112 高普考普通考試 電力工程 輸配電學概要 考古題詳解

112 年・高普考・普通考試・電力工程
試題代碼 輸配電學概要

第 一 題10 分

某一均方根值為 2400 V2400\ \mathrm{V}、頻率為 60 Hz60\ \mathrm{Hz} 之三相交流電壓源，供電給並聯之二個負載。

負載一之額定功率為 300 kVA300\ \mathrm{kVA}，功率因數（Power Factor）為 0.80.8 滯後；負載二之額定功率為 240 kVA240\ \mathrm{kVA}，功率因數為 0.60.6 領先。

此電路之相序是 abcabc。A 相電壓至中性點之相量（Phasor）為：

Van=132400∠0∘ VV_{an}=\frac{1}{\sqrt{3}}2400\angle 0^\circ\ \mathrm{V}

（一）描繪該電路之單相等效電路。

（二）決定 abcabc 三相線電流各為多少？

（三）假設以 300 kVA300\ \mathrm{kVA} 與 2400 V2400\ \mathrm{V} 作為系統之基準（base）值，計算 A 相線電流之標么（pu）值。

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核心觀念

本題考三相對稱電源的單相等效分析，以及並聯負載的複功率合成。功率因數為滯後時，負載吸收感性無功功率，令 Q>0Q>0；功率因數為領先時，負載呈容性，令 Q<0Q<0。

三相平衡負載的總複功率與線電流關係為：

S3ϕ=P+jQ=3VLLIL∗S_{3\phi}=P+jQ=\sqrt{3}V_{LL}I_L^{*}

因此：

IL=(S3ϕ3VLL)∗I_L=\left(\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}V_{LL}}\right)^{*}

題目給定 Van=24003∠0∘ VV_{an}=\frac{2400}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ\ \mathrm{V}，所以 VLL=2400 VV_{LL}=2400\ \mathrm{V}，且正相序 abcabc 下：

Vbn=24003∠−120∘ V,Vcn=24003∠120∘ VV_{bn}=\frac{2400}{\sqrt{3}}\angle -120^\circ\ \mathrm{V}, \qquad V_{cn}=\frac{2400}{\sqrt{3}}\angle 120^\circ\ \mathrm{V}

解題方法

先將兩個負載的額定視在功率與功率因數換算為有功、無功功率，再將複功率相加。由總複功率求出三相線電流的大小及相對於 A 相電壓的角度，最後依相序平移另外兩相的電流相角。

1. 兩個負載的複功率

負載一的功率因數為 0.80.8 滯後：

P1=300(0.8)=240 kWP_1=300(0.8)=240\ \mathrm{kW} Q1=300sin⁡(cos⁡−10.8)=300(0.6)=180 kvarQ_1=300\sin(\cos^{-1}0.8)=300(0.6)=180\ \mathrm{kvar}

故：

S1=240+j180 kVAS_1=240+j180\ \mathrm{kVA}

負載二的功率因數為 0.60.6 領先：

P2=240(0.6)=144 kWP_2=240(0.6)=144\ \mathrm{kW}

其無功功率大小為：

∣Q2∣=240sin⁡(cos⁡−10.6)=240(0.8)=192 kvar|Q_2|=240\sin(\cos^{-1}0.6)=240(0.8)=192\ \mathrm{kvar}

領先表示容性，故 Q2=−192 kvarQ_2=-192\ \mathrm{kvar}：

S2=144−j192 kVAS_2=144-j192\ \mathrm{kVA}

並聯負載的總複功率為：

Stot=S1+S2=(240+144)+j(180−192)=384−j12 kVAS_{\mathrm{tot}}=S_1+S_2 =(240+144)+j(180-192) =384-j12\ \mathrm{kVA}

所以總功率因數為：

pf=3843842+122≈0.9995\mathrm{pf}=\frac{384}{\sqrt{384^2+12^2}}\approx 0.9995

總無功功率為負，表示合成負載略呈領先。

2. 描繪單相等效電路

平衡三相系統可取 A 相支路分析。將兩個負載分別以等效阻抗 Z1Z_1、Z2Z_2 表示，兩者並聯接於 A 相電壓 VanV_{an}；中性點為共同參考點。

 ┌── Z₁（負載一）──┐
V_an ────────┤ ├──── n
 └── Z₂（負載二）──┘

其中線電壓 VLL=2400 VV_{LL}=2400\ \mathrm{V}，相電壓大小為 Van=2400/3 VV_{an}=2400/\sqrt{3}\ \mathrm{V}。若以每相等效阻抗表示，兩個負載各自的總三相複功率除以三，即為其每相複功率。

3. 求三相線電流

由平衡三相複功率關係：

Stot=3VLLIA∗S_{\mathrm{tot}}=\sqrt{3}V_{LL}I_A^{*}

故 A 相線電流為：

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第 二 題10 分

考慮如圖一之單相電路（圖中之電壓、電流、阻抗均以標么值表示）。開關閉合時表示發生短路故障。

假定故障前之電流相量為 I1=−I2=1∠0∘I_1=-I_2=1\angle 0^\circ。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）計算發生故障前之電壓 E1E_1 與 E2E_2。

（二）計算發生故障後之故障電流 II、I1I_1 與 I2I_2。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查：

  1. 以標么值表示的交流單相電路。
  2. 電感阻抗為 jXjX。
  3. 故障前後利用 KVL、KCL 求電壓與電流。
  4. 開關閉合後，中央節點短路至參考點，因此中央節點電壓為 00。

圖中中央節點電壓為

V=1∠0∘=1V=1\angle 0^\circ=1

且

Z1=j0.1,Z2=j0.2Z_1=j0.1,\qquad Z_2=j0.2

故障前給定

I1=1∠0∘=1,I2=−1I_1=1\angle0^\circ=1,\qquad I_2=-1

（一）故障前之電壓 E1E_1 與 E2E_2

1. 求 E1E_1

左側迴路依照 I1I_1 方向套用 KVL：

E1=Z1I1+VE_1=Z_1I_1+V

代入數值：

E1=j0.1(1)+1E_1=j0.1(1)+1 E1=1+j0.1 pu\boxed{E_1=1+j0.1\ \text{pu}}

換成極座標：

∣E1∣=12+0.12=1.005|E_1|=\sqrt{1^2+0.1^2}=1.005 ∠E1=tan⁡−1(0.11)=5.71∘\angle E_1=\tan^{-1}\left(\frac{0.1}{1}\right)=5.71^\circ

因此

E1=1.005∠5.71∘ pu\boxed{E_1=1.005\angle5.71^\circ\ \text{pu}}

2. 求 E2E_2

右側迴路依照 I2I_2 方向套用 KVL：

E2=Z2I2+VE_2=Z_2I_2+V

因為 I2=−1I_2=-1，所以

E2=j0.2(−1)+1E_2=j0.2(-1)+1 E2=1−j0.2 pu\boxed{E_2=1-j0.2\ \text{pu}}

換成極座標：

∣E2∣=12+0.22=1.020|E_2|=\sqrt{1^2+0.2^2}=1.020 ∠E2=tan⁡−1(−0.21)=−11.31∘\angle E_2=\tan^{-1}\left(\frac{-0.2}{1}\right)=-11.31^\circ

因此

E2=1.020∠−11.31∘ pu\boxed{E_2=1.020\angle-11.31^\circ\ \text{pu}}

（二）故障後之故障電流 II、I1I_1 與 I2I_2

開關閉合後，中央節點與下方參考點短路，因此

V故障點=0V_{\text{故障點}}=0

電壓源 E1E_1、E2E_2 及電抗仍維持故障前的值。

1. 求故障後之 I1I_1

左側支路：

I1=E1j0.1I_1=\frac{E_1}{j0.1}

代入 E1=1+j0.1E_1=1+j0.1：

I1=1+j0.1j0.1I_1=\frac{1+j0.1}{j0.1} I1=1−j10 pu\boxed{I_1=1-j10\ \text{pu}}

換成極座標：

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第 三 題12 分

一條三相、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、完全置換（Transposed）的 345 kV345\ \mathrm{kV}、長度為 200 km200\ \mathrm{km} 的輸電線路，每束有兩條 795,000795{,}000-cmil 26/2 ACSR 導線，其正序線路常數為：

z=0.032+j0.35 Ω/kmz=0.032+j0.35\ \Omega/\mathrm{km}

y=j4.23×10−6 S/kmy=j4.23\times 10^{-6}\ \mathrm{S}/\mathrm{km}

該線路於負載滿載時，接收端獲得之有功率為 700 MW700\ \mathrm{MW}，功率因數為 0.990.99 領先，接收端之電壓為額定電壓的 95%95\%。

假設該線路為中距離線路，求解以下問題：

（一）線路 π\pi 型模型之 ABCD 參數。

（二）發送端之電壓 VsV_s、電流 IsI_s 與有效功率 PsP_s。

（三）電壓調整率之百分比（Percent Voltage Regulation）。

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核心觀念

本題考查中距離輸電線路的標稱 π\pi 型等效電路、三相功率與每相相量計算，以及電壓調整率。三相線路以每相等效電路計算，線電壓需先換算成相電壓。標稱 π\pi 型模型的 ABCD 參數為

A=D=1+ZY2,B=Z,C=Y(1+ZY4)A=D=1+\frac{ZY}{2},\qquad B=Z,\qquad C=Y\left(1+\frac{ZY}{4}\right)

其中 ZZ、YY 分別為全線每相串聯阻抗與並聯導納。

解題方法

每束有兩條導線並聯，題目給的正序線路常數視為每相單條導線的常數；因此全線每相串聯阻抗減半，而並聯導納加倍：

Z=(0.032+j0.35)(200)2=3.2+j35 ΩZ=\frac{(0.032+j0.35)(200)}{2}=3.2+j35\ \Omega Y=2(j4.23×10−6)(200)=j1.692×10−3 SY=2(j4.23\times10^{-6})(200)=j1.692\times10^{-3}\ \mathrm{S}

標稱 π\pi 型 ABCD 參數：

A=D=1+(3.2+j35)(j1.692×10−3)2=0.97039+j0.002707A=D=1+\frac{(3.2+j35)(j1.692\times10^{-3})}{2} =0.97039+j0.002707 B=3.2+j35 ΩB=3.2+j35\ \Omega C=j1.692×10−3[1+(3.2+j35)(j1.692×10−3)4]=−2.291×10−5+j1.667×10−3 SC=j1.692\times10^{-3} \left[1+\frac{(3.2+j35)(j1.692\times10^{-3})}{4}\right] =-2.291\times10^{-5}+j1.667\times10^{-3}\ \mathrm{S}

接收端線電壓為額定電壓的 95%95\%：

VR,LL=0.95(345)=327.75 kVV_{R,LL}=0.95(345)=327.75\ \mathrm{kV}

取接收端相電壓為參考相角 0∘0^\circ，則

VR=327.753∠0∘=189.23∠0∘ kVV_R=\frac{327.75}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ =189.23\angle0^\circ\ \mathrm{kV}

接收端有功功率 PR=700 MWP_R=700\ \mathrm{MW}、功率因數 0.990.99 領先。接收端電流超前電壓，其相角為

ϕR=cos⁡−1(0.99)=8.11∘\phi_R=\cos^{-1}(0.99)=8.11^\circ ∣IR∣=PR3VR,LL(0.99)=700×1063(327.75×103)(0.99)=1.246 kA|I_R|=\frac{P_R}{\sqrt{3}V_{R,LL}(0.99)} =\frac{700\times10^6}{\sqrt{3}(327.75\times10^3)(0.99)} =1.246\ \mathrm{kA} IR=1.246∠8.11∘ kAI_R=1.246\angle8.11^\circ\ \mathrm{kA}

使用每相 ABCD 關係式：

VS=AVR+BIR,IS=CVR+DIRV_S=AV_R+BI_R,\qquad I_S=CV_R+DI_R

代入可得

VS=(0.97039+j0.002707)(189.23∠0∘)+(3.2+j35)(1.246∠8.11∘)V_S=(0.97039+j0.002707)(189.23\angle0^\circ) +(3.2+j35)(1.246\angle8.11^\circ)
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第 四 題10 分

圖二所示為三相交流電力系統之單線圖。表一所示為個別傳輸線之阻抗標么（pu）值。假設各匯流排之並聯導納可忽略不計。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）假設圖中虛線之傳輸線未連接，計算該系統之匯流排導納矩陣 YY。

（二）如果圖中虛線之傳輸線已連接，請問要如何修正子題（一）所求出之 YY 矩陣，進而求出新的匯流排導納矩陣 YnewY_{\mathrm{new}}？

表一：個別傳輸線之阻抗標么值

匯流排編號電阻（標么值）電抗（標么值）
1-20.050.050.150.15
1-30.100.100.300.30
2-30.150.150.450.45
2-40.100.100.300.30
3-40.050.050.150.15
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查三相電力系統的匯流排導納矩陣 YbusY_{\text{bus}} 建立方法。

每條傳輸線之串聯阻抗為

zij=Rij+jXijz_{ij}=R_{ij}+jX_{ij}

其串聯導納為

yij=1zijy_{ij}=\frac{1}{z_{ij}}

匯流排導納矩陣的元素定義如下：

  • 對角元素：該匯流排所連接之全部線路導納總和 Yii=∑yikY_{ii}=\sum y_{ik}
  • 非對角元素：兩匯流排間直接連線導納的負值 Yij=−yijY_{ij}=-y_{ij}
  • 若兩匯流排間沒有直接連線，則 Yij=0Y_{ij}=0

題目假設匯流排並聯導納忽略，因此只需考慮傳輸線串聯阻抗。

解題方法

由圖二可知，虛線 1−21-2 傳輸線未連接時，系統中實際存在的線路為：

1−3,2−3,2−4,3−41-3,\quad 2-3,\quad 2-4,\quad 3-4

1. 計算各線路導納

由表一：

z13=0.10+j0.30z_{13}=0.10+j0.30

因此

y13=10.10+j0.30=1−j3y_{13}=\frac{1}{0.10+j0.30} =1-j3

同理，

z23=0.15+j0.45z_{23}=0.15+j0.45 y23=10.15+j0.45=23−j2y_{23}=\frac{1}{0.15+j0.45} =\frac{2}{3}-j2 z24=0.10+j0.30z_{24}=0.10+j0.30 y24=1−j3y_{24}=1-j3 z34=0.05+j0.15z_{34}=0.05+j0.15 y34=2−j6y_{34}=2-j6

2. 建立對角元素

各匯流排所連接的線路如下：

  • 匯流排 11：連接 1−31-3
  • 匯流排 22：連接 2−32-3、2−42-4
  • 匯流排 33：連接 1−31-3、2−32-3、3−43-4
  • 匯流排 44：連接 2−42-4、3−43-4

因此

Y11=y13=1−j3Y_{11}=y_{13}=1-j3 Y22=y23+y24=(23−j2)+(1−j3)=53−j5Y_{22}=y_{23}+y_{24} =\left(\frac{2}{3}-j2\right)+(1-j3) =\frac{5}{3}-j5 Y33=y13+y23+y34=(1−j3)+(23−j2)+(2−j6)=113−j11Y_{33}=y_{13}+y_{23}+y_{34} =(1-j3)+\left(\frac{2}{3}-j2\right)+(2-j6) =\frac{11}{3}-j11 Y44=y24+y34=(1−j3)+(2−j6)=3−j9Y_{44}=y_{24}+y_{34} =(1-j3)+(2-j6) =3-j9

3. 建立非對角元素

由於非對角元素等於兩匯流排間直接線路導納的負值：

Y12=Y21=0Y_{12}=Y_{21}=0

因虛線 1−21-2 尚未連接，兩者間沒有直接線路。

Y13=Y31=−y13=−1+j3Y_{13}=Y_{31}=-y_{13}=-1+j3 Y23=Y32=−y23=−23+j2Y_{23}=Y_{32}=-y_{23} =-\frac{2}{3}+j2 Y24=Y42=−y24=−1+j3Y_{24}=Y_{42}=-y_{24}=-1+j3 Y34=Y43=−y34=−2+j6Y_{34}=Y_{43}=-y_{34}=-2+j6

（一）虛線傳輸線未連接時之匯流排導納矩陣

依匯流排順序 1,2,3,41,2,3,4，可得

Y=[1−j30−1+j30053−j5−23+j2−1+j3−1+j3−23+j2113−j11−2+j60−1+j3−2+j63−j9] pu\boxed{ Y= \begin{bmatrix} 1-j3 & 0 & -1+j3 & 0\\ 0 & \frac{5}{3}-j5 & -\frac{2}{3}+j2 & -1+j3\\ -1+j3 & -\frac{2}{3}+j2 & \frac{11}{3}-j11 & -2+j6\\ 0 & -1+j3 & -2+j6 & 3-j9 \end{bmatrix} \ \text{pu} }

（二）虛線傳輸線已連接時之修正

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