111 高普考普通考試 氣象 微積分 考古題詳解

核心觀念

1. 連續性的定義：函數 $f(x)$ 在 $x = c$ 連續，必須滿足 $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$（極限值存在且等於該點函數值）。在定義域內的開區間上，初等函數的商（分母不為零）必為連續函數。
2. 基本三角極限：$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$。
3. 可微性的定義：函數 $f(x)$ 在 $x = c$ 處的可微性，由導數極限定義判定： $f'(c) = \lim_{x \to c} \dfrac{f(x) - f(c)}{x - c}$ 若極限存在且為有限值，則 $f$ 在 $x = c$ 可微。
4. 羅必達法則（L'Hôpital's Rule）：當極限呈現 $\dfrac{0}{0}$ 型未定式，且分子分母在該點鄰域內可微時，極限值等於分子分母分別微分後的極限值。

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解題方法

（一）討論連續性

本題為分段定義函數，需將定義域分成 $x \ne 0$ 與 $x = 0$ 兩部分進行檢驗：

1. 當 $x \ne 0$ 時： $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$。 分子 $\sin x$ 與分母 $x$ 皆為在全實數上連續的初等函數。依連續函數之商法則（Quotient Rule of Continuous Functions），當分母不為零（即 $x \ne 0$）時，兩者之商 $f(x)$ 必然連續。 因此，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ 上處處連續。

2. 當 $x = 0$ 時： 檢驗極限值是否等於函數值：

• 極限值： $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
• 函數值： 依題意定義，$f(0) = 1$。
• 因 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1$，故 $f(x)$ 在 $x = 0$ 處連續。

綜合上述，$f(x)$ 在全實數區間 $\mathbb{R}$ 上皆連續，無任何不連續點。

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（二）討論可微性

同樣將定義域分成 $x \ne 0$ 與 $x = 0$ 兩部分進行討論：

1. 當 $x \ne 0$ 時： $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，分子與分母均可微且分母不為零，依微分的商法則（Quotient Rule）： $f'(x) = \dfrac{\dfrac{d}{dx}[\sin x] \cdot x - \sin x \cdot \dfrac{d}{dx}[x]}{x^2} = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ 此導函數在 $x \ne 0$ 時處處有定義，故 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ 上處處可微。

2. 當 $x = 0$ 時： 交界點之可微性必須回歸導數定義進行檢驗：

核心觀念

本題評量多元微積分中「多變數函數的偏微分」與「高階偏導函數」之計算能力。解題需運用以下核心觀念與微分法則：

1. 反三角函數微分公式：

$$\frac{d}{du}\tan^{-1}(u) = \frac{1}{1+u^2}$$

2. 多變數函數鏈鎖律（Chain Rule）： 若 $f(x, y) = \tan^{-1}(u)$，其中 $u = \dfrac{y}{x}$，則一階偏導函數為：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1+u^2}\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1+u^2}\frac{\partial u}{\partial y}$$

3. 二階偏導函數的定義： 二元函數 $f(x, y)$ 的二階偏微分共計四個：

• 純二階偏導函數：$f_{xx} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$、$f_{yy} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$
• 混合二階偏導函數：$f_{xy} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$、$f_{yx} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$

4. 克萊羅定理（Clairaut's Theorem）： 若函數之二階偏導函數在定義域上連續，則混合偏導函數滿足對稱性，即 $f_{xy} = f_{yx}$。

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解題方法

函數定義域為 $x \neq 0$。求二階偏微分分為兩大階段：先求一階偏微分，再分別對各變數求二階偏微分。

第一階段：求一階偏導函數

令 $u = \dfrac{y}{x}$，各變數之一階偏微分為：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{y}{x^2}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x}$$

1. 對 $x$ 的一階偏微分 $f_x$：

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = \frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2+y^2}$$

2. 對 $y$ 的一階偏微分 $f_y$：

$$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2+y^2}$$

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第二階段：求所有二階偏導函數

利用微分的商法則或次方微分法則，分別對 $f_x$ 與 $f_y$ 進行二次微分：

1. 求 $f_{xx} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$： 對 $x$ 微分時將 $y$ 視為常數，將 $f_x = -y(x^2+y^2)^{-1}$ 微分：

核心觀念

1. 向量函數的積分與初值問題（Initial Value Problem, IVP）： 向量函數的積分即各分量函數獨立積分：

$$\vec{f}(t) = \int \vec{f}'(t)\,dt = \left( \int f_1'(t)\,dt,\; \int f_2'(t)\,dt,\; \int f_3'(t)\,dt \right)$$

求出各分量的不定積分後，再利用給定的初始條件 $\vec{f}(0)=(3,2,1)$ 決定各分量的積分常數 $C_1, C_2, C_3$。 2. 根式積分與代換積分法：

• 第一分量：利用代數因式分解或根式代換 $u = \sqrt{t+1}$，消除分母中的根號。
• 第二分量：利用變數代換 $u = \sqrt{t}$，化為反正切函數（$\arctan$）的標準積分型式 $\int \frac{1}{u^2+1}\,du = \arctan(u) + C$。

3. 有理函數積分與三角代換法：

• 第三分量：被積函數含有 $(t^2+1)^2$，採用三角代換 $t = \tan\theta$（或分部積分遞迴公式）求解。

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解題方法

將向量函數 $\vec{f}'(t) = (f_1'(t), f_2'(t), f_3'(t))$ 拆分為三個純量函數逐一求解：

1. 第一分量 $f_1(t)$ 的計算

$$f_1'(t) = \frac{t}{t+1-\sqrt{t+1}}$$

觀察分母與分子，可將分母提出公因式 $\sqrt{t+1}$，並將分子改寫為平方差：

$$t+1-\sqrt{t+1} = \sqrt{t+1}\left(\sqrt{t+1}-1\right)$$ $$t = (t+1) - 1 = \left(\sqrt{t+1}+1\right)\left(\sqrt{t+1}-1\right)$$

約去公因式 $\left(\sqrt{t+1}-1\right)$（在 $t \neq 0$ 時成立，由連續性可推廣至全定義域）：

$$f_1'(t) = \frac{\left(\sqrt{t+1}+1\right)\left(\sqrt{t+1}-1\right)}{\sqrt{t+1}\left(\sqrt{t+1}-1\right)} = \frac{\sqrt{t+1}+1}{\sqrt{t+1}} = 1 + (t+1)^{-\frac{1}{2}}$$

對 $t$ 積分：

$$f_1(t) = \int \left( 1 + (t+1)^{-\frac{1}{2}} \right) dt = t + 2\sqrt{t+1} + C_1$$

帶入初值條件 $f_1(0) = 3$：

$$f_1(0) = 0 + 2\sqrt{1} + C_1 = 2 + C_1 = 3 \implies C_1 = 1$$

故：

$$f_1(t) = t + 2\sqrt{t+1} + 1$$

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2. 第二分量 $f_2(t)$ 的計算

$$f_2'(t) = \frac{1}{\sqrt{t}(t+1)}$$

令變數 $u = \sqrt{t}$，則 $t = u^2$，$dt = 2u\,du$：

$$f_2(t) = \int \frac{1}{\sqrt{t}(t+1)}\,dt = \int \frac{2u}{u(u^2+1)}\,du = 2 \int \frac{1}{u^2+1}\,du = 2\arctan(u) + C_2 = 2\arctan(\sqrt{t}) + C_2$$

帶入初值條件 $f_2(0) = 2$：

$$f_2(0) = 2\arctan(0) + C_2 = 0 + C_2 = 2 \implies C_2 = 2$$

故：

$$f_2(t) = 2\arctan(\sqrt{t}) + 2$$

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核心觀念

1. 泰勒級數（Taylor Series）定義： 若函數 $f(x)$ 在 $x = a$ 處有無窮階可導，則 $f(x)$ 對 $x = a$ 的泰勒級數展開式為： $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \cdots$
2. 高階導數的規律歸納： 對 $f(x) = \ln x$ 求前幾階導數，觀察並歸納出第 $n$ 階導數 $f^{(n)}(x)$ 及在 $x = a$ 處數值 $f^{(n)}(a)$ 的一般式。
3. 收斂半徑（Radius of Convergence, $R$）： 設冪級數為 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n (x - a)^n$，利用比值審斂法（Ratio Test）： $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}(x - a)^{n+1}}{c_n (x - a)^n} \right| < 1$ 求得 $|x - a| < R$，其中 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$ 即為收斂半徑。

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解題方法

步驟一：計算各階導數並歸納一般式

計算 $f(x) = \ln x$ 的前幾階導數：

• $n = 0$：$f(x) = \ln x \implies f(a) = \ln a$
• $n = 1$：$f'(x) = x^{-1} \implies f'(a) = \frac{1}{a}$
• $n = 2$：$f''(x) = -x^{-2} \implies f''(a) = -\frac{1}{a^2}$
• $n = 3$：$f'''(x) = 2x^{-3} \implies f'''(a) = \frac{2}{a^3} = \frac{2!}{a^3}$
• $n = 4$：$f^{(4)}(x) = -6x^{-4} \implies f^{(4)}(a) = -\frac{6}{a^4} = -\frac{3!}{a^4}$

由數學歸納法可得，當 $n \ge 1$ 時： $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} (n - 1)! \, x^{-n}$ 在 $x = a$ 處的導數值為： $f^{(n)}(a) = (-1)^{n-1} \frac{(n - 1)!}{a^n}$

步驟二：寫出泰勒級數與一般項公式

泰勒級數各項係數為 $c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$：

• 當 $n = 0$ 時，常數項為 $c_0 = f(a) = \ln a$。
• 當 $n \ge 1$ 時，各項係數為： $c_n = \frac{(-1)^{n-1} (n - 1)!}{n! \, a^n} = \frac{(-1)^{n-1}}{n \, a^n}$

因此，$f(x) = \ln x$ 對 $x = a$ 展開的泰勒級數為： $\ln x = \ln a + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n a^n} (x - a)^n$

其一般項公式如下：

• 常數項（$n = 0$ 項）：$\ln a$
• 非零次項（$n \ge 1$ 項）：$\frac{(-1)^{n-1}}{n a^n} (x - a)^n$

步驟三：求收斂半徑 $R$

設級數的一般項為 $u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n a^n} (x - a)^n$（$n \ge 1$）。由比值審斂法（絕對收斂條件）：

核心觀念

本題評量多變數微積分在封閉有界區域（緊緻集，Compact Set）上的絕對極值問題，核心依據與定理包含：

1. 極值定理（Extreme Value Theorem）：連續函數 $f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 的有界閉區域 $D$ 上必存在絕對最大值（Absolute Maximum）與絕對最小值（Absolute Minimum）。
2. 極值候選點分類：絕對極值必然出現在以下兩類點之中：

• 區域內部臨界點（Interior Critical Points）：滿足一階偏導數同時為零之點，即 $\nabla f(x,y) = (0,0)$ 且點位於區域內部。
• 區域邊界點（Boundary Points）：邊界線段上的局部極值點或頂點（端點）。

3. 變數分離性質（Separable Functions）：若函數可表示為 $f(x,y) = g(x) + h(y)$ 且定義域為直積矩形區域 $D = [a,b] \times [c,d]$，則 $x$ 與 $y$ 之取值互不牽制，可拆解為兩獨立單變數函數之極值問題。

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解題方法

給定目標函數 $f(x,y)=x^3+y^3-3x-3y^2$，其定義域為封閉矩形區域：

$$D = \{(x,y)\mid 0\leq x\leq 3,\ 0\leq y\leq 3\}$$

標準解法採取「內部臨界點」與「邊界各線段」分區討論，最後彙總比對。

步驟一：尋找區域內部臨界點

設 $(x,y) \in (0,3) \times (0,3)$，計算函數之一階偏導函數：

$$f_x(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3$$ $$f_y(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 6y$$

令一階偏導函數為零：

$$\begin{cases} 3(x^2 - 1) = 0 \implies x = \pm 1 \\ 3y(y - 2) = 0 \implies y = 0 \text{ 或 } y = 2 \end{cases}$$

由於內部點必須嚴格落在開區間 $0 < x < 3$ 與 $0 < y < 3$ 之內：

• $x$ 僅取 $x = 1$（排除 $x = -1$）
• $y$ 僅取 $y = 2$（排除 $y = 0$，因 $y=0$ 屬於邊界）

因此，區域內部唯一的臨界點為 $(1, 2)$。 計算該點之函數值：

$$f(1,2) = 1^3 + 2^3 - 3(1) - 3(2^2) = 1 + 8 - 3 - 12 = -6$$

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步驟二：分析邊界上的極值候選點

邊界 $\partial D$ 由四條線段組成：

1. 邊界線段 $L_1$：$y = 0,\ 0 \leq x \leq 3$ 代入函數得一元函數：

$$f(x,0) = x^3 - 3x$$

微商求導：$\frac{d}{dx}f(x,0) = 3x^2 - 3 = 0 \implies x = 1$（在區間 $(0,3)$ 內）。 檢查臨界點與端點：

• $f(0,0) = 0$
• $f(1,0) = 1 - 3 = -2$
• $f(3,0) = 27 - 9 = 18$

2. 邊界線段 $L_2$：$y = 3,\ 0 \leq x \leq 3$ 代入函數得：

$$f(x,3) = x^3 + 3^3 - 3x - 3(3^2) = x^3 - 3x$$

同理，臨界點為 $x = 1$。 檢查臨界點與端點：

• $f(0,3) = 0$
• $f(1,3) = -2$
• $f(3,3) = 18$

3. 邊界線段 $L_3$：$x = 0,\ 0 \leq y \leq 3$ 代入函數得：

$$f(0,y) = y^3 - 3y^2$$

微商求導：$\frac{d}{dy}f(0,y) = 3y(y - 2) = 0 \implies y = 2$（端點為 $0$ 與 $3$）。 檢查臨界點與端點：

• $f(0,0) = 0$
• $f(0,2) = 8 - 12 = -4$