107 高普考普通考試 電力工程 輸配電學概要 考古題詳解

核心觀念

1. 標麼系統（Per-Unit System）與短路容量（Short-Circuit Capacity, SCC）：

• 電源側短路容量與電源等效標麼電抗之關係： $X_{s,\mathrm{pu}} = \frac{S_{\mathrm{base}}}{S_{\mathrm{sc,source}}}$
• 三相對稱短路電流公式： $I_{f,\mathrm{sym}} = \frac{V_{f,\mathrm{pu}}}{X_{\mathrm{th},\mathrm{pu}}} \times I_{\mathrm{base}} = \frac{S_{\mathrm{sc,fault}}}{\sqrt{3} V_{\mathrm{base}}}$

2. 短路暫態響應與非對稱成分（Asymmetrical Fault Current）：

• 輸配電系統之等效電路為 $R-L$ 串聯電路。
• 物理定律限制：電感器之磁鏈守恆，電感電流不能瞬間突變（$i_L(0^+) = i_L(0^-)$）。
• 時域微分方程之完整解由「穩態對稱交流成分（AC Component）」與「暫態指數衰減直流偏移成分（DC Offset Component）」疊加而成。

3. 對稱與非對稱電流之大小關係：

• 非對稱故障電流有效值（RMS）： $I_{\mathrm{asym,rms}}(t) = \sqrt{I_{\mathrm{ac,rms}}^2 + i_{\mathrm{dc}}^2(t)}$
• 由於直流偏移量平方項 $i_{\mathrm{dc}}^2(t) \ge 0$，在暫態期間，非對稱故障電流恆大於或等於對稱故障電流。

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解題方法

(一) 計算於負載端發生三相短路故障之對稱故障電流成分

1. 選定系統基準值（Base Values）：

• 基準容量：選取主變壓器容量 $S_{\mathrm{base}} = 750\ \mathrm{kVA} = 0.75\ \mathrm{MVA}$。
• 負載端（低壓側）基準線電壓：$V_{\mathrm{base2}} = 480\ \mathrm{V} = 0.48\ \mathrm{kV}$。
• 負載端基準電流： $I_{\mathrm{base2}} = \frac{S_{\mathrm{base}}}{\sqrt{3} \times V_{\mathrm{base2}}} = \frac{750\ \mathrm{kVA}}{\sqrt{3} \times 0.48\ \mathrm{kV}} \approx 902.11\ \mathrm{A}$

2. 計算各元件標麼電抗（Per-Unit Reactance）：

• 電源側標麼電抗 $X_{s,\mathrm{pu}}$： $X_{s,\mathrm{pu}} = \frac{S_{\mathrm{base}}}{S_{\mathrm{sc,source}}} = \frac{0.75\ \mathrm{MVA}}{100\ \mathrm{MVA}} = 0.0075\ \mathrm{pu}$
• 主變壓器標麼電抗 $X_{T,\mathrm{pu}}$： 題目給定在 $750\ \mathrm{kVA}$ 基準下電抗為 $20\%$，故： $X_{T,\mathrm{pu}} = 0.20\ \mathrm{pu}$
• 電動機負載說明： 題目僅提供電動機容量為 $750\ \mathrm{kVA}$，未提供其內部電抗（如次暫態電抗 $X''_d$），依公職考試命題規範與常規，視為一般負載，忽略其在短路瞬間之回饋電流，短路電流僅由電源側經變壓器注入負載故障點。

3. 計算戴維寧總等效標麼電抗 $X_{\mathrm{th},\mathrm{pu}}$： 電源與主變壓器呈串聯關係： $X_{\mathrm{th},\mathrm{pu}} = X_{s,\mathrm{pu}} + X_{T,\mathrm{pu}} = 0.0075 + 0.20 = 0.2075\ \mathrm{pu}$

4. 計算三相對稱短路電流： 假設故障前負載端電壓為額定值（$V_{f,\mathrm{pu}} = 1.0\ \mathrm{pu}$）：

• 對稱短路電流標麼值： $I_{f,\mathrm{pu}} = \frac{V_{f,\mathrm{pu}}}{X_{\mathrm{th},\mathrm{pu}}} = \frac{1.0}{0.2075} \approx 4.8193\ \mathrm{pu}$
• 對稱短路電流實際值： $I_{f,\mathrm{sym}} = I_{f,\mathrm{pu}} \times I_{\mathrm{base2}} = 4.8193 \times 902.11\ \mathrm{A} \approx 4347.5\ \mathrm{A} \approx 4.35\ \mathrm{kA}$

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(二) 說明為何短路時時域暫態響應會形成非對稱故障電流成分

1. 系統電路特性： 電力系統之發電機、變壓器與輸電線路主要為電阻 $R$ 與電感 $L$ 之串聯電路。因電抗遠大於電阻（$X \gg R$），系統呈現高度電感性。

2. 電感物理特性的限制： 根據電磁感應定律，通過電感器的電流不能瞬間突變（即電流波形必須連續：$i(0^+) = i(0^-)$）。短路前若電流為零（或僅為較小的負載電流），短路發生瞬間的瞬時總電流必須等於故障前瞬間之電流。

3. 微分方程與時域響應推導： 設電源電壓為 $v(t) = V_m \sin(\omega t + \alpha)$，其中 $\alpha$ 為短路發生時的電壓初相角。短路後的電路微分方程為： $L \frac{di(t)}{dt} + R i(t) = V_m \sin(\omega t + \alpha)$ 其完整時域解包含兩部分： $i(t) = i_{\mathrm{ac}}(t) + i_{\mathrm{dc}}(t)$

核心觀念

本題評量三相交流系統之「功率因數改善」及其對系統運轉效益之影響，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 功率三角形與虛功率補償原理： 並聯電容器改善功率因數時，負載所需的有效功率 $P$ 維持不變，電容器提供超前（進相）無效功率 $Q_C$，以抵銷負載原有的落後（遲相）無效功率，使整體功率因數由 $\cos\theta_1$ 提升至 $\cos\theta_2$。 $Q_C = P (\tan\theta_1 - \tan\theta_2) = P \left( \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta_1}}{\cos\theta_1} - \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta_2}}{\cos\theta_2} \right)$

2. 系統容量釋放（Capacity Release）： 在有效功率 $P$ 固定下，功率因數提升將降低負載所需的視在功率 $S$。電力系統（變壓器、輸電線路）因而騰出的供電裕度，稱為「釋放之系統容量」$\Delta S$： $\Delta S = S_1 - S_2 = \frac{P}{\cos\theta_1} - \frac{P}{\cos\theta_2}$

3. 三相電路之線電流計算： 三相對稱系統中，線路電流 $I$ 與視在功率 $S$、線電壓 $V_L$ 之關係式為： $S = \sqrt{3} V_L I \implies I = \frac{S}{\sqrt{3} V_L} = \frac{P}{\sqrt{3} V_L \cos\theta}$

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解題方法

已知條件：

• 三相線電壓 $V_L = 22.8\ \mathrm{kV}$
• 有效功率負載 $P = 1.6\ \mathrm{MW}$
• 改善前功率因數 $\cos\theta_1 = 0.85$（落後）
• 改善後功率因數 $\cos\theta_2 = 0.95$（落後）

(一) 計算應裝設之電容器容量 $Q_C$

1. 求取改善前後之相角正切值 $\tan\theta_1$ 與 $\tan\theta_2$： $\tan\theta_1 = \frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} = \frac{\sqrt{1 - 0.85^2}}{0.85} = \frac{\sqrt{0.2775}}{0.85} \approx \frac{0.52678}{0.85} \approx 0.61974$ $\tan\theta_2 = \frac{\sin\theta_2}{\cos\theta_2} = \frac{\sqrt{1 - 0.95^2}}{0.95} = \frac{\sqrt{0.0975}}{0.95} \approx \frac{0.31225}{0.95} \approx 0.32868$

2. 計算電容器所需容量 $Q_C$： $Q_C = P (\tan\theta_1 - \tan\theta_2) = 1.6 \times (0.61974 - 0.32868) = 1.6 \times 0.29106 \approx 0.4657\ \mathrm{MVAR}$

(二) 計算可釋放之系統容量 $\Delta S$

核心觀念

1. 感應電動機啟動特性與電壓突降成因：

• 三相感應電動機在靜止啟動瞬間（轉差率 $s = 1$），轉子未旋轉，無反電動勢（Back EMF），此時電動機等效阻抗僅為內部漏阻抗（堵轉阻抗），其值遠小於正常運轉阻抗。
• 啟動電流可達額定電流的 $5 \sim 8$ 倍，且主要為低功率因數（通常為 $0.1 \sim 0.3$ 滯後）之感性無效電流。
• 當龐大的啟動電流流經電源系統阻抗（如系統線路、變壓器等）時，將在阻抗上產生顯著的電壓降（$\Delta V \approx I_{\text{start}} \cdot X$），導致供電匯流排端電壓瞬間被拉低，形成電壓突降（Voltage Sag / Voltage Dip）。

2. 標麼值系統基準轉換公式（Per-Unit Base Conversion）： $X_{\text{new}} = X_{\text{old}} \times \frac{S_{B,\text{new}}}{S_{B,\text{old}}} \times \left(\frac{V_{B,\text{old}}}{V_{B,\text{new}}}\right)^2$

3. 短路容量（Short-Circuit Capacity, SCC）與系統標麼阻抗關係： $X_s = \frac{S_B}{S_{sc}}$ 其中 $S_B$ 為選定之基準容量（$\mathrm{MVA}$），$S_{sc}$ 為電源短路容量（$\mathrm{MVA}$）。

4. 分壓定理求電壓突降率： 系統串聯等效電路中，若忽略電阻（$R \ll X$），各節點相對於無限大母線之電壓突降率可直接依電抗分壓計算。

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解題方法

(一) 說明該電動機啟動時發生電壓突降之原因

電動機啟動時造成電壓突降的主要機制可由下列三項物理因素說明：

1. 啟動瞬間等效阻抗極小，湧入巨大啟動電流： 感應電動機在啟動瞬間轉子靜止（轉速 $N = 0$，轉差率 $s = 1$），氣隙尚未建立旋轉磁場與足夠之反電動勢，其等效電路如同變壓器二次側短路。此時整部電機的等效阻抗僅由定子與轉子之漏抗所決定，因而產生約為額定電流 $5 \sim 8$ 倍之堵轉啟動電流（Inrush / Locked-Rotor Current）。
2. 高感性無效功率索取，拉低系統電壓： 啟動阻抗主要呈現電抗性，啟動功率因數極低（通常約為 $0.1 \sim 0.2$ 滯後）。交流電力系統的電壓降主要受無效功率傳輸之影響（$\Delta V \approx \frac{PR + QX}{V} \approx \frac{QX}{V}$），大量滯後的無效電流流動將使系統電壓劇烈衰減。
3. 電源系統內部阻抗產生顯著電壓降落： 自供電電源至負載端並非理想無限大母線，而是包含上游輸電線、系統電源電抗及主變壓器漏抗。當巨大之啟動電流流經這段電源系統阻抗時，在系統電抗上產生巨大的電抗壓降，使共同耦合點（一次側責任分界點）與用戶二次側匯流排的電壓瞬間驟降。

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(二) 計算該電動機啟動時對一次側電壓突降之百分率

步驟一：設定共同基準量

選定全系統統一基準容量與額定電壓：

• 基準容量：$S_B = 5\ \mathrm{MVA}$
• 一次側基準電壓：$V_{B1} = 69\ \mathrm{kV}$
• 二次側基準電壓：$V_{B2} = 3.45\ \mathrm{kV}$

步驟二：換算各元件之標麼電抗（p.u.）

1. 一次側電源系統電抗 $X_s$： $X_s = \frac{S_B}{S_{sc}} = \frac{5\ \mathrm{MVA}}{1250\ \mathrm{MVA}} = 0.004\ \text{p.u.}$

2. 主變壓器電抗 $X_T$： 主變壓器額定容量即為 $5\ \mathrm{MVA}$，故無須換算容量： $X_T = 5\% = 0.05\ \text{p.u.}$

3. 電動機啟動電抗 $X_M$： 電動機額定容量為 $2\ \mathrm{MVA}$、電抗為 $12\%$（$0.12\ \text{p.u.}$），換算至基準容量 $5\ \mathrm{MVA}$：

核心觀念

本題考查電力系統中以「兩台單相變壓器」供應「三相負載」之特殊接線方式，涵蓋變壓器極性、端點接線法、相量平衡原理，以及容量評估指標（利用率與容量比）。

1. V-V 接線（Open $\Delta$ - Open $\Delta$ 接線）：

• 適用於三相三線式系統。由三台單相變壓器組成的 $\Delta-\Delta$ 系統中，若故障隔離或拆除其中一台，剩餘兩台仍可維持對稱的三相線電壓。

2. 開 Y-開 $\Delta$ 接線（Open Y - Open $\Delta$，又稱 U-V 接線）：

• 一次側適用於三相四線式（$3\phi 4\text{W}$）附中性線接地系統。兩台變壓器一次側分別接於不同相與中性線之間（承受相電壓），二次側接成開 $\Delta$（承受線電壓）。一次側必須引接中性線以提供一次側電流回路，否則中性點浮動將導致電壓失真。

3. 容量指標定義：

• 利用率（Utilization Factor, UF）： $\text{利用率 (UF)} = \frac{\text{變壓器組實際可供應之最大三相容量}}{\text{裝設之變壓器總額定容量}}$
• 容量比（Capacity Ratio, CR）： $\text{容量比 (CR)} = \frac{\text{兩台變壓器輸出容量}}{\text{原三台變壓器滿載容量}}$

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解題方法

(一) V-V 接線之電路圖與利用率

1. 電路接線說明與接線圖

設兩台完全相同的單相變壓器為 $T_1$ 與 $T_2$，採台灣電力系統常用之減極性標示（一次側端子為 $H_1, H_2$；二次側端子為 $X_1, X_2$）：

• 一次側（開 $\Delta$）：
• A 相電源線接至 $T_1$ 的 $H_1$ 端。
• B 相電源線同時接至 $T_1$ 的 $H_2$ 端與 $T_2$ 的 $H_1$ 端（公共連接點）。
• C 相電源線接至 $T_2$ 的 $H_2$ 端。
• 二次側（開 $\Delta$）：
• a 相負載線接至 $T_1$ 的 $X_1$ 端。
• b 相負載線同時接至 $T_1$ 的 $X_2$ 端與 $T_2$ 的 $X_1$ 端（公共連接點）。
• c 相負載線接至 $T_2$ 的 $X_2$ 端。

【一次側 (開 Δ)】 【二次側 (開 Δ)】
 A 相 o─────────o H1 a 相 o─────────o X1
 ) )
 T1 ) 變比 a:1 T1 )
 ) )
 B 相 o───┬─────o H2 b 相 o───┬─────o X2
 │ │
 └─────o H1 └─────o X1
 ) )
 T2 ) T2 )
 ) )
 C 相 o─────────o H2 c 相 o─────────o X2

2. 利用率推導與計算

設每台單相變壓器之額定容量為 $S_{1\phi} = V_1 I_1 = V_2 I_2$。

• 輸出容量： 二次側線電壓等於繞組額定電壓 $V_L = V_2$； 負載線電流受限於二次側繞組額定電流 $I_L = I_2$。 在供應對稱三相平衡負載時，V-V 接線所能供應之最大連續三相容量為： $S_{V-V} = \sqrt{3} V_L I_L = \sqrt{3} V_2 I_2 = \sqrt{3} S_{1\phi}$
• 整體利用率： 兩台變壓器之銘牌額定總容量為 $2 S_{1\phi}$，故整體利用率為： $\text{UF}_{V-V} = \frac{S_{V-V}}{2 S_{1\phi}} = \frac{\sqrt{3} S_{1\phi}}{2 S_{1\phi}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 86.6\%$ (備註：相較於原本三台變壓器組成的 $\Delta-\Delta$ 滿載容量 $3S_{1\phi}$，其輸出容量比為 $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 57.7\%$)。

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(二) 開 Y-開 $\Delta$（Open Y-Open $\Delta$ / U-V）接線之電路圖與利用率

1. 電路接線說明與接線圖

開 Y-開 $\Delta$ 接線主要用於三相四線式附中性線的高壓配電系統（如台電 11.4 kV / 22.8 kV 系統）：

• 一次側（開 Y）：
• 選取三相中的任意兩相（以 A、B 兩相為例）與中性線 N。
• A 相接至 $T_1$ 的 $H_1$ 端；$T_1$ 的 $H_2$ 端接至中性線 N。
• B 相接至 $T_2$ 的 $H_1$ 端；$T_2$ 的 $H_2$ 端接至中性線 N。
• 重要限制：一次側公共端點必須確實連接中性線 N，以提供一次側電流返回路徑，維持穩定的相對中性點相電壓。
• 二次側（開 $\Delta$）：
• 二次側接線同開 $\Delta$：$T_1$ 的 $X_1$ 端引出 a 相；$T_1$ 的 $X_2$ 與 $T_2$ 的 $X_1$ 端串接並引出 b 相；$T_2$ 的 $X_2$ 端引出 c 相。