114 高普考普通考試 電信工程 通信系統概要 考古題詳解

核心觀念

連續時間訊號的能量與平均功率定義為

若 $0<E<\infty$，訊號是能量訊號，其平均功率為 $0$；若 $0<P<\infty$，訊號是功率訊號，其能量為 $\infty$。若能量與平均功率皆不符合上述條件，則屬於既非能量訊號也非功率訊號。

解題方法

(一) $x(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{t}[\delta(\tau+2)-\delta(\tau-2)]\,d\tau$

利用單位階躍函數與脈衝積分的關係：

端點的函數值不影響積分，因此

訊號只在有限時間區間內非零，所以平均功率為

故此訊號是能量訊號。

(二) $x(t)=kt^{-1/4}u(t)$

假設 $k$ 為有限常數。因為訊號只在 $t\ge 0$ 非零，能量為

在 $t=0$ 附近，$\int_0^1t^{-1/2}dt=2$，積分有限；但在無窮遠處，

因此 $k\ne 0$ 時 $E=\infty$。平均功率則為

故 $k\ne0$ 時，能量無限大而平均功率為零，屬於既非能量訊號也非功率訊號。若 $k=0$，則 $x(t)\equiv0$，$E=P=0$，亦不屬於能量訊號或功率訊號。

(三) $x(t)=e^{-t}\cos t\,u(t)$

因為 $u(t)$ 使訊號在 $t<0$ 時為零，

核心觀念

離散時間 LTI 系統的輸出為輸入與脈衝響應的摺積：

LTI 系統 BIBO 穩定的充要條件是脈衝響應絕對可和：

本題 $h[n]=\alpha^n u[n]$，其中 $u[n]$ 為單位階躍訊號，所以 $h[n]$ 只在 $n\ge 0$ 時非零。

解題方法與推導

（一）BIBO 穩定條件

由絕對可和條件，

這是等比級數，當且僅當 $|\alpha|<1$ 時收斂。因此系統 BIBO 穩定的條件為

（二）輸入 $x[n]=\beta^n u[n]$ 時的輸出

由摺積公式，因 $h[k]$ 與 $x[n-k]$ 都只在非負索引時非零，求和範圍為 $0\le k\le n$（$n\ge 0$）：

若 $\beta\ne\alpha$，利用有限等比級數：

若 $\beta=\alpha$，則每一項皆為 $\alpha^n$，共有 $n+1$ 項：

因此

（三）複指數輸入的輸出

將 $x[n]=e^{j\omega n}$ 代入摺積：

因系統 BIBO 穩定，$h[k]$ 絕對可和，故此頻率響應級數收斂。依題目定義，

所以

本題的 $h[n]=\alpha^n u[n]$ 且 $|\alpha|<1$，因此亦可算得

核心觀念

本題考查離散時間傅立葉轉換（DTFT）的幾個性質：

1. 因果性：離散時間 LTI 系統因果的充要條件是 $h[n]=0$ 對所有 $n<0$。
2. 時域調變：$h[n]$ 乘上 $e^{j\omega_0 n}$，會使頻率響應平移為 $H(e^{j(\omega-\omega_0)})$。
3. 時域乘上餘弦：利用 $2\cos(\omega_0 n)=e^{j\omega_0 n}+e^{-j\omega_0 n}$，頻譜會向左右各平移一次並相加。
4. 時域插零（上採樣）：將序列改成只在偶數索引保留原值，頻率響應變成 $H(e^{j2\omega})$，頻譜在 $[-\pi,\pi]$ 內出現兩份壓縮後的頻譜。

以下按一般數位濾波器設定 $0<\omega_c<\pi$ 說明；第三小題若要得到兩個分離的通帶，另需 $0<\omega_c<\pi/3$。

解題方法與推導

理想低通濾波器的脈衝響應由反 DTFT 得到：

（一）$h_{LP}[n]$ 是否為因果系統？

不是因果系統。

當 $n<0$ 時，$h_{LP}[n]$ 一般不為零；例如 $h_{LP}[-1]=-\sin(\omega_c)/\pi$，在一般 $0<\omega_c<\pi$ 下不為零。因此不符合因果系統必須滿足的 $h[n]=0$（對所有 $n<0$）條件。

此外，$h_{LP}[n]$ 關於 $n=0$ 對稱，是雙邊序列，包含負時間樣本。

（二）$h[n]=(-1)^n h_{LP}[n]$ 為何種濾波器？

因為 $(-1)^n=e^{j\pi n}$，時域乘上 $e^{j\pi n}$ 會使頻譜平移 $\pi$：

原本以 $\omega=0$ 為中心的低通通帶，平移到 $\omega=\pi$（等價地，也在 $\omega=-\pi$ 附近）。因此此濾波器為高通濾波器，通帶集中在頻率範圍的兩端。

（三）$h[n]=2\cos(2\omega_c n)h_{LP}[n]$ 為何種濾波器？

將餘弦改寫為指數形式：

因此頻率響應為

核心觀念

本題考查連續時間傅立葉轉換中的兩個基本性質：

1. 時域乘上餘弦，頻域會產生左右平移： $x(t)\cos(\omega_ct)\ \longleftrightarrow\ \frac{1}{2}\left[X\big(j(\omega-\omega_c)\big)+X\big(j(\omega+\omega_c)\big)\right]$

2. 通過理想濾波器後，輸出頻譜為 $Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)$

圖中第一個濾波器通帶為 $3\omega\leq |\Omega|\leq 5\omega$；第二個濾波器為理想低通濾波器，通帶為 $|\Omega|\leq 3\omega$。

原訊號頻譜為三角形：

其中使用 $\Omega$ 作為頻率變數，以免與圖中的基準角頻率 $\omega$ 混淆。

解題方法

一、第一次調變：乘上 $\cos(5\omega t)$

令第一次乘法器輸出為 $X_1(j\Omega)$，則

因此，原本位於 $[-2\omega,2\omega]$ 的三角形頻譜，會被搬移至：

• 以 $5\omega$ 為中心的正頻帶，範圍為 $[3\omega,7\omega]$；
• 以 $-5\omega$ 為中心的負頻帶，範圍為 $[-7\omega,-3\omega]$。

第一個濾波器只通過 $3\omega\leq|\Omega|\leq5\omega$，因此保留兩側三角形的一半：

正頻帶在 $\Omega=3\omega$ 時為 $0$，在 $\Omega=5\omega$ 時達到 $\dfrac12$；負頻帶則具有偶對稱形狀。

二、第二次調變：乘上 $\cos(3\omega t)$

第二個乘法器輸出頻譜為

考慮各頻帶搬移結果：

核心觀念

理想取樣後能完美重構的條件，是訊號最高角頻率 $\omega_m$ 嚴格小於取樣角頻率的一半，也就是奈奎斯特角頻率：

本題 $T=10^{-4}\,\text{s}$，因此

若訊號頻譜只包含 $|\omega|<\omega_N$ 的頻率成分，理想低通濾波器即可從取樣頻譜中分離原頻譜並完美重構。若含有奈奎斯特頻率本身或更高頻率，便不符合無混疊的充分條件；本題各小題均可直接比較最高頻率與 $\omega_N$ 判斷。

解題方法與各小題分析

(一) $X(j\omega)=0$，for $|\omega|>5000\pi$

頻譜的最高角頻率為 $5000\pi\ \text{rad/s}$，而

因此頻譜完整落在奈奎斯特頻帶內，取樣後頻譜不重疊，可由理想 DAC 完美重構。

判斷：可以完美重構。

(二) $x(t)=\left(\dfrac{\sin(4000\pi t)}{\pi t}\right)^2$

先利用連續時間傅立葉轉換對：