111 高普考普通考試 電子工程 電子學概要 考古題詳解

核心觀念

相同頻率的正弦波相加，要以相量相加；振幅不能直接相加。圖中可讀出 $v_{in}$ 的振幅為 $1\text{ V}$，$v_a$ 與 $v_b$ 的振幅均為 $3\text{ V}$。輸出振幅為 $3\sqrt{2}\text{ V}$，因此兩個振幅為 $3\text{ V}$ 的輸出相量，其相位相差 $90^\circ$，合成後的相位落在兩者中間。

解題方法

以圖中 $v_{out}$ 的波形作為相位基準，令其相位為 $0^\circ$。由圖可見，$v_a$ 的峰值比 $v_{out}$ 晚四分之一週期的一半，即相位落後 $45^\circ$：

又因為 $\underline V_{out}=\underline V_a+\underline V_b$，且其振幅為 $3\sqrt2$，所以 $v_b$ 相量須與 $v_a$ 對稱於 $v_{out}$ 相位，超前 $v_{out}$ $45^\circ$：

驗算其合成：

核心觀念

圖二(a)的二極體採分段線性模型：順向導通時斜率為 $0.2\ \mathrm{S}$，因此等效動態電阻為

且導通電壓從 $V_D=0.7\ \mathrm{V}$ 開始。截止時 $I_D=0$。平均功率須以完整週期 $2\pi$ 為平均範圍，並只在二極體導通期間計算瞬時功率。

解題方法

令 $\theta=\omega t$。由圖二(b)的電源、二極體與電阻電壓降可得

導通時 $V_D=0.7+5I_D$，代入 $R=20\ \Omega$、$V_a=1.8\ \mathrm{V}$：

此式須滿足 $I_D>0$，所以二極體在 $\sin\theta>0.5$ 時導通，即每週期的 $\pi/6<\theta<5\pi/6$。

先計算完整週期平均電流與平均電流平方：

核心觀念

本題旨在考驗半導體物理的基礎特性、載子漂移傳導機制以及微觀導電度與宏觀電阻之間的轉換關係：

1. 本質半導體與外質半導體載子濃度：

• 純質（本質）半導體中，電子濃度等於電洞濃度：$n = p = n_i$。
• 摻雜三價元素（硼，Boron）作為受質（Acceptor, $N_A$），形成 P 型半導體。在常溫熱平衡且完全游離假設下，多數載子（電洞）濃度 $p \approx N_A$，少數載子（電子）濃度可由質量作用定律求得：$n = \frac{n_i^2}{N_A}$。

2. 漂移電流與導電度（Conductivity, $\sigma$）：

• 電場 $E$ 作用下，載子產生漂移運動。總漂移電流密度為電子與電洞電流密度之和：

• 導電度定義為 $\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)$，單位為 $\Omega^{-1}\cdot\mathrm{cm^{-1}}$（或 $\mathrm{S/cm}$）。

3. 宏觀電阻與每單位長度電阻：

• 根據歐姆定律與電阻定律：

• 每單位長度電阻（Resistance per unit length）為：

解題方法

步驟一：導出每單位長度電阻公式

圓柱體截面積為 $A$，長度為 $L$，兩端電壓為 $V$。

1. 內部電場為 $E = \frac{V}{L}$。
2. 電子與電洞之漂移速度大小分別為 $v_n = \mu_n E$ 與 $v_p = \mu_p E$。
3. 根據題目之電流定義 $I = \frac{Q}{\Delta t}$，截面於 $\Delta t$ 時間內通過的電荷量由電子與電洞共同貢獻：

4. 樣本總電阻為：

5. 故每單位長度電阻為：

步驟二：計算純質矽晶每單位長度電阻值

1. 載子濃度： 純質矽晶之電子與電洞濃度皆等於本質濃度：

2. 遷移率： 依題意選用純質數值：

3. 純質導電度 $\sigma_{\text{pure}}$：

4. 每單位長度電阻（截面積 $A = 1\ \mathrm{cm^2}$）：

（若以 SI 制公尺為單位，則為 $2.22\times 10^7\ \Omega/\mathrm{m}$）

步驟三：計算摻雜硼之矽晶每單位長度電阻值

1. 受質濃度 $N_A$： 矽晶原子密度為 $5\times10^{22}/\mathrm{cm^3}$，摻雜比例為 $1/10^8$：

2. 載子濃度： 硼為三價元素，提供受質能階形成 P 型半導體。

核心觀念

本題考查運算放大器的有限開迴路增益、輸入電阻與輸出電阻，對電壓追隨器增益及頻寬的影響。使用一極點開迴路模型：

依圖三，$v_i$ 接至非反相端，反相端直接接到輸出端；因此是電壓追隨器，且 $R_L=75\ \Omega$ 接在輸出端與地之間。

等效電路

運算放大器以受控電壓源 $A(s)(v_+-v_-)$ 串聯輸出電阻 $R_o$ 表示；輸入電阻 $R_i$ 接在兩輸入端之間。由於 $v_+=v_i$、$v_-=v_o$，$R_i$ 等效接在 $v_i$ 與 $v_o$ 之間。

 Ri = 100 kΩ
vi o─────/\/\/\─────o vo ─── RL = 75 Ω ─── 地
 │ │
 │ 受控電壓源 │
 └── A(s)(vi − vo) ─Ro = 50 Ω──┘

受控源的開迴路參數為 $A_0=10^3\ \mathrm{V/V}$、$f_p=50\ \mathrm{Hz}$。

解題方法

在輸出節點套用電流定律。流經 $R_o$、$R_L$ 與 $R_i$ 的電流和為零：

整理並以 $v_i$ 正規化：

令

核心觀念

這題考 MOSFET 小訊號模型、源極退化與跨阻／電壓增益。使用 $g_m$ 受控電流源及 $r_o$；電阻保留在小訊號電路中。圖中的 $Q_1$ 為 NMOS，$Q_2$ 為 PMOS，兩管的共接節點為 $v_x$。

令 $g_{oi}=1/r_{oi}$。由題目數值：

$I_S$ 為理想電流源時，小訊號等效為開路；若其含有雜訊電流 $\Delta i$，則把 $\Delta i$ 視為注入 $v_x$ 節點的小訊號電流。

解題方法

（一）求 $R_m=v_o/\Delta i$

求雜訊電流造成的響應時，令 $v_i=0$。對 $Q_1$ 的源極節點寫 KCL：

因此 $Q_1$ 從 $v_x$ 看入的等效小訊號電導為

對 $Q_2$ 的輸出節點寫 KCL：

故

流入 $Q_2$ 支路的電流等於流過 $R_D$ 的電流，因此該支路從 $v_x$ 看入的電導為

所以節點 $v_x$ 的總等效電導為 $0.15625+0.625=0.78125\ \mathrm{mS}$，得到