112 高普考普通考試 電信工程 通信系統概要 考古題詳解

核心觀念

線性時不變濾波器的輸出為輸入與脈衝響應的摺積：

題目令 $h(t)=x(T-t)$，這是將輸入脈衝反轉並平移後作為濾波器脈衝響應。兩者摺積可視為矩形脈衝與其時間反轉的互相關，輸出由兩脈衝重疊的長度決定。

解題方法

題目中的脈衝幅度與持續時間公式擷取不全。以下依常見設定，假設

由 $h(t)=x(T-t)$ 可得 $h(t)=A$ 的區間為 $0\le t\le T$，其餘為零。代入摺積：

被積函數非零須同時滿足 $0\le \tau\le T$，以及 $0\le T-t+\tau\le T$。第二組條件等價於 $t-T\le \tau\le t$。因此，積分區間是 $[0,T]$ 與 $[t-T,t]$ 的交集；

核心觀念

本題考查 AM 的包絡線檢波，以及 DSB-SC 的同調解調原理與傳輸特性。

一般 AM 訊號可寫成

其中 $A_c$ 為載波振幅、$f_c$ 為載波頻率、$m_n(t)$ 為正規化訊息，$\mu$ 為調變指數。當 $\mu\leq 1$ 時，包絡線不會反相，能以二極體與 RC 電路檢波。

DSB-SC 抑制載波，其訊號可表示為

因為沒有載波可供包絡線檢波，接收端須以與發射載波同頻、同相的本地載波進行乘積式同調解調。

解題方法

（一）AM 波包絡檢測器電路圖

二極體將 AM 波整流，並由並聯的電阻與電容形成放電路徑，使輸出電壓跟隨訊號包絡線。

 D
AM 輸入 ────────|>|─────┬──── 輸出 v_o(t)
 │
 ┌────┴────┐
 │ │
 R C
 │ │
接地 ────────────────┴─────────┴────

電容在輸入波峰附近充電，輸入電壓下降時則經電阻放電。為了濾除載波振盪並跟上訊息包絡，時間常數須滿足

其中 $f_{m,\max}$ 是訊息最高頻率。若 $RC$ 太小，載波脈動會留在輸出；若 $RC$ 太大，輸出無法快速追隨包絡，會產生斜率失真。

（二）DSB-SC 同調接收器方塊圖

接收 DSB-SC 訊號 ──┬──► 乘法器 ──► 低通濾波器 ──► 訊息輸出
 │ ▲
 │ │
 └──► 載波同步／載波恢復 ──► 本地載波

乘法器將接收訊號與本地載波相乘。若接收訊號為 $A_c m(t)\cos(2\pi f_ct)$，本地載波為 $2\cos(2\pi f_ct)$，則

低通濾波器移除 $2f_c$ 附近的高頻項，留下與 $m(t)$ 成正比的基頻訊息。

核心觀念

FM 訊號可寫成

其中 $f_d=20\ \mathrm{Hz/V}$ 是頻率靈敏度。由相位對時間微分，可得瞬時頻率偏移：

本題脈衝為 $m(t)=4\Pi\!\left[\frac{1}{8}(t-4)\right]$。採用矩形函數慣例 $\Pi(u)=1$（當 $|u|\leq 1/2$），否則為 $0$，因此

解題方法與計算

(一) 相位偏移

相位偏移是訊息脈衝累積面積乘上 $2\pi f_d$。在脈衝持續期間 $0\leq t\leq8$：

脈衝結束時的相位偏移為

脈衝結束後 $m(t)=0$，因此相位維持在 $1280\pi\ \mathrm{rad}$。

(二) 頻率偏移

利用 $\Delta f(t)=f_dm(t)$：

(三) 峰值頻率偏移

核心觀念

奈奎斯取樣率（Nyquist Rate）是能無失真重建訊號所需的最低取樣頻率；奈奎斯間距（Nyquist Interval）則是相鄰取樣點的最大時間間隔。對頻寬受限、最高頻率為 $f_{\max}$ 的訊號：

若訊號含多個頻率成分，$f_{\max}$ 是最高頻率成分；若為調變訊號，則須先由頻譜找出最高頻率，而不能只看載波頻率或頻寬。

解題方法

本題四小題的訊號公式及部分參數均標示為「公式擷取不全」，因此無法判讀各訊號的最高頻率，不能據此計算四小題各自的數值答案。取得完整題目後，依序找出每一訊號頻譜中的最高頻率 $f_{\max}$，再代入：