109 高普考普通考試 電信工程 通信系統概要 考古題詳解

核心觀念

採用以頻率 $f$（Hz）表示的傅立葉轉換定義：

題目給定的 $\operatorname{sinc}(t)=\sin(\pi t)/(\pi t)$，其基本傅立葉轉換對為

其中 $\operatorname{rect}(f)=1$（$|f|<1/2$），在 $|f|>1/2$ 時為 $0$。本題會用到兩個性質：

• 時間縮放：$x(at)\longleftrightarrow \dfrac{1}{|a|}X\!\left(\dfrac{f}{a}\right)$。
• 時間相乘對應頻域卷積；時間卷積對應頻域相乘。

（一）$g_1(t)=\operatorname{sinc}^2(2t)$

先由縮放性質求 $\operatorname{sinc}(2t)$ 的傅立葉轉換：

因此，$\operatorname{sinc}(2t)$ 的頻譜是高度 $1/2$、範圍 $-1\le f\le 1$ 的矩形。由時間相乘對應頻域卷積，

對固定的 $f$，兩個矩形平移後的重疊長度為 $2-|f|$（當 $|f|\le 2$）；重疊範圍外長度為零。因此

也可寫成

頻譜圖為頂點在 $(0,\frac12)$、兩端點在 $(-2,0)$ 與 $(2,0)$ 的三角形：

 G₁(f)
 1/2 /\
 / \
 / \
 0 ─────────●──────●──────── f
 -2 0 2

核心觀念

此電路是電阻串聯、電容並聯接地，輸出取自電容兩端，因此是 RC 低通濾波器。其頻率響應由分壓關係得到；正弦輸入經濾波後，振幅乘上 $|H(f)|$，相位則加上 $\angle H(f)$。

解題方法

電容阻抗為 $Z_C=1/(j2\pi fC)$。由分壓公式，

低通濾波器的截止頻率定義為振幅降至通帶振幅的 $1/\sqrt{2}$，故

代入 $R=5\,\mathrm{k\Omega}$、$C=20\,\mathrm{nF}$：

輸入 $x(t)=2\cos(5000t)$ 的角頻率為 $\omega=5000\,\mathrm{rad/s}$。此頻率下

核心觀念

本題考查標準調幅（AM）的調變指數、頻譜展開與功率分配。調變百分率為 $90\%$，表示調變指數 $\mu=0.9$。對單音訊號 $m(t)=A_m\cos(2\pi f_m t)$，AM 調變指數與振幅靈敏度的關係為

載波振幅為 $A_c=2$。在單音 AM 中，載波功率為 $P_c=A_c^2/2$（假設負載為 $1\,\Omega$），每一個邊帶的功率為 $P_c\mu^2/4$，兩個邊帶的總功率為 $P_c\mu^2/2$。

解題方法

由訊息訊號可讀出 $A_m=3$、$f_m=4000\,\text{Hz}$；載波頻率為 $f_c=10^6\,\text{Hz}$。因此振幅靈敏度為

訊息訊號的傅立葉轉換採用 $X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$。由 $\cos(2\pi f_0t)\longleftrightarrow \frac{1}{2}[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)]$，得到

將 $k_am(t)=0.9\cos(2\pi\cdot4000t)$ 代入 AM 式：

其中使用 $\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$。故載波在 $f_c=1\,\text{MHz}$，上下邊帶分別在 $f_c-f_m=996\,\text{kHz}$ 與 $f_c+f_m=1.004\,\text{MHz}$。

核心觀念

斜率偵測器利用調諧電路的頻率響應斜率，把 FM 訊號瞬時頻率的偏移轉換成振幅變化，再接上包絡檢波器，完成 FM 至 AM 的轉換。其關鍵是微分作用：頻率越高的訊號成分，經微分後振幅越大。

對 FM 訊號而言，瞬時角頻率可寫成 $\omega_i(t)=\omega_c+k_f m(t)$。斜率偵測器在載波附近的斜率，將頻率偏移 $\Delta\omega(t)=k_f m(t)$ 轉成與訊息 $m(t)$ 成正比的振幅變化，之後由包絡檢波取出訊息。

（一）斜率偵測與 AWGN 的影響

斜率偵測器的等效作用屬於微分電路，不是積分電路。微分器的頻率響應為

因此通過解調器的白色高斯雜訊，其功率頻譜密度會乘上 $|H(j\omega)|^2=\omega^2$。若輸入 AWGN 的功率頻譜密度為常數 $S_n(\omega)=N_0/2$，則微分後有

所以原本平坦的白色雜訊頻譜會變成高頻端較強、隨頻率平方增加的頻譜。FM 訊息經斜率偵測後，訊息本身的振幅大致與 $m(t)$ 成正比；

核心觀念

多工是讓多個訊號共用同一傳輸媒介的方法。分時多工（Time Division Multiplexing, TDM）讓各訊號依時間先後輪流使用通道；分頻多工（Frequency Division Multiplexing, FDM）則把通道頻寬分成數個互不重疊的頻帶，讓各訊號同時傳送。

本題重點是比較兩者如何分配通道資源、各自的優缺點，以及串音的來源。兩者皆須在接收端正確分離各路訊號；若時間或頻率上的隔離不足，便可能發生串音。

解題方法

依序說明「資源如何分配、如何接收分離、優缺點、串音原因」。TDM 著重時槽與同步，FDM 著重頻帶配置與濾波隔離；串音原因則分別從時間邊界與頻譜邊界分析。

TDM：操作方式、優缺點與串音

操作方式：​將傳輸時間切成連續的訊框，再把每個訊框分割成多個時槽。各路訊號依固定順序在指定時槽傳送，接收端依據時槽位置及訊框同步資訊，還原各路訊號。若輸入為類比訊號，通常先取樣並量化、編碼，再以數位形式進行 TDM。

優點：

• 多路訊號使用相同頻帶，但在不同時槽傳送，頻率規劃較簡單。
• 數位 TDM 易於搭配數位交換、再生中繼與訊號處理，較不易因傳輸雜訊而逐段累積失真。
• 可依時槽配置通道容量；統計式 TDM 還可依實際流量分配資源，提高時槽使用效率。

缺點：

• 發送端與接收端須維持時脈及訊框同步；同步錯誤會造成時槽錯置。
• 固定式 TDM 即使某路沒有資料，其時槽仍可能閒置，降低頻寬利用率。
• 每路可用的傳輸時間受時槽分配限制；高速切換與同步也會增加系統設計需求。

TDM 串音原因：

1. 同步或時槽定時誤差：​接收端取樣時刻偏移、訊框同步錯誤，或時槽邊界判定不準，可能把相鄰時槽的訊號判入錯誤通道。
2. 脈衝展寬與通道間干擾：​頻寬限制、多重路徑或脈衝響應拖尾會使訊號能量延伸至相鄰時槽，干擾下一路訊號；此現象可視為時間上的通道間干擾。

核心觀念

本題考查網路的計算模式：運算、資料儲存與資源管理由哪些節點負責，以及各節點如何協同工作。基本型式分為集中式計算與分散式計算。

解題方法

可從「運算與控制的位置」、「資源如何配置」及「故障對整體服務的影響」三個面向比較，並據此整理各自的優缺點。

集中式計算

集中式計算由一部中央主機或少數核心伺服器，集中負責主要的運算、資料儲存與管理；其他終端或用戶端主要負責輸入、輸出及提出服務請求。大型主機搭配終端機、用戶端連接中央伺服器，都是常見例子。

優點：

• 資料與系統管理集中，較容易統一維護、備份、更新及執行存取權限控管。
• 運算與儲存資源可集中配置，有利於一致管理及提高大型設備的使用效率。
• 用戶端設備所需的運算能力較低，系統架構與用戶端維護相對單純。

缺點：

• 中央主機或核心伺服器故障時，可能影響大量用戶，形成單點故障。
• 使用者增加或工作量上升時，中央節點容易成為效能瓶頸；擴充通常需要提升中央設備能力。
• 用戶端與中央主機之間的通信負載較大，網路中斷或壅塞可能使服務無法正常使用。
• 資源集中也會增加中央設備的建置與維運成本。

分散式計算

分散式計算將運算、資料或服務分配至多部彼此連接的電腦或網路節點，各節點透過通信網路協調工作。整體服務由多個節點共同提供，系統可依架構採用對等協作或由多個伺服器分擔工作。

優點：

• 工作與資源可分散至多個節點，能分攤負載並提升整體處理能力。
• 可增加節點擴充容量，通常較容易逐步擴充系統。
• 單一節點故障時，其他節點仍可承擔部分工作；若有適當備援與重新分配機制，服務可維持較高可用性。