107 高普考普通考試 電信工程 通信系統概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量通訊系統與信號與系統中最基礎且核心的信號分類與功率計算能力，主要涵蓋以下觀念：

1. 信號平均功率（Average Power）之時域定義： 對於任意連續時間信號 $x(t)$，定義其在 $1\,\Omega$ 虛擬負載電阻上的規格化平均功率（Normalized Average Power）為： $P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 \, dt$ 若 $x(t)$ 為週期性信號，基本週期為 $T_0$，則其平均功率可簡化為任一週期內的時均值： $P = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} |x(t)|^2 \, dt$

2. 信號能量（Signal Energy）之時域定義： 規格化總能量定義為信號瞬時功率在全時域區間的積分： $E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt$

3. 信號分類準則： 依據 $E$ 與 $P$ 的收斂性，將信號嚴格劃分為能量信號、功率信號，以及兩者皆非（Neither）的信號。

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解題方法

(一) 信號 $x(t) = a\cos(bt+\theta)$ 之功率求解

依參數 $b$ 是否為零，分兩種情況討論（考試標準解法以 $b \neq 0$ 為主，並補充 $b = 0$ 之特例以求嚴謹）：

1. 一般情況（$b \neq 0$）： 此時信號為角頻率 $\omega_0 = |b| \neq 0$ 之週期性弦波信號，其基本週期為 $T_0 = \frac{2\pi}{|b|}$。

依據週期信號平均功率公式： $P = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} x^2(t) \, dt = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} a^2 \cos^2(bt+\theta) \, dt$

利用三角函數倍角公式 $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ 展開： $x^2(t) = a^2 \left[ \frac{1 + \cos(2bt + 2\theta)}{2} \right] = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}\cos(2bt + 2\theta)$

代入積分式： $P = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} \frac{a^2}{2} \, dt + \frac{a^2}{2T_0} \int_{0}^{T_0} \cos(2bt + 2\theta) \, dt$

由於 $\cos(2bt + 2\theta)$ 之頻率為原信號的兩倍，在原信號的一個基本週期 $T_0$ 內剛好完成 $2$ 個完整週期振盪，其週期積分值恆等於零： $\int_{0}^{T_0} \cos(2bt + 2\theta) \, dt = 0$

因此，僅保留直流分量的積分： $P = \frac{1}{T_0} \cdot \left( \frac{a^2}{2} \cdot T_0 \right) = \frac{a^2}{2}$

2. 特殊情況（$b = 0$）： 若 $b = 0$，則信號退化為直流常數信號 $x(t) = a\cos(\theta)$。 其平均功率為： $P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} [a\cos(\theta)]^2 \, dt = [a\cos(\theta)]^2 = a^2 \cos^2(\theta)$

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(二) 能量信號與功率信號之定義與差異性

1. 能量信號（Energy Signals）：

• 定義：若信號的總能量 $E$ 滿足 $0 < E < \infty$（有限且非零），則稱為能量信號。

核心觀念

本題評量類比濾波器合成理論（Analog Filter Synthesis）中，三大經典連續時間低通近似函數之頻率響應特性與 $s$ 平面（Laplace 域）零極點結構之關係。

1. 濾波器規格四要素

任何低通濾波器設計皆給定以下四項指標：

• 通帶截止頻率（Passband edge frequency）：$\omega_p$
• 阻帶起始頻率（Stopband edge frequency）：$\omega_s$（其中 $\omega_s > \omega_p$）
• 通帶最大衰減／漣波（Maximum passband attenuation/ripple）：$A_p$（或漣波參數 $\epsilon$）
• 阻帶最小衰減（Minimum stopband attenuation）：$A_s$

過渡帶寬度（Transition band width）定義為 $\Delta\omega = \omega_s - \omega_p$。

2. 幅度平方響應定義

• 巴特沃斯（Butterworth）： $|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \epsilon^2 \left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)^{2N}}$
• 切比雪夫（Chebyshev Type I）： $|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \epsilon^2 T_N^2\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)}$ 其中 $T_N(x)$ 為第一類 $N$ 階切比雪夫多項式。
• 橢圓（Elliptic / Cauer）： $|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \epsilon^2 R_N^2\left(\xi, \frac{\omega}{\omega_p}\right)}$ 其中 $R_N(\xi, x)$ 為雅可比切比雪夫橢圓有理函數（Chebyshev rational function），$\xi$ 為選擇度因子。

3. 拉普拉斯轉換（$s$ 平面）系統轉移函數

• 全極點系統（All-pole system）： $H(s) = \frac{K}{\prod_{k=1}^N (s - p_k)}$
• 極零點系統（Pole-zero system）： $H(s) = K \frac{\prod_{i=1}^M (s^2 + \omega_{zi}^2)}{\prod_{k=1}^N (s - p_k)}$

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解題方法

一、 頻譜響應（Magnitude Response）之差異比較

針對相同的設計規格 $(\omega_p, \omega_s, A_p, A_s)$，三種濾波器在頻譜響應上的差異分布於「通帶」、「阻帶」以及「過渡帶滾降（Roll-off）」：

比較項目	巴特沃斯（Butterworth）	切比雪夫（Chebyshev Type I）	橢圓（Elliptic / Cauer）
通帶響應	最大平坦（Maximally Flat）<br>單調遞減，無漣波（Monotonic）	等漣波（Equiripple）<br>在指定 $A_p$ 範圍內等幅振盪	等漣波（Equiripple）<br>在指定 $A_p$ 範圍內等幅振盪
阻帶響應	單調遞減（Monotonic）<br>隨頻率增加平滑衰減至 0	單調遞減（Monotonic）<br>衰減速率較巴特沃斯快	等漣波（Equiripple）<br>具多個傳輸零點，衰減維持 $\ge A_s$
過渡帶滾降	最平緩（過渡帶最寬）	次之（過渡帶寬度居中）	最陡峭（過渡帶最窄）
相位線性度	最佳（群延遲較為平坦）	次之（通帶邊緣群延遲上升）	最差（通帶截止頻率處相位嚴重扭曲）

詳細特性闡述：

1. 巴特沃斯濾波器（Butterworth Filter）：

• 又稱「最大平坦濾波器」。在直流處（$\omega = 0$）其前 $2N-1$ 次導數皆為零，提供全頻帶最平滑的振幅特性。
• 通帶與阻帶內皆無漣波產生，完全呈現單調遞減趨勢；但其在過渡帶的衰減斜率最緩，需要最寬的過渡頻寬才能達到指定的阻帶衰減。

2. 切比雪夫濾波器（Chebyshev Filter）：

• 業界最常指 Type I（第一類切比雪夫），犧牲了通帶的平坦度，允許在通帶內出現均勻分佈的漣波（Equiripple），藉此換取在截止頻率邊緣 $\omega_p$ 處更快速的衰減。
• 阻帶內無零點，仍為單調遞減；若為 Type II（反切比雪夫），則通帶最大平坦，阻帶呈現等漣波。

3. 橢圓濾波器（Elliptic Filter）：

• 同時在通帶與阻帶內允許等漣波振盪。
• 藉由在阻帶內配置「有限傳輸零點（Finite Transmission Zeros）」，使得在特定頻率處傳輸為零（衰減無窮大），因此具備最為陡峭的滾降特性，能以最短的頻率區間跨越過渡帶。

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二、 拉普拉斯轉換階數（Order, $N$）之差異比較與原理解釋

1. 階數大小關係

在滿足完全相同之低通濾波器設計規格（即相同的 $\omega_p$、$\omega_s$、通帶漣波 $A_p$、阻帶衰減 $A_s$）條件下，三者的轉移函數階數 $N$ 滿足下列絕對大小關係： $N_{\text{Butterworth}} > N_{\text{Chebyshev}} > N_{\text{Elliptic}}$ 即巴特沃斯階數最高，切比雪夫次之，橢圓濾波器所需階數最低。

2. 原理解釋（以拉普拉斯域零極點配置與多項式行為剖析）

• 巴特沃斯濾波器階數最高的原因（全極點，圓形分佈）：
• 巴特沃斯的拉普拉斯轉換轉移函數為全極點系統，所有的傳輸零點均位於無窮遠處（$s = \infty$）。
• 其 $N$ 個極點均勻分布於 $s$ 平面左半平面半徑為 $\omega_0$ 的半圓軌跡上。

核心觀念

本題主要測驗類比通信系統中「希爾伯特轉換（Hilbert Transform）」與「振幅調變（AM/DSB/SSB）」的核心數學原理及頻譜分析能力：

1. 三角函數積化和差： 若訊息信號為兩餘弦波之乘積，需先透過積化和差展開為不同頻率之單音信號疊加： $\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$

2. 希爾伯特轉換（Hilbert Transform）的頻域與時域特性： 希爾伯特轉換器為一理想 $90^\circ$ 移相器（$-90^\circ$ Phase Shifter），其脈衝響應為 $h(t) = \frac{1}{\pi t}$，頻率響應為 $H(f) = -j\operatorname{sgn}(f)$。對正頻率（$f > 0$）相移 $-90^\circ$、對負頻率（$f < 0$）相移 $+90^\circ$。 對標準餘弦波而言（角頻率 $\omega_0 > 0$）： $\mathcal{H}\{\cos(\omega_0 t)\} = \sin(\omega_0 t)$ $\mathcal{H}\{\sin(\omega_0 t)\} = -\cos(\omega_0 t)$

3. 雙邊頻抑制載波調變（DSB-SC）頻譜位移定理： 時域乘上載波 $\cos(\omega_c t)$ 在頻域上代表將基頻頻譜 $M(f)$ 搬移至載波頻率 $\pm f_c$ 處： $\mathcal{F}\{m(t)\cos(\omega_c t)\} = \frac{1}{2}[M(f - f_c) + M(f + f_c)]$

4. 單邊頻調變（SSB）之邊頻定義：

• 上邊頻（USB, Upper Sideband）：頻率高於載波頻率的部分，即正頻率軸上落於 $f > f_c$ 的分量（及其對稱於負頻率軸之分量）。
• 下邊頻（LSB, Lower Sideband）：頻率低於載波頻率的部分，即正頻率軸上落於 $f < f_c$ 的分量（及其對稱於負頻率軸之分量）。

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解題方法

(一) 計算訊息通過希爾伯特轉換器之輸出信號

1. 化簡輸入訊息信號 $m(t)$： 利用積化和差公式展開： $m(t) = \cos(40\pi t)\cos(60\pi t) = \frac{1}{2}[\cos((60\pi + 40\pi)t) + \cos((60\pi - 40\pi)t)]$ $m(t) = \frac{1}{2}\cos(100\pi t) + \frac{1}{2}\cos(20\pi t)$ 此信號由兩個頻率成分組成：

• 頻率成分 1：角頻率 $\omega_1 = 20\pi\text{ rad/s}$，頻率 $f_1 = 10\text{ Hz}$。
• 頻率成分 2：角頻率 $\omega_2 = 100\pi\text{ rad/s}$，頻率 $f_2 = 50\text{ Hz}$。

2. 進行希爾伯特轉換 $\hat{m}(t)$： 由於系統為線性非時變（LTI），利用疊加定理分別對兩餘弦分量進行轉換： $\mathcal{H}\{\cos(100\pi t)\} = \sin(100\pi t)$ $\mathcal{H}\{\cos(20\pi t)\} = \sin(20\pi t)$ 輸出信號記為 $\hat{m}(t)$： $\hat{m}(t) = \frac{1}{2}\sin(100\pi t) + \frac{1}{2}\sin(20\pi t)$

3. 化為乘積形式（亦可保留和差形式）： 利用和差化積公式 $\sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$： $\hat{m}(t) = \frac{1}{2} \cdot 2\sin\left(\frac{100\pi t + 20\pi t}{2}\right)\cos\left(\frac{100\pi t - 20\pi t}{2}\right) = \sin(60\pi t)\cos(40\pi t)$

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(二) 標出雙邊頻（DSB）調變信號及其上邊頻（USB）頻譜響應之頻率位置

設載波角頻率為 $\omega_c$，對應之載波頻率為 $f_c = \frac{\omega_c}{2\pi}$（通常載波頻率遠大於基頻帶最高頻率，即 $f_c > 50\text{ Hz}$）。

1. 雙邊頻調變信號 $s_{\text{DSB}}(t)$ 之時域展開： $s_{\text{DSB}}(t) = m(t)\cos(\omega_c t) = \left[\frac{1}{2}\cos(100\pi t) + \frac{1}{2}\cos(20\pi t)\right]\cos(\omega_c t)$ 再次利用積化和差展開：

核心觀念

本題評量通訊系統中「單邊帶（Single Sideband, SSB）調變」的數學時域表示式、頻譜轉換特性，以及接收端「同調解調（Coherent Demodulation）」的設計原理。關鍵核心觀念包含：

1. SSB 信號的希爾伯特轉換（Hilbert Transform）時域表示式： 設基頻信號為 $x(t)$，頻寬為 $W$，其希爾伯特轉換為 $\hat{x}(t)$。載波頻率為 $f_c$ 時：

• 上單邊帶（USB）信號：$s_{\text{USB}}(t) = x(t)\cos(2\pi f_c t) - \hat{x}(t)\sin(2\pi f_c t)$
• 下單邊帶（LSB）信號：$s_{\text{LSB}}(t) = x(t)\cos(2\pi f_c t) + \hat{x}(t)\sin(2\pi f_c t)$

2. 下單邊帶調變的頻譜反轉特性（Spectral Inversion）： 單音信號 $\cos(2\pi f_m t)$ 通過載波為 $f_{c1}$ 的 LSB 調變器後，輸出頻率為 $f_{c1} - f_m$。基頻頻率愈高，調變後的射頻頻率反而愈低，此現象稱為頻譜反轉。

3. 連續兩級 LSB 調變的等效性（負負得正）： 當信號再度通過載波為 $f_{c2}$ 的 LSB 系統時，頻譜會再次反轉： $f = f_{c2} - (f_{c1} - f_m) = (f_{c2} - f_{c1}) + f_m$ 此時頻譜方向恢復為正立，其等效結果轉變為以 $|f_{c2} - f_{c1}|$ 為等效載波頻率的「上單邊帶（USB）」信號（假設 $f_{c2} > f_{c1}$）。

4. 同調解調（Coherent Detection / Synchronous Demodulation）： SSB 缺乏大載波成份，無法使用包絡檢波器，必須使用本地振盪器（LO）產生與接收信號載波同步的同頻同相載波進行相乘，再經由低通濾波器（LPF）濾除雙倍頻項，即可無失真還原 $x(t)$。

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解題方法

步驟一：分析第一級 LSB 調變輸出 $s_1(t)$

基頻信號 $x(t)$ 通過載波為 $f_{c1}$ 的 LSB 調變系統，輸出信號 $s_1(t)$ 為： $s_1(t) = x(t)\cos(2\pi f_{c1} t) + \hat{x}(t)\sin(2\pi f_{c1} t)$

若以代表性單音 $x(t) = A_m\cos(2\pi f_m t)$ 分析（其中 $0 < f_m \le W < f_{c1}$），則 $\hat{x}(t) = A_m\sin(2\pi f_m t)$，代入得： $s_1(t) = A_m [\cos(2\pi f_m t)\cos(2\pi f_{c1} t) + \sin(2\pi f_m t)\sin(2\pi f_{c1} t)] = A_m\cos(2\pi (f_{c1} - f_m)t)$ 正頻率頻譜分佈於 $[f_{c1} - W, f_{c1}]$，呈現頻譜反轉狀態。

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步驟二：分析第二級 LSB 調變輸出 $r(t)$

將 $s_1(t)$ 輸入載波頻率為 $f_{c2}$ 的類似 LSB 調變系統。根據定義，輸出 $r(t)$ 為： $r(t) = s_1(t)\cos(2\pi f_{c2} t) + \hat{s}_1(t)\sin(2\pi f_{c2} t)$

利用希爾伯特轉換性質（貝德羅辛定理 Bedrosian's Theorem），對帶通信號 $s_1(t)$ 取希爾伯特轉換： $\hat{s}_1(t) = x(t)\sin(2\pi f_{c1} t) - \hat{x}(t)\cos(2\pi f_{c1} t)$

將 $s_1(t)$ 與 $\hat{s}_1(t)$ 展開代入 $r(t)$： $r(t) = \left[x(t)\cos(2\pi f_{c1} t) + \hat{x}(t)\sin(2\pi f_{c1} t)\right]\cos(2\pi f_{c2} t) + \left[x(t)\sin(2\pi f_{c1} t) - \hat{x}(t)\cos(2\pi f_{c1} t)\right]\sin(2\pi f_{c2} t)$

重新整理各項係數： $r(t) = x(t)\left[\cos(2\pi f_{c1} t)\cos(2\pi f_{c2} t) + \sin(2\pi f_{c1} t)\sin(2\pi f_{c2} t)\right] - \hat{x}(t)\left[\cos(2\pi f_{c1} t)\sin(2\pi f_{c2} t) - \sin(2\pi f_{c1} t)\cos(2\pi f_{c2} t)\right]$

利用三角函數和差化積公式簡化： $r(t) = x(t)\cos(2\pi (f_{c2} - f_{c1})t) - \hat{x}(t)\sin(2\pi (f_{c2} - f_{c1})t)$

結論：在 $f_{c2} > f_{c1}$ 的一般實務假設下，令等效載波頻率 $f_0 = f_{c2} - f_{c1}$，則： $r(t) = x(t)\cos(2\pi f_0 t) - \hat{x}(t)\sin(2\pi f_0 t)$ 此數學式恰為以 $f_0 = f_{c2} - f_{c1}$ 為載波的上單邊帶（USB）調變信號，其正頻率頻譜分佈在 $[f_0, f_0 + W]$，頻譜方向恢復為正立。

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步驟三：頻譜變化圖解

各階段頻譜轉換關係圖如下所示（假設 $f_{c2} > f_{c1} > W$）：

(1) 基頻信號 X(f) 頻譜 (正立)
 |X(f)|
 /\
 / \
 ---/----\---
 -W 0 W f --->

(2) 第一級 LSB 調變輸出 S1(f) (以 fc1 為中心，頻譜反轉)
 |S1(f)|
 /\
 / \
 ---/----\-------------------
 fc1-W fc1 f --->

(3) 第二級 LSB 調變輸出 R(f) (以 f0 = fc2 - fc1 為等效載波，頻譜再度反轉，變回正立 USB)
 |R(f)|
 /\
 / \
 ---/----\-------------------
 f0 f0+W f ---> (其中 f0 = fc2 - fc1)

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步驟四：接收機設計與架構圖

鑑於 $r(t)$ 本質上為等效載波 $f_0 = |f_{c2} - f_{c1}|$ 的 SSB 信號，最精簡且高性能的接收機採用單級同調檢波架構（Coherent Demodulator）。

1. 接收機方塊圖解（Block Diagram）

核心觀念

本題的核心觀念為通訊系統中的取樣定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）​與頻譜混疊（Aliasing）​現象，在日常生活與物理光學中具體表現為頻閃效應（Stroboscopic Effect）​或車輪效應（Wagon-Wheel Effect）。

1. 旋轉對稱性與信號基頻： 電扇具備 3 個對稱均勻分佈的葉片，相鄰葉片夾角為 $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$。 若電扇本體以旋轉頻率 $f_0$ 旋轉，且葉片無特殊標記（肉眼無法分辨葉片個別身份），則幾何圖樣的重複出現頻率（特徵基頻）為： $f_b = 3 \times f_0$ 這相當於一個頻率為 $f_b$ 的週期性信號。

2. 頻閃取樣（Stroboscopic Sampling）： 閃光燈每秒閃爍次數即為通訊系統中的取樣頻率 $f_s$（Sampling Frequency），閃光週期（取樣間隔）為 $T_s = \frac{1}{f_s}$。每次閃光瞬間，電扇轉過的真實角度為： $\Delta \theta = 360^\circ \times f_0 \times T_s = 360^\circ \times \frac{f_0}{f_s}$

3. 視在運動判定（奈奎斯特準則與最近鄰近原理）： 由於 3 個葉片每隔 $120^\circ$ 具完全對稱性，視覺觀察到的位置變化等效於模除 $120^\circ$（$\pmod{120^\circ}$）。人眼會以「位移量最小的相鄰葉片」作為動態追蹤依據，故其視在角位移（Apparent Angular Displacement） $\Delta \theta_{\text{app}}$ 必落在區間 $\left(-60^\circ, +60^\circ\right]$ 內：

• 若 $\Delta \theta_{\text{app}} > 0$，觀察為順時針旋轉。
• 若 $\Delta \theta_{\text{app}} < 0$，觀察為逆時針旋轉。
• 若 $\Delta \theta_{\text{app}} = 0$，觀察為靜止。 視在旋轉頻率的大小為： $|f_{\text{app}}| = \frac{|\Delta \theta_{\text{app}}|}{360^\circ \times T_s}$

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解題方法

已知條件：

• 葉片數 $N = 3$，葉片夾角 $\phi = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$。
• 電扇真實旋轉速度 $f_0 = 10\text{ rps}$（每秒 10 轉，順時針方向）。
• 葉片通過某特定方位的物理圖樣基頻： $f_b = 3 \times f_0 = 3 \times 10 = 30\text{ Hz}$

(一) 閃光燈頻率 $f_s = 30\text{ 次/秒}$（$30\text{ Hz}$）

1. 計算相鄰兩次閃光間電扇轉過的角度： 閃光週期 $T_s = \frac{1}{30}\text{ s}$。 在時間 $T_s$ 內，電扇順時針轉過的真實角度為： $\Delta \theta = 360^\circ \times 10\text{ rps} \times \frac{1}{30}\text{ s} = 120^\circ$
2. 視在角位移分析： 因為電扇剛好順時針轉動了 $120^\circ$，原先第 1 號葉片移動到第 2 號葉片的位置，第 2 號移動到第 3 號，第 3 號移動到第 1 號。由於三個葉片外觀完全相同，在每次閃光時，葉片皆停留在空間中的完全相同方位： $\Delta \theta_{\text{app}} = 120^\circ - 120^\circ = 0^\circ$
3. 結論： 觀測到的視在旋轉速度為 $0\text{ rps}$（外觀呈現靜止不動），無旋轉方向。

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(二) 閃光燈頻率 $f_s = 40\text{ 次/秒}$（$40\text{ Hz}$）及正確觀測所需條件

第一問：$f_s = 40\text{ 次/秒}$ 時的觀察速度與方向

1. 計算相鄰兩次閃光間電扇轉過的角度： 閃光週期 $T_s = \frac{1}{40}\text{ s}$。 在時間 $T_s$ 內，電扇順時針轉過的真實角度為： $\Delta \theta = 360^\circ \times 10\text{ rps} \times \frac{1}{40}\text{ s} = 90^\circ\text{（順時針）}$
2. 視在角位移分析： 以原本各葉片所處的對稱位置（$0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$）為基準：

• 位於 $0^\circ$ 的葉片在閃光時出現在 $90^\circ$。
• 人眼視覺會將此 $90^\circ$ 處的葉片，與原本位於 $120^\circ$ 處的葉片做就近比對（因為距離僅差 $30^\circ$，小於與 $0^\circ$ 葉片的距離 $90^\circ$）。
• 根據模除對稱性，視在角位移為： $\Delta \theta_{\text{app}} = 90^\circ - 120^\circ = -30^\circ$ 負號代表與原本順時針方向相反，即呈現逆時針運動。

3. 計算視在旋轉速度：