111 高普考普通考試 電力工程 輸配電學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查傳輸線兩端的複功率計算。採用圖示方向，令 $I_{12}$ 為由公司 A 流向公司 B 的電流，則

其中 $S_{12}$ 是 A 送入傳輸線的複功率，$-S_{21}$ 是 B 接收到的複功率；複功率定義為 $S=VI^{*}$，電流須取共軛。

解題方法

令 $\delta_{12}=\delta_1-\delta_2=10^\circ$。因 $Z=1\angle85^\circ$，所以 $1/Z^{*}=1\angle85^\circ$。將電流代入複功率公式，可得

核心觀念

本題考查兩匯流排系統的複功率平衡，以及線路電抗上的有功、無功潮流。匯流排的淨注入功率定義為「發電功率減負載功率」。

右側匯流排的負載為 $S_{D2}=1+j0$，發電機無功功率 $Q_{G2}=0$，且圖中沒有右側有功發電機。因此：

這表示右側匯流排的淨有功注入為 $-1$ p.u.、淨無功注入為 $0$ p.u.。

解題方法

令 $V_2=|V_2|\angle\delta_2$。已知 $V_1=1\angle0^\circ$、線路阻抗 $Z=jX=j0.5$，所以 $X=0.5$ p.u.。對右側匯流排寫入複功率方程：

代入 $P_2=-1$、$Q_2=0$、$V_1=1$、$\delta_1=0^\circ$、$X=0.5$：

核心觀念

本題考三相複導線的幾何平均距離（GMD）、單條導體的幾何平均半徑（GMR），以及由 GMD 與等效 GMR 求每英哩電抗。計算複導線電抗時，須依同一相的兩條導線分組，並將相內導線間距納入等效 GMR。

解題方法

依圖將導線分成三相：$A$ 相為 $a、a'$，$B$ 相為 $b、b'$，$C$ 相為 $c、c'$。上下排相距 $30\ \mathrm{ft}$，相鄰排相距 $15\ \mathrm{ft}$。

相間基本距離為：

$A$、$B$ 相的四個導線間距中，兩個為 $15.297\ \mathrm{ft}$，另兩個為 $30.887\ \mathrm{ft}$，所以：

同理，$D_{BC}=21.737\ \mathrm{ft}$。$C$、$A$ 相的四個距離為 $30、24、24、30\ \mathrm{ft}$，所以：

三相 GMD 為：

導體半徑為：

核心觀念

本題評量考生對輸電線路參數（阻抗）物理特性的掌握程度，核心在於探討**交變電磁場引起的「集膚效應」（Skin Effect）**對導線「電阻」與「電抗」的影響，並比較直流（$f = 0\text{ Hz}$）與交流（台灣系統 $f = 60\text{ Hz}$）環境下的物理差異。

1. 集膚效應物理機制：

• 導體通以交流電時，導體內部產生的交變磁通會由中心向外遞減，導致導體中心部位所鏈結的交變磁通（內部磁通鏈 $\lambda_{int}$）大於外圍部位。
• 依據法拉第電磁感應定律，中心區域產生較大的反電動勢（感抗較大），迫使交流電流傾向於流經外層電抗較小的路徑，形成「表面電流密度高、中心電流密度低」的非均勻分佈。

2. 集膚深度（Skin Depth, $\delta$）公式： $\delta = \sqrt{\frac{\rho}{\pi f \mu}} = \sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma}}$ 其中 $\rho$ 為導體電阻率、$\sigma$ 為電導率、$\mu$ 為導磁率、$f$ 為系統頻率、$\omega = 2\pi f$。
3. 導線阻抗之組成： $Z = R + jX = R + j(X_{int} + X_{ext})$ 其中 $R$ 為導線等效電阻，$X_{int}$ 為內部感抗，$X_{ext}$ 為外部感抗。

解題方法

本題為申論問答題，切入點為由頻率特性（$f$）出發，分項針對「高壓直流（HVDC）」與「高壓交流（HVAC）」兩大系統，分別論述集膚效應對「電阻」與「電抗（電感）」的影響機制：

一、對高壓直流（HVDC）系統導線阻抗的影響

1. 系統頻率條件： HVDC 在穩態運轉下，系統頻率 $f = 0\text{ Hz}$（$\omega = 0$）。
2. 集膚深度與電流分佈： 當 $f \to 0$ 時，集膚深度 $\delta \to \infty$。導體內部磁場恆定，不產生交變感應電勢，因此完全無集膚效應。導線截面上的電流密度呈均勻分佈。
3. 對導線阻抗之影響：

• 電阻（Resistance）： 導線截面積獲得百分之百充分利用，導線電阻即為純直流電阻 $R_{dc}$： $R = R_{dc} = \rho \frac{\ell}{A}$ （$\ell$ 為導線長度，$A$ 為實體導體截面積），電阻值不受任何交變磁場增額影響。
• 電抗（Reactance）： 穩態直流下角頻率 $\omega = 0$，內部感抗 $X_{int} = \omega L_{int} = 0$，外部感抗 $X_{ext} = \omega L_{ext} = 0$。
• 整體阻抗： $Z_{HVDC} = R_{dc}$ 導線整體阻抗極小且為純實數，輸電容量不受交流電抗壓降或無功功率限制。

二、對高壓交流（HVAC）系統導線阻抗的影響

1. 系統頻率條件： 台灣電力系統商用頻率為 $f = 60\text{ Hz}$（角頻率 $\omega = 377\text{ rad/s}$）。
2. 集膚效應強度： 因 $f > 0$，導線存在有限的集膚深度 $\delta$。大型電力輸電導線半徑往往接近或大於集膚深度，集膚效應顯著。
3. 對導線阻抗之影響：

• 電阻增加（$R_{ac} > R_{dc}$）： 電流擠向導線外緣，中心區域電流密度大幅降低，造成等效有效導電截面積縮小。交流等效電阻 $R_{ac}$ 必然大於直流電阻 $R_{dc}$：

核心觀念

1. 輸電線模型判斷（短程輸電線）： 輸電線長度 $l = 40\ \mathrm{km} < 80\ \mathrm{km}$（或約 $50\ \mathrm{miles}$），屬於短程輸電線（Short Transmission Line）。此時對地電容效應極小，並聯導納可忽略不計（$Y \approx 0$），電路模型簡化為純串聯阻抗 $Z = R + jX$。
2. 三相電路之單相等效分析： 以受電端（Receiving End）相電壓為參考相量 $\mathbf{V}_R = V_R \angle 0^\circ = \frac{V_{R,\text{line}}}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ$。 送電端（Sending End）相電壓由 KVL 決定： $\mathbf{V}_S = \mathbf{V}_R + \mathbf{I}_R Z$
3. 電壓調整率（Voltage Regulation, $VR$）： 在短程輸電線中，受電端無載電壓即為送電端電壓（$|\mathbf{V}_{R,\text{NL}}| = |\mathbf{V}_S|$），故定義為： $VR = \frac{|\mathbf{V}_{R,\text{NL}}| - |\mathbf{V}_{R,\text{FL}}|}{|\mathbf{V}_{R,\text{FL}}|} \times 100\% = \frac{|\mathbf{V}_S| - |\mathbf{V}_R|}{|\mathbf{V}_R|} \times 100\% = \frac{V_{S,\text{line}} - V_{R,\text{line}}}{V_{R,\text{line}}} \times 100\%$
4. 傳輸效率（Transmission Efficiency, $\eta$）： 受電端實功率 $P_R$ 與送電端實功率 $P_S$ 之比值： $\eta = \frac{P_R}{P_S} \times 100\% = \frac{P_R}{P_R + P_{\text{loss}}} \times 100\%$ 其中三相導線總電阻損失為 $P_{\text{loss}} = 3 I_R^2 R$。

解題方法

步驟一：基礎線路參數與負載電流計算

1. 總串聯阻抗：

• 總電阻：$R = r \times l = 0.15\ \Omega/\mathrm{km} \times 40\ \mathrm{km} = 6\ \Omega$
• 角頻率：$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 60 \approx 376.99\ \mathrm{rad/s}$
• 單位電抗：$x_L = \omega L = 376.99 \times (1.3262 \times 10^{-3})\ \Omega/\mathrm{km} = 0.5\ \Omega/\mathrm{km}$
• 總感抗：$X = x_L \times l = 0.5\ \Omega/\mathrm{km} \times 40\ \mathrm{km} = 20\ \Omega$
• 總阻抗：$Z = R + jX = 6 + j20\ \Omega$

2. 受電端相電壓與電流大小：

• 相電壓基準值： $V_R = \frac{220 \times 10^3}{\sqrt{3}} \approx 127,017\ \mathrm{V} = 127.017\ \mathrm{kV}$
• 受電端額定線電流大小： $I_R = \frac{S_R}{\sqrt{3} V_{R,\text{line}}} = \frac{381 \times 10^6}{\sqrt{3} \times 220 \times 10^3} = \frac{381 \times 10^3}{381.051} \approx 1000\ \mathrm{A} = 1\ \mathrm{kA}$

步驟二：計算 (一) 功率因數 $0.8$ 落後（Lagging）

1. 電流相量： $\cos\theta = 0.8$ 落後 $\implies \sin\theta = 0.6$，相角為 $-36.87^\circ$： $\mathbf{I}_R = 1000 \angle -36.87^\circ = 1000(0.8 - j0.6) = 800 - j600\ \mathrm{A}$

2. 送電端電壓： $\mathbf{I}_R Z = (800 - j600)(6 + j20) = (4800 + 12000) + j(16000 - 3600) = 16,800 + j12,400\ \mathrm{V}$ $\mathbf{V}_S = \mathbf{V}_R + \mathbf{I}_R Z = 127,017 + (16,800 + j12,400) = 143,817 + j12,400\ \mathrm{V}$ 相電壓大小： $|\mathbf{V}_S| = \sqrt{143,817^2 + 12,400^2} \approx 144,350\ \mathrm{V} = 144.35\ \mathrm{kV}$

3. 電壓調整率： $VR = \frac{|\mathbf{V}_S| - |\mathbf{V}_R|}{|\mathbf{V}_R|} \times 100\% = \frac{144.35 - 127.017}{127.017} \times 100\% \approx 13.65\%$

4. 傳輸效率：

• 受電端實功率： $P_R = S_R \cos\theta = 381 \times 0.8 = 304.8\ \mathrm{MW}$
• 三相總損耗：