110 高普考普通考試 氣象 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題考的是大參數下的漸近展開。當 $x^2$ 很大時，將被積函數中的分母寫成幾何級數形式，再逐項積分。題目要求的「之前兩項」是 $A(x)$ 的前兩個漸近項；誤差則由下一個未保留的項估計。

解題方法

令 $a=x^2$。當 $a$ 很大時，

因此

利用

前兩項為

代回 $a=x^2$，得到

核心觀念

把質點 $P$ 的位置拆成兩部分：圓心的平移位置，加上 $P$ 相對圓心的圓周運動位置。速度則由座標對時間微分得到。

依題目以 $U=V$ 比較平移與轉動速率，以下將 $V$ 解作圓周切線速率，因此角速度為 $\omega=V/R$。取圓心初始位置為原點，並依圖以順時針方向轉動；若改取逆時針，圓周運動項的正負號相反。

解題方法

令 $\theta=\omega t=\dfrac{Vt}{R}$。圓心在時間 $t$ 的位置是 $(Ut,0)$。由於 $P$ 初始位於圓的最右端，順時針轉過角度 $\theta$ 後，$P$ 相對圓心的位置為 $(R\cos\theta,-R\sin\theta)$。

（一）$P$ 點的坐標

將平移與圓周運動的位置相加：

（二）$P$ 點的速度

對坐標分別微分：

因此速度向量為

（三）$U=V$ 時轉一圈的軌跡長度

轉一圈所需時間為 $T=\dfrac{2\pi R}{V}$。令 $\theta=\dfrac{Vt}{R}$，則 $0\leq\theta\leq2\pi$，且 $dt=\dfrac{R}{V}\,d\theta$。

當 $U=V$，速率大小為

核心觀念

本題考查反正弦函數 $\sin^{-1}x=\arcsin x$ 的導數，以及反三角函數的不定積分。注意 $\sin^{-1}x$ 表示「反正弦函數」，不是 $\dfrac{1}{\sin x}$。

反正弦函數的定義為：若 $y=\arcsin x$，則 $\sin y=x$，且 $-\dfrac{\pi}{2}\le y\le\dfrac{\pi}{2}$。因此 $-1<x<1$ 時可用反函數微分法。

（一）求 $\dfrac{d(\sin^{-1}x)}{dx}$

令 $y=\arcsin x$，則 $\sin y=x$。兩側對 $x$ 微分：

由 $\sin y=x$ 及 $-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}$，可知 $\cos y>0$，故

因此

（二）求 $\displaystyle\int\sin^{-1}x\,dx$

採用分部積分，令

則

核心觀念

兩條曲線 $y=\sin x$ 與 $y=\cos x$ 之間的面積，等於「上方函數減下方函數」後，在交點所界定的區間上積分。圖中灰色區域的左右端點為 $x=\frac{\pi}{4}$ 與 $x=\frac{5\pi}{4}$。

解題方法

先求兩函數的交點：

圖中灰色區域的兩個端點因此是 $\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{5\pi}{4}$。在這段區間內，$\sin x$ 位於 $\cos x$ 上方，故面積為