107 高普考普通考試 電力工程 電子學概要 考古題詳解

核心觀念

本題屬於雙二極體雙向截波（Clipping）與傳輸特性分析電路，主要考核以下重點：

1. 二極體定電壓降模型（Constant Voltage Drop Model, CVD）：二極體導通時跨壓固定為 $V_{D,\mathrm{on}}=0.7\ \mathrm{V}$，內阻 $r_d=0\ \Omega$；截止時視為開路（電流為 $0$）。
2. 二極體導通條件與臨界轉折點（Breakpoints）判定：

• 當陽極對陰極電壓 $V_D \ge V_{D,\mathrm{on}}$ 時，二極體導通（ON）。
• 當陽極對陰極電壓 $V_D < V_{D,\mathrm{on}}$ 時，二極體截止（OFF）。

3. 克希荷夫電壓定律（KVL）與歐姆定律（Ohm's Law）： 電阻 $R_1$ 串聯於輸入端 $V_i$ 與輸出節點 $V_o$ 之間，定義流入電阻的電流方向為由左至右之 $I_1$。因輸出端無外接負載（開路，輸出電流為 $0$），故流經電阻的電流即為流向二極體並聯網路的總電流： $I_1 = \frac{V_i - V_o}{R_1}$

解題方法

一、 電路結構與參考電位分析

• 輸入與輸出節點：輸入電壓為 $V_i$；電阻 $R_1 = 1\ \mathrm{k}\Omega$ 右側為輸出節點電壓 $V_o$。
• 支路 1（$D_1$ 支路）：二極體 $D_1$ 陽極接輸出節點 $V_o$，陰極接直流偏壓源 $V_{B1}$ 的正極，$V_{B1}$ 負極接地。因此 $D_1$ 陰極電位固定為 $+V_{B1} = 2\ \mathrm{V}$。
• 支路 2（$D_2$ 支路）：二極體 $D_2$ 陰極接輸出節點 $V_o$，陽極接直流偏壓源 $V_{B2}$ 的負極，$V_{B2}$ 正極接地。因此 $D_2$ 陽極電位固定為 $-V_{B2} = -1\ \mathrm{V}$。

二、 尋找二極體狀態切換之轉折點

當兩顆二極體皆截止時，電路無電流流過，即 $I_1 = 0$，電阻無壓降，輸出電壓跟隨輸入電壓：$V_o = V_i$。以此狀態為基準，檢驗各二極體導通的臨界條件：

1. $D_1$ 導通臨界點： $V_o - V_{B1} \ge V_{D,\mathrm{on}} \implies V_i - 2\ \mathrm{V} \ge 0.7\ \mathrm{V} \implies V_i \ge 2.7\ \mathrm{V}$
2. $D_2$ 導通臨界點： $(-V_{B2}) - V_o \ge V_{D,\mathrm{on}} \implies -1\ \mathrm{V} - V_i \ge 0.7\ \mathrm{V} \implies V_i \le -1.7\ \mathrm{V}$

因此，電路在 $V_i \in [-5\ \mathrm{V}, +5\ \mathrm{V}]$ 範圍內可明確劃分為三個運作區間。

三、 分段區間電流方程式推導

區間 1：$-1.7\ \mathrm{V} \le V_i \le 2.7\ \mathrm{V}$（$D_1$ 截止、$D_2$ 截止）

• 兩二極體皆未達導通條件而呈開路狀態。
• 輸出端為開路，故流經電阻 $R_1$ 之電流為： $I_1 = 0\ \mathrm{mA}$
• 此時節點電壓 $V_o = V_i$。

區間 2：$2.7\ \mathrm{V} \le V_i \le 5\ \mathrm{V}$（$D_1$ 導通、$D_2$ 截止）

• $D_1$ 導通，輸出端電壓被箝位（Clamped）於： $V_o = V_{B1} + V_{D,\mathrm{on}} = 2\ \mathrm{V} + 0.7\ \mathrm{V} = 2.7\ \mathrm{V}$
• 流經電阻 $R_1$ 之電流 $I_1$ 為： $I_1 = \frac{V_i - V_o}{R_1} = \frac{V_i - 2.7\ \mathrm{V}}{1\ \mathrm{k}\Omega} = (V_i - 2.7)\ \mathrm{mA}$
• 轉折點位置：$V_i = 2.7\ \mathrm{V} \implies I_1 = 0\ \mathrm{mA}$
• 正向極限點：$V_i = +5\ \mathrm{V} \implies I_1 = 5 - 2.7 = 2.3\ \mathrm{mA}$

區間 3：$-5\ \mathrm{V} \le V_i \le -1.7\ \mathrm{V}$（$D_1$ 截止、$D_2$ 導通）

• $D_2$ 導通，輸出端電壓被箝位（Clamped）於：

核心觀念

本題考查 MOSFET 共汲極放大器（Common-Drain Amplifier），亦即源極隨耦器（Source Follower）​的小訊號交流分析。

涉及的核心觀念與重要公式如下：

1. 電路組態辨識：輸入訊號 $V_i$ 由閘極（Gate）輸入，輸出訊號 $V_o$ 取自源極（Source），汲極（Drain）經由電阻 $R_D$ 連接至直流偏壓源 $V_{DD}$。此結構為標準的源極隨耦器。
2. 小訊號模型與通道長度調變：

• 題目明確指示「忽略通道長度調變效應」（$\lambda = 0$），故電晶體之小訊號輸出電阻 $r_o \to \infty$。
• 未提及體效應參數，視為體效應忽略（$g_{mb} = 0$）。
• 小訊號汲極電流公式：$i_d = g_m v_{gs}$。

3. 電壓增益公式： 源極隨耦器之小訊號電壓增益由源極看入阻抗與負載電阻分壓決定： $A_v = \frac{V_o}{V_i} = \frac{g_m R_1}{1 + g_m R_1} = \frac{R_1}{\dfrac{1}{g_m} + R_1}$

解題方法

步驟一：交流小訊號等效電路分析

在交流小訊號分析中：

1. 直流電源 $V_{DD}$ 交流接地。
2. 閘極電位為 $v_g = V_i$。
3. 源極電位為 $v_s = V_o$。
4. 閘-源極小訊號電壓為： $v_{gs} = v_g - v_s = V_i - V_o$

步驟二：推導小訊號電壓增益

因 $r_o \to \infty$，受控電流源 $g_m v_{gs}$ 內阻為無窮大。汲極端串接之電阻 $R_D$ 雖接至交流接地，但受控電流源僅由 $v_{gs}$ 控制，不受汲極電位變動影響，因此 $R_D$ 的阻值完全不影響源極端輸出之電流與電壓。

流經源極電阻 $R_1$ 之小訊號電流即為電晶體的通道電流 $i_d$： $i_d = g_m v_{gs} = g_m (V_i - V_o)$

由克希荷夫電流定律（KCL），源極輸出電壓 $V_o$ 為： $V_o = i_d \cdot R_1 = g_m (V_i - V_o) R_1$

移項整理： $V_o + g_m R_1 V_o = g_m R_1 V_i$ $V_o (1 + g_m R_1) = g_m R_1 V_i$

核心觀念

本題考查理想運算放大器（Ideal Op-Amp）電路分析，電路同時包含反相輸入端的負回授（經由 $R_2$）與非反相輸入端的正回授（經由 $R_4$ 與 $R_3$ 分壓）。

解題所依據的核心物理法則與定義如下：

1. 理想運算放大器之黃金法則（Golden Rules）：

• 虛擬斷路（Virtual Open）：理想運算放大器之輸入阻抗為無限大，流入兩輸入端的電流為零，即 $I_+ = I_- = 0$。
• 虛擬短路（Virtual Short）：電路工作於線性放大區且負回授佔優勢時，兩輸入端電位近似相等，即 $V_+ = V_-$。

2. 克希荷夫電流定律（KCL）與節點電壓法（Node-Voltage Method）：在運算放大器之輸入節點列出電流守恆方程式。
3. 電壓增益（Voltage Gain）定義： $A_v = \frac{V_o}{V_i}$
4. 輸入電阻（Input Resistance）定義：從信號源端看入電路之等效電阻，等於輸入電壓與輸入電流之比值： $R_{in} = \frac{V_i}{I_i}$

解題方法

電路結構為：

• 信號源 $V_i$ 經電阻 $R_1$ 接至運算放大器反相輸入端（節點電位記為 $V_-$）。
• 電阻 $R_2$ 連接於輸出端 $V_o$ 與反相端 $V_-$ 之間（負回授路徑）。
• 電阻 $R_4$ 連接於輸出端 $V_o$ 與非反相輸入端（節點電位記為 $V_+$）之間，電阻 $R_3$ 連接於非反相端 $V_+$ 與接地端之間（正回授分壓網路）。

步驟一：求非反相端電壓 $V_+$ 與反相端電壓 $V_-$

1. 因流入非反相端電流 $I_+ = 0$，電阻 $R_4$ 與 $R_3$ 形成對輸出電壓 $V_o$ 的無載分壓電路： $V_+ = V_o \cdot \frac{R_3}{R_3 + R_4}$
2. 因流入反相端電流 $I_- = 0$，對反相端節點 $V_-$ 應用 KCL（流入電流等於流出電流）： $\frac{V_i - V_-}{R_1} = \frac{V_- - V_o}{R_2}$ 整理可得反相端電位（亦可直接以重疊定理列出）： $V_- = V_i \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) + V_o \left( \frac{R_1}{R_1 + R_2} \right)$

步驟二：推導小題（二）電壓增益 $A_v = \frac{V_o}{V_i}$

利用虛擬短路特性 $V_+ = V_-$： $V_o \left( \frac{R_3}{R_3 + R_4} \right) = V_i \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) + V_o \left( \frac{R_1}{R_1 + R_2} \right)$

將含 $V_o$ 之項移至同一側： $V_i \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) = V_o \left[ \frac{R_3}{R_3 + R_4} - \frac{R_1}{R_1 + R_2} \right]$

將等號右側中括號內通分： $\frac{R_3}{R_3 + R_4} - \frac{R_1}{R_1 + R_2} = \frac{R_3(R_1 + R_2) - R_1(R_3 + R_4)}{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)} = \frac{R_2 R_3 - R_1 R_4}{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}$

代回原式： $V_i \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) = V_o \left[ \frac{R_2 R_3 - R_1 R_4}{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)} \right]$

兩邊同乘以 $(R_1 + R_2)$： $R_2 V_i = V_o \left[ \frac{R_2 R_3 - R_1 R_4}{R_3 + R_4} \right]$

核心觀念

本題考查雙極性接面電晶體（BJT）疊接差動放大器（Cascode Differential Amplifier）​之小訊號分析，核心觀念與公式包含：

1. 差模分析（Differential Mode）：

• 對稱差動電路在純差模輸入時，共射極節點為交流虛接地（AC Virtual Ground）。
• 疊接級（Cascode stage, $Q_3$ 與 $Q_4$）為共基極（CB）組態，其電流增益為 $\alpha = \frac{\beta}{\beta + 1} \approx 1$。
• 小訊號射極電阻：$r_e = \frac{\alpha}{g_m} \approx \frac{1}{g_m}$。
• 具射極退化電阻 $R_E$ 的單端輸出差模電壓增益： $|A_d| = \left| \frac{V_o}{V_{id}} \right| = \frac{\alpha^2 R_C}{2(r_e + R_E)} \approx \frac{R_C}{2(r_e + R_E)}$ （若輸出 $V_o$ 為兩側集極之雙端差動輸出，則增益為單端輸出的 2 倍，即 $\frac{R_C}{r_e + R_E}$）。

2. 共模分析（Common Mode）：

• 純共模輸入時，電路左右對稱，尾端理想電流源提供之交流等效輸出阻抗為 $R_{EE} = \infty$。
• 共模半電路中，射極對地阻抗包含 $2R_{EE} = \infty$。
• 共模電壓增益： $A_{cm} = \frac{V_{ocm}}{V_{icm}} = \frac{-\alpha R_C}{r_e + R_E + 2R_{EE}}$

解題方法

電路基本參數計算

• 轉導：$g_m = 10\ \mathrm{mA/V} = 0.01\ \Omega^{-1}$
• 電流增益：$\beta = 100$
• 共基極電流增益： $\alpha = \frac{\beta}{\beta + 1} = \frac{100}{101} \approx 0.9901$
• 小訊號射極電阻： $r_e = \frac{\alpha}{g_m} = \frac{100/101}{0.01} = \frac{10000}{101} \approx 99.01\ \Omega \approx 100\ \Omega$
• 輸入電阻：$r_\pi = \frac{\beta}{g_m} = \frac{100}{0.01} = 10\ \mathrm{k}\Omega$

（一）差模電壓增益 $A_d$ 推導與計算

1. 建立差模半電路： 差模輸入信號 $V_{id} = V_{i1} - V_{i2}$，令 $V_{i1} = +\frac{V_{id}}{2}$、$V_{i2} = -\frac{V_{id}}{2}$。 因電路完全對稱，尾端電流源連接點為交流虛接地（電位為 $0\ \mathrm{V}$）。

2. 輸入級（共射極 $Q_1$）信號電流： 射極信號電流大小為： $i_{e1} = \frac{V_{id} / 2}{r_e + R_E}$ $Q_1$ 的集極信號電流為： $i_{c1} = \alpha i_{e1} = \alpha \frac{V_{id} / 2}{r_e + R_E}$

3. 疊接級（共基極 $Q_3$ / $Q_4$）傳遞： $Q_1$ 集極電流流入 $Q_3$（或 $Q_2$ 流入 $Q_4$）的射極端。忽略 Early 效應（$r_o \to \infty$），CB 級輸出至負載電阻 $R_C$ 的集極信號電流為： $i_{c3} = \alpha i_{c1} = \alpha^2 \frac{V_{id} / 2}{r_e + R_E}$

核心觀念

本題考查靜態互補式金氧半導體（Static CMOS）邏輯電路的合成與分析，涉及以下核心觀念：

1. CMOS 互補與對偶架構（Duality）：

• CMOS 邏輯閘由兩部分組成：連接於電源 $V_{DD}$ 與輸出端 $Y$ 之間由 PMOS 組成的「上拉網路」（Pull-Up Network, PUN），以及連接於輸出端 $Y$ 與接地端（$GND$）之間由 NMOS 組成的「下拉網路」（Pull-Down Network, PDN）。
• PMOS 與 NMOS 電路拓撲呈現嚴格的對偶（Dual）互補關係：
• PMOS 彼此串聯 $\iff$ NMOS 彼此並聯。
• PMOS 彼此並聯 $\iff$ NMOS 彼此串聯。

2. 導通條件與開關邏輯：

• NMOS 為高準位導通（輸入為 $1$ 時導通），PDN 導通會將輸出節點拉至接地，使輸出為低準位（$Y = 0$，即 $\overline{Y} = 1$）。
• PMOS 為低準位導通（輸入為 $0$ 時導通），PUN 導通會將輸出節點拉至 $V_{DD}$，使輸出為高準位（$Y = 1$）。

3. 布林代數與笛摩根定理（De Morgan's Laws）：

• $\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}$
• $\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$

解題方法

步驟一：分析已知 PMOS 電路結構

依考卷原題圖示，PMOS 上拉網路（PUN）架構為：

• 上方為一只閘極輸入為 $A$ 之 PMOS 電晶體 $M_{P,A}$，源極接 $V_{DD}$。
• $M_{P,A}$ 之汲極串接至兩只互相並聯之 PMOS 電晶體 $M_{P,B}$（閘極輸入為 $B$）與 $M_{P,C}$（閘極輸入為 $C$）。
• $M_{P,B}$ 與 $M_{P,C}$ 並聯後之另一端連接至電路輸出端 $Y$。
• 拓撲關係為：$A$ 串聯 $(B \parallel C)$。

步驟二：繪製 NMOS 部分電路（PDN）

利用對偶原理將 PMOS 的連接關係轉換為 NMOS 電路：

1. 主幹結構轉換：PMOS 中「$A$」與「$B, C$ 並聯群」呈串聯關係，對應之 NMOS 下拉網路中，輸入為 $A$ 的 NMOS 必須與輸入為 $B, C$ 的 NMOS 群呈並聯關係。
2. 分支結構轉換：PMOS 中「$B$」與「$C$」呈並聯關係，對應之 NMOS 中，輸入為 $B$ 與 $C$ 的兩只 NMOS 必須呈串聯關係。
3. 電路接線與輸入訊號位置標記：

• 支路 1：NMOS 電晶體 $M_{N,A}$，閘極接輸入訊號 $A$，汲極連接輸出端 $Y$，源極連接接地端（$GND$）。
• 支路 2：NMOS 電晶體 $M_{N,B}$ 與 $M_{N,C}$ 互相串聯。$M_{N,B}$ 閘極接輸入訊號 $B$，$M_{N,C}$ 閘極接輸入訊號 $C$；