115 高普考普通考試 電信工程 通信系統概要 考古題詳解

核心觀念

正弦波 $\sin(\omega_0 t)$ 中，$\omega_0$ 是角頻率，單位為 rad/s；頻率 $f_0$ 的單位為 Hz，兩者關係為

採用以 $f$（Hz）為頻率變數的傅立葉轉換時，正弦波的頻譜集中在正、負頻率 $f=\pm f_0$。因此，題目問 $X(f)$ 或 $Y(f)$ 的非零頻率位置，就是找出各正弦分量對應的正、負頻率。

解題方法

利用歐拉公式，

可知其頻譜分量位於 $f=f_0$ 與 $f=-f_0$。依此將題目中的角頻率換算為 Hz，再列出正、負頻率位置。

(一) 求 $x(t)=\sin(60t)$ 的頻率

將 $\sin(60t)$ 與 $\sin(\omega_0t)$ 對照，可得 $\omega_0=60$ rad/s，因此

(二) $X(f)$ 非零的頻率位置

$x(t)=\sin(60t)$ 的正頻率為 $f_0=30/\pi$ Hz。正弦波的頻譜另有一個對稱的負頻率分量，因此

核心觀念

標準單音調幅（AM）訊號由載波與兩個邊帶組成。若負載電阻為 $R$，振幅為 $A$ 的正弦電壓，其平均功率為 $A^2/(2R)$。題目未給負載電阻，因此以 $R$ 表示功率；若採用單位負載，令 $R=1$。

先將 AM 訊號展開：

可見載波振幅為 $A_c$，上、下邊帶振幅各為 $\mu A_c/2$。

解題方法與計算

（一）載波功率

載波為 $A_c\cos(2\pi f_c t)$，因此

若以單位負載表示，則 $P_c=A_c^2/2$。

（二）總邊帶功率

每一個邊帶的振幅為 $\mu A_c/2$，故單一邊帶功率為

兩個邊帶的總功率為

（三）總功率

載波與兩個邊帶位於不同頻率，平均功率相加：

核心觀念

FM 訊號的瞬時相位為 $2\pi f_c t+\varphi(t)$，其中 $\varphi(t)$ 是由訊息造成的相位偏移。小角度近似的關鍵，是將相位偏移較小的調變訊號分解成載波同相分量與正交分量，再使用 $\cos\varphi\approx 1$、$\sin\varphi\approx\varphi$。

解題方法

令 $\theta=2\pi f_c t$，利用和角公式展開：

當 $|\varphi(t)|\ll 1$ 時，代入 $\cos\varphi(t)\approx 1$、$\sin\varphi(t)\approx\varphi(t)$，得到小角度 FM 近似式：

第一項是未調變載波；第二項是與訊息造成的相位偏移 $\varphi(t)$ 成正比的正交分量。

各小題解答

（一）小角度 FM 近似式

核心觀念

本題考查連續時間訊號的理想取樣與取樣定理。取樣週期 $T_s$ 是相鄰取樣點的時間間隔，取樣頻率為

角取樣頻率則為 $\omega_s=2\pi f_s$。若訊號最高頻率為 $f_{\max}$，要避免頻譜混疊並能以理想低通濾波器完美重建，須符合 Nyquist 條件：

因此，給定取樣週期時，可重建的最高訊號頻率為 Nyquist 頻率 $f_s/2$。

解題方法與各小題

（一）由取樣頻率定義直接計算：

（二）在理想取樣定理的 Nyquist 邊界下，最高可重建頻率為：

相應的角頻率為 $\omega_{\max}=2\pi(5000)=10000\pi\,\text{rad/s}$。若訊號含有高於此頻率的成分，便不符合此取樣率下的重建條件。

（三）題目給的是角頻率域頻譜 $X(j\omega)$。其頻率上限為

換算成赫茲：