113 高普考普通考試 電信工程 通信系統概要 考古題詳解

核心觀念

將正弦波寫成「振幅、頻率、相位」形式後，即可在頻譜上標出各頻率分量的振幅與相位。本題有兩個不同頻率的正弦波，因此頻譜由兩條離散譜線組成。

單邊頻譜只表示正頻率；雙邊頻譜則將每個實數正弦波拆成正、負頻率兩條譜線。題目中的頻率以角頻率 $\omega$（rad/s）表示。

解題方法

先將兩個分量都改寫成餘弦形式：

其中使用 $\sin\theta=\cos(\theta-\frac{\pi}{2})$，所以

因此，兩個分量的角頻率與相位分別為：

• $\omega_1=10\pi$ rad/s，振幅 $8$，相位 $\frac{\pi}{3}$。
• $\omega_2=4\pi$ rad/s，振幅 $4$，相位 $-\frac{\pi}{4}$。

若以 Hz 表示頻率，利用 $f=\frac{\omega}{2\pi}$，可得：

單邊頻譜

單邊頻譜只畫正頻率，振幅採原正弦波的振幅，相位則取餘弦表示式中的相位。因此：

示意圖如下；振幅圖中譜線高度標示振幅，相位圖則在相同頻率位置標示相位：

振幅
 8 | ↑
 | │
 4 | ↑ │
 | │ │
 0 +-------┼-----------------┼----→ ω
 4π 10π
 (相位圖同頻率位置：−π/4、π/3)

雙邊頻譜

利用 Euler 公式，餘弦波可寫成：

核心觀念

本題考查：

1. 由頻譜的最高頻率判斷最小取樣頻率。
2. 連續時間訊號取樣模型： $x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)$
3. 取樣後頻譜為原頻譜以取樣頻率 $f_s$ 為週期的重複： $X_s(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(f-kf_s)$

圖中頻譜為以 $f=0$ 為中心的三角形，支撐範圍為 $-10\leq f\leq 10$ Hz，因此訊號最高頻率為 $10$ Hz。

（一）最小取樣頻率

依 Nyquist 取樣定理，為避免混疊，取樣頻率必須滿足

$f_s\geq 2f_{\max}$

其中

$f_{\max}=10\text{ Hz}$

所以

$f_{s,\min}=2(10)=20\text{ Hz}$

因此最小取樣頻率為

$\boxed{f_{s,\min}=20\text{ Hz}}$

相對應的取樣週期為

$T_s=\frac{1}{f_s}=\frac{1}{20}\text{ s}$

（二）取樣後在時間上的訊號樣型

由圖可將頻譜寫成

令標準化 sinc 函數為

$\operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}$

利用傅立葉轉換對偶關係

可得

因此

在 $f_s=20$ Hz 時，

而

所以取樣後訊號為

其取樣脈衝振幅為

因此時間波形的特徵為：

核心觀念

本題考查正弦訊號的平均功率、振幅正規化、標準振幅調變（AM）的時域表示，以及傅立葉轉換中的頻域脈衝表示。

對振幅為 $A$ 的正弦訊號 $A\cos(2\pi f_0t)$，平均功率為 $A^2/2$。標準 AM 訊號可寫成

其中 $A_c$ 為載波振幅、$\mu$ 為調變指數，$x_n(t)$ 是峰值正規化後的訊息訊號。

（一）訊號功率

已知

其振幅 $A=4$。平均功率為

（二）正規化訊號

原訊號的最小值為 $-4$。要使正規化訊號的最小值為 $-1$，將 $m(t)$ 除以 $4$：

因此，正規化訊號的數學模型為

（三）振幅調變訊號

未調變載波為

故載波振幅 $A_c=100$、載波角頻率 $\omega_c=200\pi$。訊息訊號正規化後為 $m_n(t)=\cos(20\pi t)$，調變指數 $\mu=0.5$。

代入標準 AM 公式：

也可展開為

利用積化和差公式 $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$：

核心觀念

希爾伯特轉換會使訊號的各個頻率分量產生 $90^\circ$ 相位移。採用傅立葉轉換定義

時，希爾伯特轉換的頻域關係為

其中正頻率乘上 $-j$，負頻率乘上 $+j$。因此，若 $x(t)=\cos(2\pi f_0t)$，則 $\hat x(t)=\sin(2\pi f_0t)$。

單帶調變則利用訊號及其希爾伯特轉換，組合出上側帶或下側帶訊號。

（一）求希爾伯特轉換 $\hat x(t)$

將題目訊號改寫為標準形式：

因此訊號頻率為 $f_0=5\text{ Hz}$。利用

可得

（二）求 $\hat x(t)$ 的傅立葉轉換

由歐拉公式，

且 $e^{j2\pi f_0t}$ 與 $e^{-j2\pi f_0t}$ 的傅立葉轉換分別為 $\delta(f-f_0)$ 與 $\delta(f+f_0)$。所以

代入 $f_0=5$：

也可寫成

正頻率的脈衝係數為 $-j5$，負頻率的脈衝係數為 $+j5$，符合希爾伯特轉換的頻域相位特性。

（三）利用該訊號產生單帶訊號

未調變訊號為 $A\cos(200\pi t)$，載波角頻率為 $\omega_c=200\pi$，即載波頻率 $f_c=100\text{ Hz}$。訊號 $x(t)$ 的頻率為 $5\text{ Hz}$，其希爾伯特轉換為 $\hat x(t)=10\sin(10\pi t)$。

相移法產生單帶訊號的公式為