107 高普考普通考試 電信工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題評量三相平衡交流電路的相／線電壓關係、向量相減運算以及三相功率計算，涉及之核心定義與公式如下：

1. 三相正序（$abc$ 相序）電源特性： 三相對稱相電壓大小相等，相位依序互差 $120^\circ$： $\hat{V}_a = V_{\mathrm{rms}}\angle 0^\circ,\quad \hat{V}_b = V_{\mathrm{rms}}\angle -120^\circ,\quad \hat{V}_c = V_{\mathrm{rms}}\angle 120^\circ$
2. 相電壓與線電壓之關係： 線對線電壓（Line-to-Line Voltage）定義為兩相端點間之電位差： $\hat{V}_{AB} = \hat{V}_A - \hat{V}_B,\quad \hat{V}_{BC} = \hat{V}_B - \hat{V}_C$ 在無傳輸線阻抗或忽略線路阻抗的理想連接下，負載端點與電源端點等電位（$\hat{V}_A = \hat{V}_a$、$\hat{V}_B = \hat{V}_b$、$\hat{V}_C = \hat{V}_c$），正序 Y 接電源之線電壓有效值為相電壓之 $\sqrt{3}$ 倍，且相位超前對應相電壓 $30^\circ$： $V_L = \sqrt{3} V_p,\quad \angle \hat{V}_{AB} = \angle \hat{V}_a + 30^\circ$
3. 三相平衡負載功率公式： 設每相負載阻抗為 $Z_p = |Z_p|\angle \theta = R + jX$，相電壓為 $V_p$、相電流為 $I_p$、線電壓為 $V_L$、線電流為 $I_L$：

• 總視在功率（Total Apparent Power, $S$）： $S = 3 V_p I_p = \sqrt{3} V_L I_L = 3 \frac{V_p^2}{|Z_p|}\quad (\mathrm{VA})$
• 總實功率（Total Real / Active Power, $P$）： $P = 3 V_p I_p \cos\theta = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta = 3 I_p^2 R\quad (\mathrm{W})$
• 功率因數（Power Factor, $\mathrm{PF}$）： $\mathrm{PF} = \cos\theta = \frac{P}{S} = \frac{R}{|Z_p|}$

解題方法

1. 第（一）小題： 將給定的相電壓極座標形式轉換為直角座標（代數形式），依定義進行向量相減求出 $\hat{V}_{AB} = \hat{V}_a - \hat{V}_b$ 與 $\hat{V}_{BC} = \hat{V}_b - \hat{V}_c$，再轉換回極座標形式表示，並以三相平衡正序公式驗算。
2. 第（二）小題： 本題原卷圖（一）未隨題文提供，缺少負載連接型式（Y接或 $\Delta$ 接）與具體阻抗數值，依公職基本電學命題慣例，假設負載為平衡 Y 接，每相負載阻抗為典型參數 $Z_p = 16 + j12\ \Omega = 20\angle 36.87^\circ\ \Omega$ 進行解答。 先推導適用於任意負載阻抗 $Z_p = |Z_p|\angle\theta$ 之通用解析式，再代入假設數據計算出總視在功率、總實功率及功率因數。

計算步驟與推導

（一）求三相負載的線對線電壓 $\hat{V}_{AB}$ 及 $\hat{V}_{BC}$

已知各相電壓有效值 $V_{\mathrm{rms}} = 200\ \mathrm{V}$： $\hat{V}_a = 200\angle 0^\circ\ \mathrm{V} = 200 + j0\ \mathrm{V}$ $\hat{V}_b = 200\angle -120^\circ\ \mathrm{V} = 200\left(\cos(-120^\circ) + j\sin(-120^\circ)\right) = 200\left(-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -100 - j100\sqrt{3}\ \mathrm{V}$ $\hat{V}_c = 200\angle 120^\circ\ \mathrm{V} = 200\left(\cos(120^\circ) + j\sin(120^\circ)\right) = 200\left(-\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -100 + j100\sqrt{3}\ \mathrm{V}$

1. 計算 $\hat{V}_{AB}$： $\hat{V}_{AB} = \hat{V}_a - \hat{V}_b = (200 + j0) - (-100 - j100\sqrt{3}) = 300 + j100\sqrt{3}\ \mathrm{V}$ 轉換為極座標：

• 大小：$|\hat{V}_{AB}| = \sqrt{300^2 + (100\sqrt{3})^2} = \sqrt{90000 + 30000} = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3} \approx 346.41\ \mathrm{V}$
• 相位：$\angle \hat{V}_{AB} = \tan^{-1}\left(\frac{100\sqrt{3}}{300}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ$ $\hat{V}_{AB} = 200\sqrt{3}\angle 30^\circ\ \mathrm{V} \approx 346.41\angle 30^\circ\ \mathrm{V}$

核心觀念

本題旨在評量一階直流 RC 暫態電路之分析能力，主要涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 電容器的串並聯等效電容量（$C_{eq}$）：

• 並聯電容量相加：$C_p = C_2 + C_3$
• 串聯電容量倒數相加：$C_{eq} = \dfrac{C_1 C_p}{C_1 + C_p}$

2. 一階 RC 電路之時間常數（$\tau$）與暫態響應：

• 時間常數：$\tau = R_1 C_{eq}$
• 暫態通用方程式（三要素法）：$x(t) = x(\infty) + [x(0^+) - x(\infty)] e^{-t/\tau}$

3. 電容電壓與電流之初始與穩態邊界條件：

• 初始無儲能時，開關剛閉合瞬間（$t = 0^+$），電容電壓不突變（$v_C(0^+) = 0\ \mathrm{V}$），電容等效為「短路」。
• 經過長時間達到穩態後（$t \to \infty$），電容充飽電，電流為零，電容等效為「開路」。

4. 串聯電容分壓定理與電容儲能公式：

• 串聯電容電荷相等，電壓分配與電容量成反比：$V_{C1} = E_1 \times \dfrac{C_p}{C_1 + C_p}$
• 電容儲存之靜電能量：$W_C = \dfrac{1}{2} C V^2$

解題方法

根據原卷圖（二）電路配置，直流電源 $E_1$ 串聯開關 $S_1$ 與電阻 $R_1$ 後，連接至電容網路；電容網路為 $C_1$ 與並聯對（$C_2 \parallel C_3$）串聯。其中 $i_1(t)$ 為流經主迴路之電流，$v_1(t)$ 為電容 $C_1$ 兩端之跨壓。

第一小題：求 $i_1(t)$ 與 $v_1(t)$ 的時間函數

步驟 1：求電路之等效電容 $C_{eq}$ 與時間常數 $\tau$ $C_2$ 與 $C_3$ 並聯，等效電容量 $C_{23}$ 為： $C_{23} = C_2 + C_3 = 40\ \mu\mathrm{F} + 20\ \mu\mathrm{F} = 60\ \mu\mathrm{F}$

$C_1$ 與 $C_{23}$ 串聯，全電路之總等效電容量 $C_{eq}$ 為： $C_{eq} = \frac{C_1 \cdot C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{30\ \mu\mathrm{F} \times 60\ \mu\mathrm{F}}{30\ \mu\mathrm{F} + 60\ \mu\mathrm{F}} = \frac{1800}{90}\ \mu\mathrm{F} = 20\ \mu\mathrm{F}$

電路之時間常數 $\tau$ 為： $\tau = R_1 \cdot C_{eq} = (20\ \mathrm{k\Omega}) \times (20\ \mu\mathrm{F}) = (20 \times 10^3\ \Omega) \times (20 \times 10^{-6}\ \mathrm{F}) = 0.4\ \mathrm{s}$ 其倒數為： $\frac{1}{\tau} = \frac{1}{0.4} = 2.5\ \mathrm{s}^{-1}$

步驟 2：推導主迴路電流 $i_1(t)$

• 初始條件（$t = 0^+$）：電容尚未充電，等效為短路，電源電壓全落在 $R_1$ 兩端： $i_1(0^+) = \frac{E_1}{R_1} = \frac{60\ \mathrm{V}}{20\ \mathrm{k\Omega}} = 3\ \mathrm{mA} = 3 \times 10^{-3}\ \mathrm{A}$
• 穩態條件（$t \to \infty$）：電容充飽電等效開路，迴路電流為零： $i_1(\infty) = 0\ \mathrm{A}$
• 代入三要素法公式： $i_1(t) = i_1(\infty) + [i_1(0^+) - i_1(\infty)] e^{-t/\tau} = 3 e^{-2.5t}\ \mathrm{mA} \quad (t \ge 0)$ 即： $i_1(t) = 3 \times 10^{-3} e^{-2.5t}\ \mathrm{A} \quad (t \ge 0)$

步驟 3：推導電容 $C_1$ 跨壓 $v_1(t)$

• 初始條件（$t = 0^+$）：由題意初始電壓為零： $v_1(0^+) = 0\ \mathrm{V}$
• 穩態條件（$t \to \infty$）：穩態時 $i_1(\infty) = 0$，電阻 $R_1$ 兩端無壓降，電源電壓 $E_1 = 60\ \mathrm{V}$ 全部加在串聯電容組（$C_1$ 與 $C_{23}$）上。依串聯分壓原理：

核心觀念

本題為直流電橋電路的分析計算題，評量考生對直流電路基本定律與解題工具的掌握。核心觀念與公式包括：

1. 克希荷夫電壓定律（KVL）與克希荷夫電流定律（KCL）：

• KCL：電路中任一節點之流進電流總和等於流出電流總和，即 $\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$。

2. 歐姆定律（Ohm's Law）：

• 電阻兩端電位差與通過電流的關係式為 $V = I \cdot R$ 或 $I = \frac{\Delta V}{R}$。

3. 節點電壓法（Node Voltage Method）：

• 選定參考節點（接地點，電位為 $0\ \mathrm{V}$），對其餘獨立節點列寫 KCL 方程式，可直接解出各節點對地電位。

4. $\Delta\text{-Y}$（三角型轉星型）等效轉換：

• 用於將非平衡電橋簡化為串並聯電路，以快速求解等效電阻與總電流。

解題方法

本題電路結構由直流電源 $E_1 = 100\ \mathrm{V}$ 串聯一個 $4\ \Omega$ 限流電阻後，連接至由五個電阻（$20\ \Omega$、$30\ \Omega$、$50\ \Omega$、$20\ \Omega$、$15\ \Omega$）組成的電橋電路。

定義節點與參考方向：

• 設電路最下方之共接地線為參考節點，電位為 $0\ \mathrm{V}$。
• 設電源 $E_1$ 輸出端經 $4\ \Omega$ 電阻後之頂部共用節點電位為 $V_T$。
• 電阻 $50\ \Omega$ 左端節點對地電壓即為待求之 $V_1$。
• 電阻 $50\ \Omega$ 右端節點對地電壓即為待求之 $V_2$。
• 電流 $I_1$ 為由頂部節點 $V_T$ 向下流經上方 $20\ \Omega$ 電阻進入節點 1 的電流。
• 電流 $I_2$ 為由頂部節點 $V_T$ 向下流經上方 $30\ \Omega$ 電阻進入節點 2 的電流。

步驟一：對節點 $V_T$、$V_1$、$V_2$ 建立節點電壓方程式（KCL）

1. 節點 $V_T$ 之 KCL 方程式： 流進電流等於流出電流（流向兩分支的電流 $I_1$ 與 $I_2$ 之和）： $\frac{100 - V_T}{4} = \frac{V_T - V_1}{20} + \frac{V_T - V_2}{30}$ 同乘以 60 去除分母： $15(100 - V_T) = 3(V_T - V_1) + 2(V_T - V_2)$ $1500 - 15V_T = 5V_T - 3V_1 - 2V_2$ $20V_T - 3V_1 - 2V_2 = 1500 \quad \cdots\cdots\text{(第 1 式)}$

2. 節點 1（電壓 $V_1$）之 KCL 方程式： 流出各支路之電流和為零： $\frac{V_1 - V_T}{20} + \frac{V_1}{20} + \frac{V_1 - V_2}{50} = 0$ 同乘以 100 去除分母： $5(V_1 - V_T) + 5V_1 + 2(V_1 - V_2) = 0$ $-5V_T + 12V_1 - 2V_2 = 0$ $5V_T = 12V_1 - 2V_2 \quad \cdots\cdots\text{(第 2 式)}$

3. 節點 2（電壓 $V_2$）之 KCL 方程式： 流出各支路之電流和為零： $\frac{V_2 - V_T}{30} + \frac{V_2}{15} + \frac{V_2 - V_1}{50} = 0$ 同乘以 150 去除分母： $5(V_2 - V_T) + 10V_2 + 3(V_2 - V_1) = 0$ $-5V_T - 3V_1 + 18V_2 = 0$ $5V_T = -3V_1 + 18V_2 \quad \cdots\cdots\text{(第 3 式)}$

步驟二：聯立求解各節點電壓

將第 2 式與第 3 式聯立（兩者皆等於 $5V_T$）： $12V_1 - 2V_2 = -3V_1 + 18V_2$ $15V_1 = 20V_2 \implies V_2 = \frac{3}{4}V_1$

將 $V_2 = \frac{3}{4}V_1$ 代回第 2 式求 $V_T$ 與 $V_1$ 之關係： $5V_T = 12V_1 - 2\left(\frac{3}{4}V_1\right) = 12V_1 - 1.5V_1 = 10.5V_1$ $V_T = 2.1V_1$

核心觀念

本題評量交流穩態電路分析中的負載阻抗計算、相量運算，以及串聯與並聯等效電路轉換。核心公式與觀念如下：

1. 相量法（Phasor Method）與歐姆定律： 將正弦時域信號轉為最大值（或有效值）相量： $v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta_v) \iff \mathbf{V} = V_m \angle \theta_v$ $i(t) = I_m \sin(\omega t + \theta_i) \iff \mathbf{I} = I_m \angle \theta_i$ 等效總阻抗定義為： $\mathbf{Z} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} = |\mathbf{Z}|\angle \theta$
2. 串聯等效電路： $\mathbf{Z}_s = R_s + jX_{L,s} = |\mathbf{Z}|\cos\theta + j|\mathbf{Z}|\sin\theta$ 電感抗與電感值之關係： $X_{L,s} = \omega L_s \implies L_s = \frac{X_{L,s}}{\omega}$
3. 並聯等效電路（導納法）： 利用總導納 $\mathbf{Y}$ 分離實部（電導 $G$）與虛部（電納 $B$）： $\mathbf{Y} = \frac{1}{\mathbf{Z}} = G - jB_L = \frac{1}{R_p} - j\frac{1}{X_{L,p}}$ 電感抗與電感值之關係： $X_{L,p} = \omega L_p \implies L_p = \frac{X_{L,p}}{\omega}$

解題方法

由題目給定之電壓與電流時域表示式： $v_L(t) = 200\sin(377t)\ \mathrm{V}$ $i_L(t) = 20\sin(377t - 60^\circ)\ \mathrm{A}$

得知角頻率 $\omega = 377\ \mathrm{rad/s}$。以最大值相量表示： $\mathbf{V}_L = 200\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$ $\mathbf{I}_L = 20\angle -60^\circ\ \mathrm{A}$

負載總阻抗 $\mathbf{Z}$ 為： $\mathbf{Z} = \frac{\mathbf{V}_L}{\mathbf{I}_L} = \frac{200\angle 0^\circ}{20\angle -60^\circ} = 10\angle 60^\circ\ \Omega$

（一）串聯等效電路

將極座標形式轉換為直角座標形式： $\mathbf{Z}_s = 10\angle 60^\circ = 10\cos 60^\circ + j 10\sin 60^\circ = 5 + j 5\sqrt{3}\ \Omega$

對應串聯模型 $\mathbf{Z}_s = R_s + jX_{L,s}$：

1. 電阻值 $R_s$： $R_s = 5\ \Omega$
2. 電感抗 $X_{L,s}$ 與電感值 $L_s$： $X_{L,s} = 5\sqrt{3}\ \Omega \approx 8.66\ \Omega$

核心觀念

本題主要測驗電機與電信工程領域中最基礎且關鍵的兩大概念：電阻的溫度效應與正弦交流電路的功率與能量計算。所涉及的核心觀念與公式如下：

1. 電阻的溫度係數（Temperature Coefficient of Resistance）： 金屬導體的電阻值隨溫度升高而增加，其關係式為： $R_2 = R_1 [1 + \alpha_1(T_2 - T_1)]$ 其中 $\alpha_1$ 為溫度在 $T_1$ 時的電阻溫度係數。

2. 正弦交流電的有效值（RMS Value）： 正弦波電流 $i(t) = I_m \sin(\omega t)$ 之有效值 $I_{\mathrm{rms}}$ 定義為其最大值（峰值）$I_m$ 的 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍： $I_{\mathrm{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

3. 交流純電阻之歐姆定律與電壓有效值： 純電阻電路中，電壓與電流同相位，端電壓有效值與電流有效值滿足歐姆定律： $V_{\mathrm{rms}} = I_{\mathrm{rms}} \times R$

4. 純電阻之消耗功率（平均功率）： 交流電路中電阻所消耗的實功率（平均功率）為： $P = I_{\mathrm{rms}}^2 R = \frac{V_{\mathrm{rms}}^2}{R} = \frac{1}{2} I_m^2 R$

5. 電能（能量消耗）計算： 在恆定功率或交流穩定狀態下，時間 $t$ 內所消耗的總能量 $W$ 為： $W = P \times t$ 依國際標準制（SI制），時間單位需轉換為秒（$\mathrm{s}$），所得能量單位為焦耳（$\mathrm{J}$）。若換算為電工常用度數，則以千瓦·小時（$\mathrm{kWh}$）表示。

解題方法

（一）計算 $80^\circ\mathrm{C}$ 時的電阻值及電阻器端電壓有效值

1. 計算 $80^\circ\mathrm{C}$ 時之電阻值 $R_{80}$： 已知基準溫度 $T_1 = 20^\circ\mathrm{C}$，基準電阻 $R_{20} = 10\ \Omega$，電阻溫度係數 $\alpha_{20} = 0.00393\ (^\circ\mathrm{C})^{-1}$。 目標溫度 $T_2 = 80^\circ\mathrm{C}$，溫度差 $\Delta T = T_2 - T_1 = 80 - 20 = 60^\circ\mathrm{C}$。 代入溫度效應公式： $R_{80} = R_{20}[1 + \alpha_{20}(T_2 - T_1)]$ $R_{80} = 10 \times [1 + 0.00393 \times (80 - 20)]$ $R_{80} = 10 \times [1 + 0.2358] = 10 \times 1.2358 = 12.358\ \Omega$

2. 計算電流有效值 $I_{\mathrm{rms}}$： 流經電阻器之瞬時電流為 $i(t) = 10\sin 377t\ \mathrm{A}$，可知其峰值 $I_m = 10\ \mathrm{A}$。 電流有效值為： $I_{\mathrm{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\ \mathrm{A} \approx 7.071\ \mathrm{A}$

3. 計算端電壓有效值 $V_{\mathrm{rms}}$： 依據純電阻電路之歐姆定律：