110 年高普考普通考試電信工程考古題與詳解

Question 1

求以下訊號之傅立葉轉換： （一）$x(t)=t	imes\operatorname{sinc}(t)$ （二）$x(t)=\operatorname{rect}(t-1)+\operatorname{rect}(t+1)$

Accepted Answer

核心觀念 採用通信系統常用的傅立葉轉換定義： $$ X(f)=\int{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt, \qquad x(t)=\int{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\,df. $$ 並採用標準化定義 $\operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}$，以及 $\operatorname{rect}(t)=1$（$|t|<	frac12$），其餘為 $0$。基本轉換對為 $$ \operatorname{sinc}(t)\ \longleftrightarrow\ \operatorname{rect}(f), \qquad \operatorname{rect}(t)\ \longleftrightarrow\ \operatorname{sinc}(f). $$ 本題考查兩項性質：時域乘以 $t$ 對應頻域微分，以及時域平移對應頻域乘上相位因子。由於第一小題的頻譜含有跳躍，微分須以廣義函數表示，結果會出現 Dirac delta 函數。 解題方法 （一）$x(t)=t\operatorname{sinc}(t)$ 先用基本轉換對： $$ \operatorname{sinc}(t)\ \longleftrightarrow\ \operatorname{rect}(f). $$ 依時域乘以 $t$ 的性質， $$ t x(t)\ \longleftrightarrow\ \frac{j}{2\pi}\frac{dX(f)}{df}. $$ 因此 $$ \mathcal{F}\{t\operatorname{sinc}(t)\} =\frac{j}{2\pi}\frac{d}{df}\operatorname{rect}(f). $$ 標準矩形函數可寫為 $$ \operatorname{rect}(f) =u\left(f+\frac12ight)-u\left(f-\frac12ight), $$ 其中 $u(f)$ 為單位階躍函數。利用 $\dfrac{d}{df}u(f-a)=\delta(f-a)$，得 $$ \frac{d}{df}\operatorname{rect}(f) =\delta\left(f+\frac12ight)-\delta\left(f-\frac12ight). $$ 所以 $$ \boxed{ X(f)=\frac{j}{2\pi} \left[ \delta\left(f+\frac12ight) -\delta\left(f-\frac12ight) ight] } $$ 頻譜集中在 $f=-	frac12$ 與 $f=	frac12$ 兩點，係…

Question 2

有一濾波器，其脈衝響應 $h(t)$ 如圖所示：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）若該濾波器的輸入是

x(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right),

繪出濾波器的輸出波形。

（二）求該濾波器之頻率響應。

Accepted Answer

核心觀念 連續時間 LTI 濾波器的輸出為輸入與脈衝響應的摺積： $$ y(t)=x(t)h(t)=\int{-\infty}^{\infty}x(t-\tau)h(\tau)\,d\tau. $$ 題圖的脈衝響應是在 $0\le t\le T/3$ 與 $2T/3\le t\le T$ 兩段取值 $A$，其餘時間為零。輸入 $\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right)$ 是從 $0$ 到 $T$ 的單位矩形脈波。 解題方法 令 $d=T/3$。輸出可視為兩段高度 $A$、寬度 $d$ 的脈波，分別與寬度 $T=3d$ 的單位矩形脈波摺積後相加。 每一段摺積的輸出，會先線性上升 $d$，再維持 $2d$，最後線性下降 $d$。將兩個結果相加，可得： $$ y(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\[2pt] At, & 0\le t\le \dfrac{T}{3},\[5pt] \dfrac{AT}{3}, & \dfrac{T}{3}\le t\le \dfrac{2T}{3},\[5pt] A\left(t-\dfrac{T}{3}\right), & \dfrac{2T}{3}\le t\le T,\[7pt] A\left(\dfrac{5T}{3}-t\right), & T\le t\le \dfrac{4T}{3},\[7pt] \dfrac{AT}{3}, & \dfrac{4T}{3}\le t\le \dfrac{5T}{3},\[5pt] A(2T-t), & \dfrac{5T}{3}\le t\le 2T,\[5pt] 0, & t2T. \end{cases} $$ 輸出波形的轉折點依序為：

Question 3

一個調頻（frequency modulation, FM）訊號可表示為 $$ u(t)=Ac\cos\left(2\pi fc t+\phi(t)ight), $$ 其中 $fc$ 為載波頻率，$\phi(t)$ 為相位訊號，表示為 $$ \phi(t)=2\pi kf\int{-\infty}^{t}m(	au)\,d	au, $$ 其中 $m(t)$ 為訊息信號（message signal）。 （一）若 $\phi(t)$ 很小，證明 $u(t)$ 可以近似為 $$ u(t)\cong Ac\cos(2\pi fc t)-Ac\phi(t)\sin(2\pi fc t)。 $$ （二）根據（一）之近似結果，畫出 FM 調變器方塊圖。

Accepted Answer

核心觀念 FM 訊號的瞬時相位為 $2\pi fc t+\phi(t)$，其中 $\phi(t)$ 是由訊息信號積分而得的相位偏移： $$ \phi(t)=2\pi kf\int{-\infty}^{t}m(	au)\,d	au。 $$ 本題考查兩個觀念：小相位偏移時的三角函數線性近似，以及如何依近似式以正弦、餘弦乘法器和加法器組成 FM 調變器。 解題方法 （一）小相位近似 利用和角公式展開： $$ \begin{aligned} u(t) &=Ac\cos\bigl(2\pi fc t+\phi(t)\bigr)\ &=Ac\cos(2\pi fc t)\cos\phi(t) -Ac\sin(2\pi fc t)\sin\phi(t)。 \end{aligned} $$ 當 $\phi(t)$ 很小（以弧度表示）時，採用一階近似： $$ \cos\phi(t)\cong 1,\qquad \sin\phi(t)\cong\phi(t)。 $$ 代入後得： $$ \begin{aligned} u(t) &\cong Ac\cos(2\pi fc t) -Ac\phi(t)\sin(2\pi fc t)\ &=Ac\cos(2\pi fc t) -2\pi Ac kf \left[\int{-\infty}^{t}m(	au)\,d	auight] \sin(2\pi fc t)。 \end{aligned} $$ 因此證得題目所要求的近似式。此近似忽略 $\phi(t)$ 的二次以上項，適用於相位偏移幅度遠小於 $1$ 弧度的情形。 （二）FM 調變器方塊圖 依近似式，第一項是載波 $Ac\cos(2\pi fc t)$；第二項則是相位訊號 $\phi(t)$ 與載波正交分量 $\sin(2\pi fc t)$ 相乘，再乘上 $-Ac$。方塊圖如下：

Question 4

令 $m(t)$ 為訊息信號（message signal）如下圖所示，利用四種不同的類比調變技術，產生四個不同的調變訊號 $A(t)$ 、 $B(t)$ 、 $C(t)$ 及 $D(t)$ ，如下圖：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試問：

（一） $A(t)$ 為那種調變技術所產生的訊號？

（二） $B(t)$ 為那種調變技術所產生的訊號？

（三） $C(t)$ 為那種調變技術所產生的訊號？

（四） $D(t)$ 為那種調變技術所產生的訊號？

Accepted Answer

核心觀念

本題考四種類比調變：振幅調變（AM）、雙邊帶抑制載波調變（DSB-SC）、頻率調變（FM）及相位調變（PM）。判讀圖形時，先看載波的振幅包絡線是否改變；若振幅固定，再看載波的瞬時頻率如何隨訊息信號變化。

常用形式如下：

AM： $s_{\mathrm{AM}}(t)=[A_c+k_a m(t)]\cos(2\pi f_c t)$ ，振幅包絡線隨 $m(t)$ 改變，且有載波振幅偏移。
DSB-SC： $s_{\mathrm{DSB-SC}}(t)=m(t)\cos(2\pi f_c t)$ ，振幅隨 $|m(t)|$ 改變； $m(t)$ 為負時，載波相位反轉 $180^\circ$ 。
FM： $s_{\mathrm{FM}}(t)=A_c\cos\left(2\pi f_c t+2\pi k_f\int m(\tau)\,d\tau\right)$ ，瞬時頻率為 $f_i(t)=f_c+k_fm(t)$ 。
PM： $s_{\mathrm{PM}}(t)=A_c\cos[2\pi f_c t+k_pm(t)]$ ，瞬時頻率為 $f_i(t)=f_c+\dfrac{k_p}{2\pi}\dfrac{dm(t)}{dt}$ 。

解題方法與各小題判讀

（一） $A(t)$ ：振幅調變（AM）

Question 5

一個 PCM 系統使用 7 位元之量化器，該量化器範圍為 $-1$ 到 $+1$ 間均勻量化，量化區間為

\Delta=\frac{2}{2^7}。

若該系統產生的資料率為 $56\times10^6$ bits/sec。

（一）在可以回復被取樣訊號的情況下，求被取樣訊號的最大頻寬。

（二）若被取樣訊號為

\cos(2\pi100t)，

並假設量化誤差均勻分布於

[-\Delta/2,\Delta/2]，

求訊號量化雜訊比（signal to quantization noise ratio, SQNR）。

Accepted Answer

核心觀念 PCM 資料率由取樣頻率與每個樣本的位元數決定： $$ Rb=n fs $$ 其中 $Rb$ 為資料率、$n$ 為每個樣本的位元數、$fs$ 為取樣頻率。對最高頻率為 $B$ 的理想帶限訊號，依 Nyquist 取樣定理，無失真重建須滿足 $fs\geq 2B$。 量化雜訊均勻分布於 $[-\Delta/2,\Delta/2]$ 時，其平均功率為： $$ Pq=\frac{\Delta^2}{12} $$ 而振幅為 $1$ 的餘弦訊號，其平均訊號功率為 $Ps=1/2$。 解題方法 （一）被取樣訊號的最大頻寬 題目採用 7 位元量化器，因此每個樣本編碼需要 7 bits。由資料率求取樣頻率： $$ fs=\frac{Rb}{n} =\frac{56	imes10^6}{7} =8	imes10^6\ 	ext{samples/sec} $$ 依 Nyquist 取樣條件 $fs\geq 2B$，可重建訊號的最大頻寬為： $$ B{\max}=\frac{fs}{2} =\frac{8	imes10^6}{2} =4	imes10^6\ 	ext{Hz} $$ 所以最大頻寬為 $4\ 	ext{MHz}$。 （二）訊號量化雜訊比（SQNR） 量化間距為：

110 高普考普通考試電信工程通信系統概要考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

解題方法

（一） $x(t)=t\operatorname{sinc}(t)$

（二） $x(t)=\operatorname{rect}(t-1)+\operatorname{rect}(t+1)$

第二題20 分

核心觀念

解題方法

第三題20 分

核心觀念

解題方法

（一）小相位近似

（二）FM 調變器方塊圖

第四題20 分

核心觀念

解題方法與各小題判讀

第五題20 分

其他考古題

110 年電信工程的其他科目

電信工程《通信系統概要》其他年度

110 高普考普通考試 電信工程 通信系統概要 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）x(t)=tsinc⁡(t)x(t)=t\operatorname{sinc}(t)x(t)=tsinc(t)

（二）x(t)=rect⁡(t−1)+rect⁡(t+1)x(t)=\operatorname{rect}(t-1)+\operatorname{rect}(t+1)x(t)=rect(t−1)+rect(t+1)

第 二 題20 分

核心觀念

解題方法

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）小相位近似

（二）FM 調變器方塊圖

第 四 題20 分

核心觀念

解題方法與各小題判讀

第 五 題20 分

其他考古題

110 年電信工程的其他科目

電信工程《通信系統概要》其他年度

110 高普考普通考試電信工程通信系統概要考古題詳解

第一題20 分

（一） $x(t)=t\operatorname{sinc}(t)$

（二） $x(t)=\operatorname{rect}(t-1)+\operatorname{rect}(t+1)$

第二題20 分

第三題20 分

第四題20 分

第五題20 分