I_m \sin(\omega t)$ 之有效值 $I_{\mathrm{rms}}$ 定義為其最大值（峰值）$I_m$ 的 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍： $I_{\mathrm{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

3. 交流純電阻之歐姆定律與電壓有效值： 純電阻電路中，電壓與電流同相位，端電壓有效值與電流有效值滿足歐姆定律： $V_{\mathrm{rms}} = I_{\mathrm{rms}} \times R$

4. 純電阻之消耗功率（平均功率）： 交流電路中電阻所消耗的實功率（平均功率）為： $P = I_{\mathrm{rms}}^2 R = \frac{V_{\mathrm{rms}}^2}{R} = \frac{1}{2} I_m^2 R$

5. 電能（能量消耗）計算： 在恆定功率或交流穩定狀態下，時間 $t$ 內所消耗的總能量 $W$ 為： $W = P \times t$ 依國際標準制（SI制），時間單位需轉換為秒（$\mathrm{s}$），所得能量單位為焦耳（$\mathrm{J}$）。若換算為電工常用度數，則以千瓦·小時（$\mathrm{kWh}$）表示。

解題方法

（一）計算 $80^\circ\mathrm{C}$ 時的電阻值及電阻器端電壓有效值

1. 計算 $80^\circ\mathrm{C}$ 時之電阻值 $R_{80}$： 已知基準溫度 $T_1 = 20^\circ\mathrm{C}$，基準電阻 $R_{20} = 10\ \Omega$，電阻溫度係數 $\alpha_{20} = 0.00393\ (^\circ\mathrm{C})^{-1}$。 目標溫度 $T_2 = 80^\circ\mathrm{C}$，溫度差 $\Delta T = T_2 - T_1 = 80 - 20 = 60^\circ\mathrm{C}$。 代入溫度效應公式： $R_{80} = R_{20}[1 + \alpha_{20}(T_2 - T_1)]$ $R_{80} = 10 \times [1 + 0.00393 \times (80 - 20)]$ $R_{80} = 10 \times [1 + 0.2358] = 10 \times 1.2358 = 12.358\ \Omega$

2. 計算電流有效值 $I_{\mathrm{rms}}$： 流經電阻器之瞬時電流為 $i(t) = 10\sin 377t\ \mathrm{A}$，可知其峰值 $I_m = 10\ \mathrm{A}$。 電流有效值為： $I_{\mathrm{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\ \mathrm{A} \approx 7.071\ \mathrm{A}$

3. 計算端電壓有效值 $V_{\mathrm{rms}}$： 依據純電阻電路之歐姆定律：